9 класс

9 класс

Задание 3.

1. Не решая уравнения , найдите: а) ; б) ; в) , где и - корни уравнения.

Решение. Известно, что и - корни уравнения. Преобразуем исходное уравнение к приведенному: . Применим теорему Виета:

а) ;

б) ;

в)

Ответ: а) ; б) 1,5; в)11,5.

2. Решите неравенство .

Решение. Разложим левую часть неравенства на множители:

Так как , то неравенство будет выполняться при и .

Ответ: .

3. Окружность, радиус которой 1, проходит через точки с координатами (2;3) и (4;1). Запишите уравнение этой окружности.

Решение. Уравнение окружности имеет вид: . Координаты центра окружности можно найти, решив систему уравнений:

Откроем скобки:

Вычтем из первого уравнения второе:

Þ

Подставим в первое уравнение системы и решим его:

Ответ: нет решений.

4. При каких значениях система не имеет решения?

Решение. Первое уравнение задает окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 3. Второе уравнение задает множество прямых, перпендикулярных оси абсцисс. Эти прямые не должны пересекать окружность.

Итак, переменная должна принимать значения :

Þ или Þ

Ответ: .

5. Дан правильный восьмиугольник ABCDEFKM. Докажите, что треугольники CDE и AMK равны, а прямые CE и AK параллельны.

Решение.

1) У треугольников CDE и AMK по условию CD=AM=MK=DE, как стороны правильного восьмиугольника, а , как углы правильного восьмиугольника. Следовательно, треугольники CDE и AMK равны по двум сторонам и углу между ними.

2) Треугольник AMK равнобедренный (по условию AM=MK). Таким образом, , где О – центр правильного восьмиугольника. Тогда диагональ MD правильного восьмиугольника содержит биссектрису угла M треугольника AMK, проведенную к его основанию AK, следовательно, содержит и высоту равнобедренного треугольника AMK. То есть прямые MD и AK перпендикулярны.

Аналогично, прямые MD и CE перпендикулярны.

Прямая MD перпендикулярна прямым CE и AK, следовательно, они параллельны.

Что и требовалось доказать.