Распределение расстояния между случайными точками гиперсферы

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СЛУЧАЙНЫМИ

ТОЧКАМИ ГИПЕРСФЕРЫ

Находится плотность рапределения случайной величины, равной расстоянию между двумя точками, случайным образом брошенными на n-мерную сферу.

Известна учебная задача о распределении расстояния между двумя точками, случайным образом брошенными на сферу. Она решается так: одну из двух точек можно фиксировать и искать закон распределения кратчайшей дуги, соединяющей эти точки.

Рис. 1.

Если х - центральный угол, стягивающий эту дугу, то закон распределения такой

Здесь F(x) - функция распределения случайной величины - угла АОВ. Эта функция не зависит от радиуса сферы, что дает основание далее решать задачи на единичной сфере. Можно найти основные числовые характеристики : (очевидно) и .

В монографии [1] решается задача о распределении расстояния между двумя точками, попавшими внутрь шара и утверждается, что аналогичную задачу можно решать на сфере. Сделаем это, т. е. найдем закон распределения случайной величины , причем дадим решение в общем виде, т. е. для n-мерной сферы.

Пусть n-мерная сфера S имеет уравнение . Зафиксируем точку А на сфере. Пусть координаты точки А: А(1,0,...,0). Точка В(x1,x2,...,xn) равномерно распределена на сфере с плотностью

, с=const. (1)

Введем полярные координаты

Стандартно считается якобиан преобразования

Тогда плотность распределения после введения полярных координат имеет вид

(2)

Для вычисления константы с воспользуемся характеристическим свойством плотности распределения:

.

Подставим сюда значение плотности из (2). Имеем:

(3)

Так как

,

где Г(р) - гамма-функция Эйлера, то выражение (3) примет вид:

Отсюда .

Подставив найденную константу в (2), получим

(4)

Найдем расстояние между точками А и В

B

1

0 A

1

Рис. 2.

Пусть . По теореме косинусов имеем:

(5)

Здесь случайные величины и . Зная распределение (4) центрального угла между точками А и В, нужно найти распределение случайной величины , задаваемой формулой (5).

Для этого используем формулу для нахождения плотности случайной величины , являющейся функцией от другой случайной величины . Эта плотность находится по формуле , где плотность задана формулой (4), а - функция обратная к .

Из (5) следует, что ,

т. к. , , , то

Интересно отметить, что при n=3 случайная величина имеет равномерное распределение.

Применением более сложной техники эта задача решается в случае, когда вместо равномерного распределения точки В имеется концентрация массы распределения вдоль одной из координат, т. е. плотность имеет вид

, .

По поводу таких плотностей см [2]. При усложнении техники, идейная сторона решения остается прежней.

Литература.

1. Геометрические вероятности. М., “Наука”, 1972 г., 192 с..

2. Статистический анализ угловых наблюдений., М., “Наука”, 1978 г., 240 с..