Статистическое оценивание рентабельности рейсов с учетом апостериорных законов распределения

В статье рассматривается метод гарантированного статистического оценивания основных экономических показателей рейсов, основанный на использовании байесовских априорных распределений и эффективно работающий в условиях ограниченной исходной статистики.

Одной из ключевых проблем успешного внедрения современного менеджмента в авиакомпании является мониторинг рентабельности выполняемых рейсов. Именно с помощью этого показателя можно ответить на вопросы, какую прибыль (убыток) приносит тот или иной рейс, какие затраты при этом несет авиакомпания, стоит ли летать в тот или иной пункт мира, какие выбирать тарифы и т. п. Однако для получения надежных ответов на все эти, а также другие связанные с ними вопросы, необходим достаточно высокий уровень достоверности статистических оценок этого показателя, что само по себе представляет собой достаточно трудную вероятностную задачу.

Особенно важно обеспечить корректность оценок при расчетах так называемого порога рентабельности рейсов, который определяется как

, (1)

где

Dp - доходы от выполнения рейса;

Zp - затраты рейса.

Низкая точность оценок этого показателя часто является причиной значительных ошибок при классификации рейсов, т. е. разнесении их по группам рентабельных и не рентабельных, что, в свою очередь, может привести к неправильным статистическим выводам о рентабельности эксплуатации той или иной воздушной линии или маршрутной сети. Наоборот, точное определение значений порога рентабельности значительно повышает эффективность управления авиаперевозками, позволяет сэкономить материальные ресурсы авиакомпании.

Попытки решить данную проблему не раз осуществлялись как российскими, так и зарубежными авторами, предлагались различные гипотезы о законах распределения показателей доходов и затрат рейсов [1,2]. Однако, вследствие того, что на практике законы распределения никогда точно не известны, применимость известных подходов оказывается не всегда правомерной, или носит ограниченный характер.

Представляется целесообразным определить экстремальные (наихудшие в некотором смысле) законы распределения доходов и затрат рейсов, а затем определить закон распределения порога рентабельности рейсов. Это позволит определить верхние гарантированные оценки значений К, исходя из имеющейся априорной информации о доходах и затратах, а также их экстремальных (наихудших) законов распределения.

Определение экстремальных законов распределения

Пусть известна следующая априорная информация:

1. Задана существенно положительная величина Х, т. е.

.

2. Существует закон распределения случайной величины в виде функции плотности , которая удовлетворяет условию нормировки

, , (2)

.

3. Известно номинальное значение случайной величины, то есть

. (3)

Требуется определить аналитический вид закона распределения случайной величины при ограничениях (2), (3). В качестве критерия возьмем наиболее часто употребляемый критерий [3] – энтропию системы.

. (4)

Необходимо определить вид функции , который обеспечивает максимум энтропии (4) с учетом ограничений (2), (3), то есть такую функцию, которая обеспечивает наибольшую неопределенность наших значений при заданной априорной информации.

Таким образом, имеем вырожденную изопериметрическую вариационную задачу [4]. Функция Лагранжа имеет вид

. (5)

Необходимое условие максимума с учетом (5) запишется

(6)

Из (6) следует, что

, , . (7)

Первое ограничение (2) выполняется автоматически, а с учетом второго ограничения (2) и ограничения (3) следует, что

(8)

Таким образом, если известно только номинальное значение случайной неотрицательной величины, то экстремальный (наихудший с точки зрения неопределенности нашего знания) является показательный закон распределения (8). Иногда вместо п.3 априорной информации о номинальном значении случайной величины бывает известной линейная комбинация рассеивания и функции номинального значения, то есть задан второй начальный момент.

.

В этом случае функция Лагранжа имеет вид

. (9)

Из необходимых условий экстремума имеем

, где , . (10)

Подставляя (10) в ограничения (2), (9), после некоторых преобразований получим окончательно

. (11)

Если имеется априорная информация как о номинальном значении случайной величины, так и о ее мере рассеивания (дисперсии), то дополнительные ограничения можно записать в виде:

.

* .

Тогда

.

Из необходимого условия экстремума в этом случае следует, что

, , (12)

, .

Подставляя (12) в ограничения (2), (3), (4), после некоторых довольно простых, но громоздких преобразований получим

, ,

- функция Лапласа.

Значение b определяется из нелинейного уравнения

Закон распределения оценок рентабельности

Учитывая (1) и гипотезу о независимости значений доходов и затрат, получим [4]:

(13)

Пусть законы распределения доходов и затрат являются показательными. Тогда

, ,

Вероятность рентабельного выполнения рейса определяется

(14)

В таблице 1 приведены выражения для экстремальных законов распределения порога рентабельности, а также для вероятности рентабельного выполнения рейса в зависимости от имеющейся априорной информации, рассчитанных в соответствии с (14). Анализ (14) показывает, что при наличии априорной информации только о номинальных значениях доходов и затрат (п.1 табл.1) и при равенстве , вероятность рентабельной эксплуатации рейса равна 0,5. В таких случаях делать какие-либо статистические выводы о рейсе представляется весьма затруднительным.

Таблица 1.

Закон распределения

Закон аспреде-

ления порога

рен табельности

Вероятность

рентабельной работы

Доходы

Д

Расходы

Z

1

2
 

3

,

,

.

Для того, чтобы вероятность рентабельной эксплуатации рейса была больше, необходимо привлекать больший объем априорной информации о статистических характеристиках доходов и затрат, то есть вторые начальные моменты распределения, или, что еще лучше, их дисперсии (см. п. 2 и 3 таблицы 1).

Практические расчёты, приведенные для случая известных дисперсий доходов и расходов, а также соответствующих экстремальных (наихудших) законов распределения (см. п.3 табл.1) показывают, что, для того, чтобы вероятность рентабельной эксплуатации рейсов была не менее 0,9, необходимо, чтобы выполнялось условия

* (15)

*и

*

В целом предложенный подход позволяет получить оценки сверху (гарантированные оценки) для порога рентабельности, а также вероятности рентабельной эксплуатации рейсов в зависимости от наличия априорной информации о числовых характеристиках существующих априорных законов распределения и полученных аналитическим путем наихудших (экстремальных) апостериорных законов распределения. Это обеспечивает возможность более точно решать задачи классификации и управления рейсами по критерию рентабельности. С другой стороны, согласно условию (15) реализация такого подхода предъявляет жесткие требования к достоверности исходной статистики по доходам и затратам.

Литература

1.  Stephen Shaw. Air transport, a marketing perspective, London, 1994.

2.  Румянцева методы в планирование гражданской авиации, в книге «Воздушный транспорт» Москва, 1980.

3.  Капур К, Надежность и проектирование систем «Мир», Москва, 1980.

4.  , Фомин исчисления, ФМ, Москва, 1982.