Вариант 1
1. Начиная с момента t = 0, один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила Ф = Ф(t), направленная по оси стержня. В момент времени t = 0 поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений и (х, t) точек стержня при t > 0.
2. Найти температуру стержня 0 < x < l с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре, а на другой конец (x = l ) подается извне заданный постоянный тепловой поток, причем начальная температура произвольна. Рассмотреть, в частности, случай, когда начальная температура равна нулю, а конец х = l теплоизолирован.
Вариант 2
1. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости v0, мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях этого стержня.
2. Найти температуру стержня, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, если на концы стержня подаются извне постоянные тепловые потоки, а начальная температура является произвольной функцией.
Вариант 3
1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что концы струны закреплены неподвижно.
2. Найти температуру стержня 0 < x < l с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией x.
Вариант 4
1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, при наличии непрерывно распределенной вынуждающей поперечной силы; концы стержня предполагать жестко закрепленными.
2. Найти температуру стержня 0 < x < l с теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией x. Рассмотрите случай, когда на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен (по закону Ньютона) со средой, температура которой равна нулю.
Вариант 5
1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная («перерезывающая») сила, меняющаяся с течением времени по
заданному закону.
2. Начальная температура стержня 0<x< l является произвольной функцией f(x). Температуры концов постоянны:
u(0,t) = U1= const, u(L, t) = U2 = const, 0<t< +∞.
На боковой поверхности происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой равна Uо = const. Найти температуру стержня. Рассмотреть, в частности, случай, когда U1 = U2 = 0, f(x) = 0
Вариант 6
1. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, находящегося в среде без сопротивления, если один его конец закреплен жестко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости.
2. Начальная температура стержня 0 < x < L с теплоизолированной боковой поверхностью равна Uo= const, а на концах его поддерживается постоянная температура
u(0,t) = U1= const, u(L, t) = U2 = const, 0<t< +∞.
Найти температуру u(х, t) стержня при t>0; найти также стационарную температуру:
u(х)= lim u(х, t) при tà +∞.
Вариант 7
1. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.
2. Стержень нагревается постоянным электрическим током. На концах поддерживается нулевая температура, а боковая поверхность теплоизолирована. Считая температуру в сечении стержня постоянной, поставить задачу расчета температуры в стержне по данному начальному распределению, а также описать поведение этой температуры при
t à +∞.
Вариант 8
1. К струне, концы которой закреплены неподвижно, начиная с момента t = 0, приложена непрерывно распределенная поперечная сила, линейная плотность которой равна F(x, t).
Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонений U( х, t) точек струны при t > 0.
2. Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной проводящими пластинами у = 0, у = b и х = 0, если пластина x = 0 заряжена до потенциала V, пластины
у = 0, у = b заземлены, а заряды внутри рассматриваемой области отсутствуют.
Вариант 9
1. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 < x < L с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией х; рассмотреть случаи, когда
а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре,
б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток,
в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.
2. Один конец стержня (х = l) закреплен упруго, а другой (x= 0) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс I. Найти продольные колебания стержня, если начальное отклонение стержня равно нулю.
Вариант 10
1. На боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой является заданной функцией времени. Пренебрегая деформацией изотермических поверхностей, поставить краевую задачу
расчета температуры в стержне, если его начальная температура является произвольной функцией х; рассмотреть случаи, когда
а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре,
б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток,
в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.
2. Один конец стержня (х = l) закреплен упруго, а к другому (х = 0) приложена продольная сила Fo = const, под действием которой стержень находится в состоянии равновесия. Найти колебания стержня после того, как в начальный момент времени
сила Fo мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю
Вариант 11
1. Поставить краевую задачу об остывании тонкого кольца, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой, имеющую заданную температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь.
2. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях.
Вариант 12
1. Поставить краевую задачу о нагревании полуограниченного стержня, если конец стержня горит, причем фронт горения распространяется с постоянной скоростью v0 и имеет известную температуру ф(t).
2. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны. Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня.
Вариант 13
1. Вывести уравнение для температуры тонкой проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током, если на ее поверхности происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающим воздухом, имеющим известную температуру. Поставить
краевую задачу об определении температуры в этом проводе, если его концы зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью и очень большой теплопроводностью.
2. Стержень с жестко закрепленным концом х = 0 находится в состоянии равновесия под действием продольной силы Fo = const, приложенной к концу х = L. В момент t = 0 действие силы Fo мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю.
Вариант 14
1. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предполагая, что поверхностями равной концентрации в каждый момент времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 < x < L ; рассмотреть случаи, когда
а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вещества поддерживается равной нулю,
б) граничные плоскости непроницаемы,
в) граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.
2. Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = L) свободен, при начальных условиях: u(х, 0)=kx, du/dt(х, 0) =0 при 0 < x < L
Вариант 15
1. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью в направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси х.
2. Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к середине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю.
Вариант 16
1. Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а концентрация частиц зависит только от одной геометрической координаты h (высоты) и времени t. Написать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке.
2. Струна 0 < x < L с жестко закрепленными концами до момента t = 0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Fo = const, приложенной к точке Xo струны перпендикулярно к невозмущенному положению струны. В начальный
момент времени t = 0 действие силы Fo мгновенно прекращается. Найти колебания струны при t > 0.
Вариант 17
1. Тонкую эллиптическую проволоку зарядили, сообщив ей заряд Q. Поставить задачу для расчета, как этот заряд распределится по проволоке?
2. Найти продольные колебания стержня с упруго закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки концов, если начальные условия произвольны.
