Учебно – исследовательская работа. Тема: «Число π »

Районная научно – практическая конференция учащихся

«EXCELSIOR»

Учебно – исследовательская работа

Тема: «Число π »

Автор: Сергеева Елена

обучающаяся 6 класса

МКОУ «Шинерская ООШ» Руководитель: учитель математики

Содержание.

1.  Введение.

2.  История вычисления числа пи.

3.  Методы нахождения значения числа пи:

·  Простое измерение.

·  Измерение с помощью взвешивания.

·  Суммирование площадей прямоугольников. Вписанных в полукруг.

·  Метод Монте – Карло.

·  Метод «Падающей иголки».

4. Исторические факты.

5. Заключение.

6. Список использованной литературы.

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием музея искусств в Сиэтле.

Введение.

Число Пи одна из фундаментальных математических констант. Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки, во многих геометрических задачах, в задачах связанных с волнами, в задачах навигации и т. д.

Обозначение числа Пи происходит от греческого слова perijerio ("окружность"). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер.

Последовательность цифр появляется в следующих позициях числа Пи:;;;;; 000.

Истории вычисления числа π.

Задача вычисления длины окружности и площади круга возникла еще в глубокой древности. И при вычислении длины окружности и площади круга в формуле встречается число π. Что это такое?

Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой π, тогда С : d = π. Кто первый догадался о замечательной связи длины окружности и ее диаметра? Возможно, об этом догадался какой – нибудь дотошный мастер, изготавливающий колесо для колесницы, или землекоп, обустраивающий круглый колодец. А может быть, гончар, лесоруб, строитель…- кто бы это ни был, имя этого гения история нам не сберегла.

А вот когда появилось первое обозначение знаменитого числа π, мы можем сказать с большой уверенностью. Его мы находим в работе «Обозрение достижений математики» английского преподавателя Уильяма Джонса (), вышедшей в 1706 г.

В папирусе Ахмеса указывается, что за площадь круга S следует принимать площадь квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра, т. е.

S=(8/9×2R)²=256/81×R²

Это значит, что для отношения длины окружности к диаметру берется значения 256/81≈3,1605…

Однако в других древнеегипетских и вавилонских текстах встречаются значение π=3, которое, по-видимому, вполне удовлетворяло потребности землемеров того времени. Позже римляне принимали π=3,12.Эти и другие приближенные значения были получены эмпирическими способами, например, путем прямого измерения длины окружности и ее диаметра с помощью веревки и т. п.

Вопрос о вычислении отношения длины окружности к своему диаметру, т. е. числа π, занимал лучшие умы человечества на протяжении тысячелетий. Первое вычисление π на основе строгих теоретических рассуждений было принято величайшим математиком древности Архимедом. В своем произведении «Об измерении круга» он доказал, что

310/71 ‹ π ‹31/7

Выведенное Архимедом для π приближенное значение 22/7≈3,14 оказалось вполне удовлетворительным для практики. На это значение ссылаются Герон Александрийский, Папп, Прокол и другие ученые. Оно широко применяется и в наше время.

Известно, что отношение длины окружности к диаметру не может быть точно выражено ни целым числом, ни обыкновенной дробью, ни конечной десятичной дробью.

Приближенные с недостатками и избытком значения для π Архимед получил, рассматривая вписанные в круг и описанные около него многоугольники с достаточно большим числом сторон. Он последовательно определял стороны вписанных и описанных шестиугольника, двенадцатиугольника, двадцатичетырехугольника, сорокавосьмиугольника, и девяностошестиугольника, выраженные через диаметр. Созданный Архимедом метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении 2000 лет.

В некоторых странах Азии встречается значение π=√10, т. е.3,162… . Астроном Ван Фань (229-267) утверждал, что π=142/45, т. е. 3,155…, а Цзу Чун-чжи (428-499) говорил о «неточном» значении 22/7 и о «точном» 355/113, показав, что π содержится между 3,1415962 и 3,1415927. последнее значение записывалось в VII в. в виде именного числа: 3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ли 9 хао 2 мяо 7 хо.

В индийских «сутрах» (VII – V вв. до н. эры) имеются правила, из которых вытекает, что π=3,008. Ариабхатта и Бхаскара брали значение 62832/20000, т. е. 3,1416…, Брахмагупта, Магавира и Сриддхара брали π=√10.

В своей книге «Об измерении окружности» (1424) ал-Каши нашёл для π значение, далеко превосходящее по точности все ранее известные. Рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 800 335 168 сторонами, он получает окончательный результат, выраженный в шестидесятеричных дробях и в десятичных дробях в виде 2π≈6,, т. е. π≈3, – тут 16 верных знаков.

Однако труды ал-Каши в Европе долгое время не были известны. Голландский профессор Адриан Меций вновь нашёл в XVI в. значение 355/113 для π независимо от Цзу Чун-чжи. В 1597 году А. Ван Ромен из Лувена (Бельгия), применяя метод Архимеда с помощью 230-угольников, получил 17 верных десятичных знаков. Большое терпение и выдержку обнаружил голландский вычислитель Лудольф Ван-Цейлен (), который, применяя метод Архимеда, дошёл до многоугольников с 60×2029 степени сторонами, получив 35 верных десятичных знаков для π. В его честь число π было названо современниками «Лудольфово число». Согласно завещанию самого Лудольфа, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

Начиная с конца XVII в. для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736) стало общепринятым обозначение π (первая буква в греческом слове «периферия» - круг), которое встречается впервые в 1706 г. у английского математика У. Джонса. В 1873 г. англичанин В. Шенкс определил π с точностью до 707 десятичных знаков, усердно проработав для этой цели целых 15 лет. Однако, как выяснилось впоследствии, 527-й знак Шенкса оказался неверным. Ошибка было обнаружена Фергюссоном и Ренчем, которые в 1948 г. получили значение π с 808 знаками. С помощью электронных машин в 1949 г. получено значение π с 2035 знаками, а позднее – с 3089 знаками всего лишь за 13 секунд. К 1963 г. было найдено уже 100 265 десятичных знаков числа π. Вычисление такого большого числа знаков для π не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старым.

Я хочу привести несколько примеров нахождения значения π.

1. Простое измерение.

Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину ℓ одного полного оборота нити, разделим ℓ на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е. π=ℓ/2R. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1.

2. ИЗМЕРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЗВЕШЕВАНИЯ.

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата (mкв.) и вписанного в него круг(mкр.), воспользуемся формулами m=gV, V=Sh, где g и h – соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства: mкв. =g× S кв. ×h=g ×4R² × h, mкр=g× Sкр× h=g ×π R² × ×h. Отсюда mкр/ mкв= π/4, т. е. π=4mкр/ mкв.∙

Естественно, что в данном случае приближённое значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа π с точностью до 0,1.

3. СУММИРОВАНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ВПИСАННЫХ В ПОЛУКРУГ.

Пусть А (α;0), В(b;0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками х1 , х2 , …,хn-1 и восставим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)=√1-х2. Из рисунка 1ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле:

S=(b - α)/n( (f(x0)+f(x1)+…+f(хn-1) )

В нашем случае b=1, α=-1.Тогда π=≈2S.

Значения π будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительною работу поможет компьютер. Для этого используется специальная программа 1, составленная на Бейсике.

Программа 1

10 REM***ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ ***

20 REM***МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ***

30 INPUT N

40 DX=1|N

50 FOR I=0 TO N-1

60 F=SQR(1-X/\2)

70 X=X+DX

80 A=A+F

90 NEXT I

100P=4*DX*A

110 PRINT «ЗНАЧЕНИЕ ПИ РАВНО» ; Р

120 STOP

4. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.

Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод Монте-Карло требует применение случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, случайные числа можно получить и при помощи дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертёж некоторое время подержать под дождём, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр. – число капель в кругу, Nкв. - число капель в квадрате, тогда

π≈4Nкр./ Nкв.

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе (можно воспользоваться одной из многочисленных публикаций таких таблиц, например в брошюрах [2], [3] ). Каждому следу капли поставим в соответствии два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу(см. рис. 2). Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например в подряд. Пусть первое четырёхзначное число в таблице 3256. Из него можно «приготовить» пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32; у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, то есть капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (хi, уi) выполняется неравенство хi+ уi>1, то, значит, она лежит вне круга. Если хi+ +уi≤1, то, точка лежит внутри круга.

Для подсчёта значения π снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна √D/N, где D – некоторая постоянная, а N – число испытаний. В нашем случае N= Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, получить в ответе ещё один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

10 REM***ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ ***

20 REM***МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО***

30 INPUT N

40 M=0

50 FOR I=1 TO N

60 T=INT (RND(1)*10000)

70 X=INT (T/100)

80 Y=T-X*100

90 IF X /\2+Y/\2<10000 THEN M=M+1

100 NEXT I

110 P=4*M/N

120 PRINT «ЗНАЧЕНИЕ ПИ РАВНО» ; Р.

130 STOP

5. Метод «Падающей иголки».

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за ее пределами. Введем обозначения: а-растояние между прямыми, l – длинна иглы.

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием х –от ее середины до ближайшей прямой и углом φ, который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что 0≤х≤а∕2. -π∕2≤ φ≤ π∕2.

На рис. 5 изобразим графически функцию у=0,5lcos φ. Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (φ;у),расположенными на участке ABCD. Заштрихованный участок AED –это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события А-«игла пересекла прямую»-вычисляется по формуле: P(A)=SAED∕SABCD, где SAED= ∫ 0,5lcos φd φ=l, SABCD=aπ∕2,т. е.P(A)=21∕ aπ.

Вероятность P(A) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж S раз и k раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом S имеет P(A)=k/S. Отсюда π≈2lS/ak .

Исторические факты.

Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159. Примечательно, что в этот же день родился Альберт Эйнштейн — создатель теории относительности. Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π. Примечательно, что в этот же день родился Альберт Эйнштейн — создатель теории относительности. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёлзнаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось. «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска. По состоянию на11 января 2011г. француз Фабрис Беллар вычислил число Пи с рекордной точностью. Об этом сообщается на его официальном сайте. Новый рекорд составляет около 2,7 триллиона (2 триллиона 699 миллиардов 999 миллионов 990 тысяч) десятичных знаков. Предыдущее достижение принадлежит японским ученым, которые посчитали константу с точностью до 2,6 триллиона десятичных знаков. Беллар потратил на вычисления около 103 дней. В культуре существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.

Эмблема числа π

Заключение.

Представление о числе π претерпели удивительную эволюцию – от смутных представлений древних, экспериментально – буквально ощупью открывавших количественные закономерности окружающего мира, до чрезвычайно глубоких математических теорий современности. С появлением компьютеров темпы погони за точными десятичными знаками числа π резко ускорились. Есть гипотезы, предполагающие, что в числе Пи скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо только их найти и расшифровать, имея под рукой компьютер это не составит большого труда.

Использованная литература:

Впервые число пи я встретила при вычислении длины окружности и площади круга, тогда я проводила множество измерений на разных предметах имеющих форму круга и вычисляя отношение длины окружности к длине ее диаметра получала примерно одно и то же число.

Кто первый догадался о замечательной связи длины окружности и ее диаметра? Возможно, об этом догадался какой – нибудь дотошный мастер, изготавливающий колесо для колесницы, или землекоп, обустраивающий круглый колодец. А может быть, гончар, лесоруб, строитель…- кто бы это ни был, имя этого гения история нам не сберегла.

А вот когда появилось первое обозначение знаменитого числа π, мы можем сказать с большой уверенностью. Его мы находим в работе «Обозрение достижений математики» английского преподавателя Уильяма Джонса (), вышедшей в 1706 г.

Первое вычисление π на основе строгих теоретических рассуждений было принято величайшим математиком древности Архимедом. В своем произведении «Об измерении круга» он доказал, что

310/71 ‹ π ‹31/7

Выведенное Архимедом для π приближенное значение 22/7≈3,14 оказалось вполне удовлетворительным для практики.

Начиная с конца XVII в. для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736) стало общепринятым обозначение π (первая буква в греческом слове «периферия» - круг), которое встречается впервые в 1706 г. у английского математика У. Джонса.

Я хочу привести несколько примеров нахождения значения π.

1. Простое измерение.

Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину ℓ одного полного оборота нити, разделим ℓ на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е. π=ℓ/2R. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа π с точностью до 1.

2. ИЗМЕРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЗВЕШЕВАНИЯ.

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата (mкв.) и вписанного в него круг(mкр.), воспользуемся формулами m=gV, V=Sh, где g и h – соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства: mкв. =g× S кв. ×h=g ×4R² × h, mкр=g× Sкр× h=g ×π R² × ×h. Отсюда mкр/ mкв= π/4, т. е. π=4mкр/ mкв.∙

3. СУММИРОВАНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ВПИСАННЫХ В ПОЛУКРУГ.

Пусть А (α;0), В(b;0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками х1 , х2 , …,хn-1 и восставим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)=√1-х2. Из рисунка 1ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле:

S=(b - α)/n( (f(x0)+f(x1)+…+f(хn-1) )

В нашем случае b=1, α=-1.Тогда π=≈2S.

Метод Монте – Карло.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертёж некоторое время подержать под дождём, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр. – число капель в кругу, Nкв. - число капель в квадрате, тогда

π≈4Nкр./ Nкв.

5. Метод «Падающей иголки».

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояние между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за ее пределами. Введем обозначения: а-растояние между прямыми, l – длинна иглы.

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием х –от ее середины до ближайшей прямой и углом φ, который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что 0≤х≤а∕2. -π∕2≤ φ≤ π∕2.