О задаче оптимального выведения ракеты-носителя на околоземную орбиту

О ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫВЕДЕНИЯ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ НА ОКОЛОЗЕМНУЮ ОРБИТУ[1]

Думшева Т. Д., с. н.с. отдела прикладных проблем управления ИММ УрО РАН, *****@,

Кандоба И. Н., с. н.с. отдела прикладных проблем управления ИММ УрО РАН, *****@,

Костоусова Е. К., в. н.с. отдела оптимального управления ИММ УрО РАН, *****@,

Ложников А. Б., н. с. отдела дифференциальных уравнений ИММ УрО РАН, *****@***ru,

Починский В. И., в. н.с.

Аннотация

Рассматриваются задачи управления, возникающие при выведении ракеты-носителя на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Движение ракеты-носителя описывается нелинейной динамической системой. В ряде практически важных задач к искомому управлению предъявляются дополнительные требования. Первое заключается в максимизации выводимой на орбиту массы полезной нагрузки, второе заключается в обеспечении требования падения отделяемых частей РН в заданные районы, третье диктуется необходимостью обеспечения успешного возвращения космического аппарата на Землю с любой точки траектории движения ракеты-носителя. Второе и третье условия приводят к возникновению ограничений на текущее фазовое состояние динамической системы.

Введение

На протяжении последних примерно десяти лет в Институте математики и механики им. УрО РАН (ИММ) совместно с НПО автоматики им. акад. (г. Екатеринбург) (НПОА) активно исследуются задачи оптимального выведения ракеты-носителя (РН) на заданную околоземную эллиптическую орбиту. Математическая модель управляемого движения РН описывается нелинейной динамической системой, где в качестве управления используются угловые скорости изменения углов тангажа и рысканья, определяющих угловую ориентацию строительной оси РН. Основное внимание в этих исследованиях уделяется разработке методов построения программного управления, обеспечивающего вывод РН на заданную орбиту и удовлетворяющего ряду дополнительных требований. В настоящее время у разработчиков ракетно-космической техники наибольший интерес вызывают проблемы разработки такого управления, которое позволяет вывести на орбиту полезную нагрузку максимальной массы и обеспечивает выполнение некоторых фазовых ограничений на текущее состояние нелинейной динамической системы. Рассматриваемые фазовые ограничения диктуются необходимостью обеспечения падения отделяемых частей РН в заданные районы, а также учета возможности успешного возвращения космического аппарата на Землю с любой точки траектории движения РН. Особую актуальность последнее условие приобретает при подготовке РН к пилотируемому пуску.

1. Математические модели управляемого движения ракеты-носителя и баллистического спуска его отделяемых частей

Задача вывода РН на заданную орбиту решается на базе математических моделей управляемого движения РН на всей траектории полета [1] и движения его отделяемых частей (ОЧ) при баллистическом спуске [2].

Уравнения движения центра масс РН в инерциальной стартовой системе координат от момента старта до момента выхода на заданную орбиту могут быть записаны в следующем компактном виде:

(1)

где ,  – координаты и компоненты скорости центра масс РН;  – масса РН;  – кусочно-постоянная функция расхода массы с переключениями в моменты сброса отделяемых частей РН;  – ускорение, задаваемое суммой составляющих, определяемых реактивными, аэродинамическими и гравитационными силами:

;

 – сила тяги двигательной установки РН;  – углы тангажа и рысканья РН, определяющие угловую ориентацию строительной оси РН;  – момент начала движения РН;  – момент выхода РН на заданную орбиту.

Орбита, на которую выводится РН, задается следующими пятью параметрами (параметры оскулирующей орбиты [1]): наклонение плоскости орбиты , долгота восходящего узла , минимальная высота орбиты , максимальная высота орбиты , аргумент перигея .

Для системы (1) задаются начальные условия:

. (2)

Момент времени выхода РН на орбиту не фиксирован и полагается равным моменту времени выключения двигателя последней ступени РН.

Скорости и изменения углов и рассматриваются как управляющие воздействия, ограниченные по величине неравенствами

. (3)

Математическая модель баллистического спуска отделяемой части РН (первая, вторая ступени для РН «Союз-2», хвостовой отсек и головной обтекатель последней ступени, космический аппарат в случае его аварийного спуска) описывает траекторию движения центра масс ОЧ в неоднородном центральном поле тяготения от момента отделения ОЧ от РН до момента соприкосновения ОЧ с земной поверхностью. Параметрами модели являются масса, коэффициент лобового сопротивления и площадь миделя ОЧ, а также – начальные условия в момент отделения ОЧ от РН: пространственные координаты центра масс ОЧ , направление и величина вектора скорости ОЧ. Здесь в обозначениях величин, относящихся к ОЧ, символ «крышка» использован для того, чтобы различать соотношения, описывающие движение РН на всей траектории и движение ОЧ при ее баллистическом спуске. Движение центра масс ОЧ [2] описывается системой дифференциальных уравнений

(4)

где  – аэродинамическое ускорение.

Начальные условия для системы (4) определяются значениями векторов и для РН в момент времени :

. (5)

Разрешенный район падения ОЧ считается круговым и задается тремя параметрами: , ,  – широта и долгота цента района и его радиус, т. е. предельно допустимое отклонение точки от центра, заданное в метрах. В терминах , и можно вычислить «радиус промаха» r для точки . Тогда ограничение на точку падения ОЧ может быть записано в виде:

. (6)

В случае возникновения непредвиденной аварийной ситуации космический аппарат (КА) должен быть благополучно возвращен на Землю. При движении КА в атмосфере (которое описывается уравнениями типа (4)) возникает перегрузка , которая показывает во сколько раз аэродинамическое ускорение больше ускорения силы тяжести на поверхности Земли.

Для перегрузки задается ее предельное значение , превышение которого недопустимо. Для обеспечения успешного возвращения КА на Землю в случае возникновения непредвиденной аварийной ситуации требуется, чтобы максимально возможные перегрузки не превышали значения . С учетом того, что траектория аварийного спуска КА зависит от момента начала спуска, ограничение на перегрузки может быть записано в виде

, (7)

. (8)

2. Постановки задач оптимального выведения ракеты-носителя. Методы решения.

Задача максимизации выводимой ракетой-носителем на заданную орбиту массы полезной нагрузки исследовалась, в частности, в работах [3-6]. Известно, что при заданной положительной функции эта задача равносильна задаче минимизации значения момента времени выхода РН на орбиту – задаче оптимального быстродействия с терминальными ограничениями:

Задача 1. Для управляемой системы (1) с заданными начальными условиями (2) найти программное управление , минимизирующее значение функционала . При этом должны быть выполнены ограничения (3) и

, , ,

, , (9)

где , , , ,  – заданные значения параметров эллиптической орбиты выведения, а , , , ,  –допустимые отклонения от этих параметров.

Здесь следует отметить, что в задаче 1 рассматривается безатмосферный участок траектории последней ступени РН после сброса всех его отделяемых частей ( – момент времени начала работы последней ступени РН после сброса всех ОЧ).

В [3] предложен конструктивный метод численного решения задачи 1. Основная идея этого метода заключается в декомпозиции движения РН на этом участке на три составляющих – боковое, вертикальное и горизонтальное движения РН. Для каждого из этих типов движения РН решается соответствующая специальная задача оптимального управления. Синтез решений этих задач позволяет построить квазиоптимальное по быстродействию управление (базовое управление ), обеспечивающее вывод РН на заданную орбиту. Такой метод во многом базируется на инженерном представлении о структуре оптимального в задаче 1 управления. Тем не менее, несмотря на отсутствие полного строгого с математической точки зрения обоснования этого алгоритма, результаты численного моделирования с использованием реальных данных подтверждают его эффективность.

В [4] предложен алгоритм построения допустимого управления на атмосферном участке полета с учетом ограничений (6).

В [5,6] для задачи 1 разработаны другие подходы к построению допустимого управления, обеспечивающего выведение РН на заданную орбиту к фиксированному моменту времени . В частности, допустимое управление в задаче 1 может быть построено как решение некоторой вспомогательной нелинейной экстремальной задачи [5,6]. Для решения такой задачи используется итерационная процедура, основанная на методе сопряженных градиентов. Попытки улучшить базовое управление с помощью этого подхода, а также с помощью другого подхода, описанного в [5], дали несущественный выигрыш по времени выведения РН на орбиту. При этом время вычислений оказывается существенно больше, чем при реализации метода из [5].

С учетом фазовых ограничений (6) и (7) на траекторию движения РН особую актуальность приобретают следующие задачи.

Задача 2. Для управляемой системы (1) с заданными начальными условиями (2) найти программное управление , минимизирующее значение функционала . При этом должны быть выполнены ограничения (3), (6) и (9).

Задача 3. Для управляемой системы (1) с заданными начальными условиями (2) найти программное управление , минимизирующее значение функционала . При этом должны быть выполнены ограничения (3), и (9).

При этом в задачах 2, 3 (в отличие от задачи 1) рассматривается весь промежуток управляемого движения РН, начиная от момента его старта.

Для построения допустимого в задаче 2 управления разработано несколько методов, основанных на использовании базового управления . Для этого разработана модификация алгоритма [5] построения управления на промежутке траектории движения РН, включающем атмосферный участок полета РН и моменты времени сброса всех его ОЧ.

Допустимое в задаче 2 управление, выводящее РН на орбиту и обеспечивающее падение его ОЧ в заданные районы, предлагается строить, используя несколько управлений . Эти базовые управления последовательно строятся на нескольких интервалах времени. Начальные точки этих интервалов соответствуют либо моменту времени достижения РН априорно заданной высоты (высота конца ветра), либо моментам времени сброса отделяемых частей РН. Для каждого из таких моментов времени строится выводящее РН на орбиту управление , определяемое состоянием системы (1) в соответствующий момент времени. Затем на этих интервалах времени последовательно (от интервала к интервалу) корректируются соответствующие управления так, чтобы действующее на всем промежутке управление, образованное такими «скорректированными» базовыми управлениями и «неприкосновенным» базовым управлением на последнем интервале, являлось допустимым в задаче 2. Предложено несколько процедур «коррекции» базовых управлений.

В задаче 3 проведено исследование свойств функции максимальной перегрузки . Были определены более конструктивные, чем координаты векторов (аргументы функции (8)), основные факторы, оказывающие доминирующее влияние на значения функции максимальной перегрузки, которые могут быть использованы в качестве ресурсов, за счет которых возможно удовлетворить ограничениям (7). Такими факторами являются:  – высота, на которой находится КА в момент начала аварийного спуска;  – модуль скорости КА в этот момент;  – угол между векторами и . Предложены подходы к численному решению задачи 3, основанные на решении вспомогательных задач оптимального управления на фиксированном промежутке времени и использовании идеи метода штрафов. При этом минимизируемый функционал во вспомогательной задаче отвечает за выполнение ограничений на параметры орбиты, а фазовые ограничения, связанные с перегрузками, учитываются путем введения тех или иных слагаемых со штрафами. В частности, для задачи, где возможность аварийного спуска рассматривается только для не очень больших высот, предложено произвести неявный учет фазовых ограничений (7) путем введения в минимизируемый функционал слагаемого, зависящего от угла , –интегрального слагаемого с подынтегральной функцией .

Заключение

В ИММ и НПОА усовершенствованы существующие и разработаны новые эффективные алгоритмы численного решения задач нелинейной динамики. Эти алгоритмы были апробированы в рамках широкомасштабного вычислительного эксперимента на многопроцессорной вычислительной системе с использованием реальных данных. Результаты численного моделирования свидетельствуют о достаточной эффективности разработанных методов.

Литература

1.  Е, Сихарулидзе механики космического полета. М.: Наука, 19 с.

2.  Охоцимский Д. Е., Голубев Ю. Ф., Сихарулидзе  управления космическим аппаратом при входе в атмосферу. М.: Наука, 19 с.

3.  Мазгалин способа управления ракетой-носителем при использовании в качестве управления программных угловых скоростей разворотов // Информационно-управляющие системы. 2010. №3(46). C.21-29.

4.  , Починский определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном активном участке полета РН // Вестник ЮУрГУ. Серия "Компьютерные технологии, управление и радиоэлектроника". 2010. Вып.12. №22 (198). С. 47-50.

5.  , , Починский задачи оптимального вывода полезной нагрузки на заданную эллиптическую орбиту// Труды Института математики и механики. УрО РАН. 2010. Т.16. №5. C.57-65.

6.  , О задачах выведения ракеты-носителя на заданные эллиптические орбиты// Труды Института математики и механики. УрО РАН. 2011. Т.17. №3. C.201-216.

[1] Работа выполнена в рамках программ фундаментальных исследований Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1022), «Информационные, управляющие и интеллектуальные технологии и системы» (проект 12-П-1-1023) и интеграционного проекта УрО и СО РАН (проект 12-С-1-1017).