Расчетно-графическое задание

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Транспортный факультет

Кафедра информатики

Расчетно-графическое задание

Руководитель

« » _ _2001г.

Исполнитель:

студент гр.04-ААХ-1

« » __2006г.

Оренбург 2006

Содержание:

1. Решение нелинейного уравнения.

1.1 Постановка задачи

1.2 Метод половинного деления……………………………………………..2

1.3 Метод хорд………………………………………………………………...3

1.4 Метод Ньютона…………………………………………………………...4

1.5 Метод простых итераций……………………………………………….5-6

2. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона.

2.1 Постановка задачи

2.2 Результаты выполнения ………………………………………………..7-8

3. Вычисление значения определенного интеграла.

3.1 Постановка задачи

3.2 Краткая теоретическая справка ……………………………………….9

3.3 Результаты выполнения………………………………………………….9

4. Решение дифференциального уравнения в системе MathCad.

4.1 Постановка задачи

4.2 Краткая теоретическая справка………………………………………….10

4.3 Результаты выполнения…………………………………………………11

5.Список литературы…………………………………………………….12

1 Решение нелинейного уравнения

1.1  Постановка задачи

Найти корни уравнения методами половинного деления, хорд, Ньютона, простых итераций:

х2+3х – 20=0

1.2 Метод половинного деления.

Метод половинного деления определяет линейную, но безусловную сходимость. Находим середину [a, b]

f(a), f(c1), f(b) – выбор части, где знаки различны

Получим последовательность с1, с2, …,сn определяющую корень.

Для того, чтобы определить значение корня с установленной точностью используют соотношение - точность.

Число итераций для достижения заданной точности определяется

1.3 Метод хорд.

1.4 Метод Ньютона.

f(x)= найдем решение уравнения на [a, b], функция непрерывна и ограничена, f(a)∙f(b)<0 существует первая и вторая производные в каждой точке этого отрезка, тогда если считать, что точка х0- начальное приближение такое, что f(x0)∙f′′(x0)>0, то данное уравнение можно вычислить методом Ньютона.

1.5 Метод простых итераций

Преобразовать функцию f(x) к виду fi(x) можно двумя способами:

1)  Выразить х из уравнения f(x)=0 так, чтобы для полученного уравнения

х=f(x) выполнялось условие сходимости │fi′(x)│<1 в окрестности искомого корня.

2) Заменить уравнение fi(x)=0 на равносильное x=x+c∙fi(x), где c=const≠0. Тогда, принимая правую часть этого уравнения за fi(x) и раскрывая │fi′(x)│=│1+c∙fi′(x)│<1 , получаем условие

-2<c∙fi(x)<0

2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Задание 2

Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона

Если задано выражение f(х) и отмечена переменная х, то команда Solve (Решить относительно переменной) возвращает символьные значения указанной переменной х.

Выразим в каждом уравнении у через х:

Построим графики функций

Точку пересечения кривых выберем в качестве начального приближения:

Сформируем матрицу Якоби:

Определитель матрицы отличен от нуля, следовательно матрица Якоби не вырождена, поэтому можно использовать итерационную формулу Ньютона

Программа нахождения корней системы нелинейных уравнений методом Ньютона:

3. Вычислить значение определенного интеграла, используя математический процессор MathCad

Определенный интеграл.

Рассмотрим функцию f(х), определенную на промежутке [a, b].Разобьем промежуток на n произвольных частей точками

а=х0<x1<x2<…<xn-1<xn=b

и обозначим

∆i=xi-xi-1, i=1,…,n,

На каждом промежутке [xi-1,xi] возьмем произвольную точку ξ и вычислим в ней значение функции f(x). Выражение

называется интегральной суммой функции f(x). Если при ∆→0 существует и конечен предел lim S, не зависящей ни от способа разбиения промежутка [a, b] точками xi, i=1,2,…, n – 1, ни от выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) по прежнему [a, b], а саму функцию – интегрируемой на [a, b]. Обозначают

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если f(x)>0, то равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми х=а, х=b.

Вычисление значения определенного интеграла в системе MathCad:

Определенный интеграл вычисляется: щелкаем в панели соответствующий значок определенного интеграла, вводим в помеченных позициях выражение для функции, имя переменной интегрирования и пределы интегрирования, затем вводим знак равенства:

=0.468

4 Решение дифференциального уравнения в системе MathCad

4. Дифференциальные уравнения, уравнения следующего вида:

y΄=f(x, y)

у(х) – решение уравнения

Получается xi и yi на каком-то промежутке, решение носит пошаговый характер:

h=xi+1-xi

Существует 2 типа задач:

1-й тип, когда заданы начальные условия х0 и у0 – задача Коши

2-й тип краевые задачи

Все методы решения дифференциальных уравнений разделяются на 2 класса:

1. Одношаговые методы.

Используют для нахождения следующего значения функции только одной текущей точки. К ним относятся, например, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта.

2. Многошаговые методы.

Для нахождения требуется несколько точек – это методы прогноза и коррекции.

Метод Эйлера:

Для повышения точности используется модифицированный метод Эйлера – является методом 2-го порядка точности:

yi+1=yi+0,5h·(f(xi, yi)+f(xi+1,yi+1)), точность вычислений контролируется методом 2-го просчета, сначала вычисляют решение уравнения на каком-то текущем шаге h и получают значение у1i+1,затем в эту же точку приходят за 2 шага h/2 и получают точку у2i+1 и сравнивают, если значение отличается не больше, чем на величину т. е. , если не выполняется то шаг уменьшается в двое.

4.1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на равномерной сетке отрезка [a, b] методом Эйлера. Сравнить численное решение с точным.

Литература:

1.  , MathCad. Математический практикум для инженеров и экономистов: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 656 с.: ил.

2.  Лекции по информатике.