Основные понятия теории вероятностей

1. Основные понятия теории вероятностей.

1.1  Какое множество F подмножеств пространства элементарных исходов называется алгеброй?

Определение: Алгеброй событий называется класс F событий (система множеств), который удовлетворяет следующим требованиям:

1)  из А, В F следует

2)  из А F следует

1.2  Каким подмножеством достаточно дополнить множество F для того, чтобы F стало алгеброй подмножеств ?

Пустым.

1.3  Верно ли, что для любой алгебры подмножеств подмножества Ø, Ω принадлежит этой алгебре?

Да.

1.4  Пусть F – алгебра подмножеств Ω. Какое дополнительное условие надо наложить на F для того, чтобы F стала сигма-алгеброй?

Для всякой последовательности событий Аj Є F, j=1,2,…, A=U Аj Є F.

1.5  Какое свойство вероятности называется сигма-аддитивностью?

Пусть события Аj, j=1, 2, …, попарно несовместны:и .Тогда

1.6  При каком условии на события А и В имеет место равенство ?

Верно для несовместных событий.

1.7  Верно ли, что

Да. Если .

1.8  Что такое независимость событий А и В?

Определение: События А и В называются независимыми, если

1.9  Пусть события А и В являются независимыми и несовместными. Найти min(P(A),P(B)).

1.10  Cледует ли из независимости событий в совокупности их попарная независимость?

Да.

1.11  Следует ли из попарной независимости событий их независимость в совокупности?

Нет.

1.12  Известно, что А и В – независимые события. Верно ли, что события и также независимыми?

Да.

Доказательство.

1.13  Написать формулу вероятности того, что произошло событие А, при условии, что произошло событие В.

1.14  Пусть события А и В являются независимыми. Чему равна

1.15  При каких условиях события образуют полную группу?

Если , попарно несовместные, т. е. при любом исходе эксперимента, хотя бы один из них непременно происходит.

1.16  Написать формулу полной вероятности.

1.17  Написать формулу Байеса.

1.18  Можно ли определить классическую вероятность в пространстве со счетным числом элементарных исходов?

С конечным – да!

1.19  Пусть проведено n независимых испытаний Бернулли, вероятность успеха в единичном испытании равна р. Чему равна вероятность того, что произошло ровно k успехов?

1.20  При каких условиях имеет место сходимость

2. Теория случайных величин.

2.1  Какая функция называется случайной величиной?

т. е. событие

Будем обозначать .

2.2  Что такое функция распределения случайной величины ?

2.3  Могут ли две различные случайные величины иметь одинаковые функции распределения?

Да.

2.4  Пусть есть функция распределения случайной величины . Выразить через следующие вероятности:

2.5  Что можно сказать о непрерывности функции распределения случайной величины?

- непрерывная слева функция.

2.6  Может ли следующая функция быть функцией распределения случайной величины ?

Да.

2.7  Пусть р(х) есть плотность распределения случайной величины . Может ли для некоторого иметь место равенство ?

Нет.

2.8  Пусть р(х) есть плотность распределения случайной величины .Чему равна - функция распределения случайной величины .

2.9  Пусть р(х) есть плотность распределения случайной величины . Чему равна

.

2.10  Пусть - дискретная случайная величина, Чему равно ?

2.11  Пусть - абсолютно непрерывная случайная величина, р(х) есть плотность распределения случайной величины . Чему равно ?

2.12  Может ли случайная величина не иметь математического ожидания?

Да.

2.13  Может ли случайная величина не иметь дисперсии?

Да.

2.14  Может ли математическое ожидание дискретной случайной величины не принадлежать множеству ее значений?

Да.

2.15  Пусть существует . Чему равно

2.16  Пусть существуют Всегда ли

Да.

2.17  Пусть существуют При каких дополнительных условиях

Если - независимые в совокупности.

2.18  Что такое дисперсия случайной величины ?

2.19  Пусть существует . Чему равно

2.20  Всегда ли дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий?

Нет. Только для попарно независимых случайных величин.

2.21  Что такое коэффициент ковариации случайных величин

2.22  Что такое совместная функция распределения двух случайных величин

2.23  Какой вид имеет - совместная функция распределения случайных величин - в случае их совокупной независимости?

2.24  Пусть - совместная плотность распределения случайных величин . Как найти плотность распределения случайной величины ?

2.25  Пусть - плотность распределения случайной величины . Найти

Mξ=1, Dξ=4.

2.26  Чему равно математическое ожидание случайной величины равномерно распределенной в интервале (-1,1)?

2.27  Что такое характеристическая функция случайной величины ?

2.28  Что такое сходимость по вероятности последовательности случайных величин к случайной величине ?

Определение: Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине , если для

2.29  Что такое сходимость по распределению последовательности случайных величин к случайной величине ?

2.30  К чему сходится последовательность в законе больших чисел?

Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, для которых , . Тогда при

с вероятностью 1.

3. Цепи Маркова и случайные процессы.

3.1  Чему равна сумма элементов строки матрицы переходных вероятностей для конечных однородных цепей Маркова в случае матрицы перехода за один шаг?

Единице.

3.2  Чему равна сумма элементов строки матрицы переходных вероятностей для конечных однородных цепей Маркова в случае матрицы перехода за k шагов?

Единице.

3.3  Что можно сказать о строках матрицы переходных вероятностей в случае независимости состояний цепи Маркова?

Они одинаковые.

3.4  Пусть - матрица перехода за один шаг в цепи Маркова. Найти значение а.

3.5  Может ли быть матрицей перехода в цепи Маркова?

Нет, т. к. в первой и второй строках сумма элементов не равна единице.

3.6  Каким равенством в теории цепей Маркова связаны матрица перехода за один шаг и матрица перехода за k шагов?

=

3.7  Что такое случайный процесс?

, Т – некоторое числовое мн-во. Случайной функцией называется действ. ф-ция . Ес. При каждом t случайная величина. Если интерпретировать t как время, то случайный процесс.

3.8  Пусть - случайный процесс. Что такое двумерная функция распределения данного случайного процесса?

3.9  Пусть - случайный процесс. Что такое корреляционная функция данного случайного процесса?

3.10  Какой случайный процесс является математической моделью броуновского движения?

Винеровский случайный процесс.

3.11  Какой случайный процесс является математической моделью радиоактивного распада?

Процесс Пуассона.

3.12  Что такое непрерывность в среднем квадратичном случайного процесса ?

Случайный процесс называется непрерывным в среднем квадратичном в точке t, если для каждого t при ().

3.13  Что такое дифференцируемость в среднем квадратичном случайного процесса ?

Случайный процесс называется дифференцируемым в среднем квадратичном в точке t, если существует предел

3.14  Что такое интегрируемость по Риману в среднем квадратичном случайного процесса ?

Случайный процесс называется интегрируемым по Риману в среднем квадратичном на [a, b], если последовательность римановских интегральных сумм средне квадратично сходится при

3.15  Какой случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями?

Для любых 0≤t1<…<tn случайн. величины - независимы в совокупности.

4. Математическая статистика.

4.1  Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Найти значение констант a и b таких, что имеет стандартное нормальное распределение с параметрами 0 и 1.

4.2  Пусть случайные величины независимы и имеют стандартное нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Какая функция от имеет распределение (Пирсона) с n степенями свободы?

=

4.3  Является ли матрицей оператора ортогонального проектирования в трехмерном евклидовом пространстве?

Нет, т. к.

4.4  Если нормально распределенные случайные величины независимы в некотором ортонормированном базисе, то могут ли они оказаться зависимыми в другом ортонормированном базисе?

Нет.

4.5  Может ли функция правдоподобия принимать отрицательные значения?

Нет.

4.6  Пусть – интервальная оценка параметра . Что такое уровень доверия оценки?

- уровень доверия.

4.7  Рассматривается интервальная оценка в нормальном распределении. В каком случае длина доверительного интервала меньше – в случае, когда дисперсия известна или не известна (при постоянных объеме выборки и уровне доверия)?

Длина доверительного интервала меньше, когда дисперсия известна.

4.8  Рассматривается интервальная оценка в нормальном распределении. В каком случае длина доверительного интервала меньше – в случае, когда уровень доверия больше или меньше (при постоянном объеме выборки)?

Длина доверительного интервала меньше, когда уровень доверия меньше.

4.9  Рассматривается интервальная оценка в нормальном распределении. В каком случае длина доверительного интервала меньше – в случае, когда объем выборки больше или меньше (при одном и том же уровне доверия)?

Длина доверительного интервала меньше, когда объем выборки больше.

4.10  Пусть статистика является точечной оценкой функции . Что такое несмещенность оценки?

4.11  Пусть статистика является точечной оценкой функции . Что такое состоятельность оценки?

4.12  Может ли состоятельная оценка не удовлетворять условию несмещенности?

Да.

4.13  Пусть - независимые случайные величины, распределенные по закону Является ли статистика несмещенной оценкой ?

. Является.

4.14  Пусть - эффективная оценка параметра нормального распределения, - несмещенная оценка, не обладающая свойством эффективности. Что можно сказать о дисперсиях и этих оценок?

4.15  Какая оценка называется оценкой максимального правдоподобия?

Наз. статистика , удовл. усл.:

для всех