Применение метода интервалов для решения неравенств

Применение метода интервалов для решения неравенств

Урок алгебры в 9 классе. Школа № 000.

Учитель математики

Применение метода интервалов для решения неравенств.

Цель урока: рассмотреть применение метода интервалов для решения неравенств различных типов.

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для их применения в новой ситуации.

3. Развивать у учащихся математическое мышление (умение наблюдать, выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач.

Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

Ход урока.

1.  Сообщение темы и цели урока.

2.  Повторение и закрепление пройденного материала.

1) Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор задач, вызвавших затруднения).

2) Повторение применения метода интервалов для решения неравенств.

3) Контроль усвоения материала (самостоятельная работа с проверкой). (Слайд 2).

Вариант 1.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б)

№2. Найдите область определения функции:

Вариант 2.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б)

№2. Найдите область определения функции:

Самопроверка самостоятельной работы (слайды 3-4).

3.  Изучение нового материала.

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней.

f(x) > 0(<, ≤, ≥ )

Обязательная фраза: Поскольку функция f(x) непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Функция может изменить свой знак при переходе через ноль или точку разрыва. Хотя может и не изменить. Между нулями и точками разрыва знак сохраняется. Тогда зачем при решении неравенства изображать саму функцию? Достаточно разбить числовую прямую на интервалы нулями функции и точками разрыва и в каждом из них определить знак.

Пример. Решим неравенство

Решение (слайд 5):

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х являются .

Проанализируем смену знаков в корнях различной кратности.

Посмотрите внимательно на диаграмму знаков, что можно заметить? (предполагаемый ответ: в корнях четной кратности смена знаков не произошла, а в корнях нечетной кратности – знак меняется).

Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении других неравенств.

Решите неравенство.

1 вариант:

2 вариант:

(Два ученика решают неравенства на доске, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам (слайд 6):

·  Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом.

·  При четном k многочлен справа и слева от имеет один и тот же знак (т. е. знак многочлена не меняется),

·  При нечетном k многочлен справа и слева от имеет противоположные знаки (т. е. знак многочлена изменяется).

Универсальный способ решения любых неравенств. (слайд 7)

1. Приводим к виду f(x) > 0(<, ≤, ≥ ), то есть все переносим в левую часть.

2. Находим область определения функции Д(f).

3. Нули функции f(x) = 0.

4. Изображаем интервалы между нулями в области определения.

5. Расставляем знаки в каждом интервале:

а) изменяем знак так, чтобы первый коэффициент был положительным ( а если разложили на множители, то перед х), тогда крайний правый знак «+»;

б) если множитель в четной степени или повторяется два раза, то он не влияет на смену знака.

6.Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Еще небольшое замечание, что бы применять метод интервалов, нужно сначала привести в неравенство к указанному виду (т. е. разложить на множители).

Пример: Решите дробно-рациональное неравенство .(слайд 8)

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого рассмотрим функцию . Поскольку функция непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения можно использовать метод интервалов.

1) Найдем Д(f): известно, что дробь не имеет смысла, если ее знаменатель обращается в ноль. Д(f): , и

2) Найдем нули функции, для этого приравняем числитель дроби к нулю: ,

х = -2.

3) Отметим Д(f) и нули на числовой прямой, и определим знак функции в каждом полученном промежутке:

 

4) Запишем ответ, учитывая знак неравенства

Ответ: .

4.  Задание на уроке (первичное закрепление материала).

Фронтальная работа с классом № 000 (а, в), № 000 (в, г), № 000(а), № 000(а).

№ 000. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) в)

№ 000. Решите неравенство:

в) г)

№ 000. Решите неравенство: а)

№ 000. Решите неравенство: а)

5. Задание на дом (слайд 9): № 000(б), 390(б), 393(б), 394(б).

6. Задания для тех, кто желает знать больше (слайд 9).

№1. Решите неравенство:

а)

б)

в)

№2. Постройте эскизы графиков функций:

а); б) .

7. Подведение итогов урока.