Задание I тура (2011 г)

Задания I тура (2011 г.)

1. Имеется следующее многозначное число (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные):

КОНКУРС ЭВРИКА

Может ли данное число быть простым, если известно, что число

ОКОРОК

делится на 111?

Л. Штейнгарц

2. Бригада пильщиков распилила 15 бревен на куски без отходов (опилки в расчет не принимаем). Каждое бревно имело длину 10 или 12 метров, а каждый получившийся кусок – 3 или 4 метра. В результате трехметровых и четырехметровых кусков оказалось поровну. Сколько именно?

И. Акулич

3. Расставьте по десяти клеткам десять цифр от 0 до 9 так, чтобы произведение двух пятизначных чисел оказалось наибольшим.

С. Дворянинов

4. Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.

В. Произволов

5. Натуральное число n называется треугольным, если из n одинаковых шаров можно выложить треугольник так, как показано на рисунке 2 (на этом рисунке представлены треугольные числа 1, 3, 6, 10).

Рассмотрим ряд чисел: тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, … – и так далее. Найдутся ли среди них треугольные числа?

А. Жуков

6. Володя покрасил каждую грань 8 одинаковых кубиков в черный или белый цвет, затем скрепил ребра некоторых кубиков шарнирами так, что получилась замечательная связная конструкция: вращая её составные части вокруг шарниров, можно собрать кубик 2 ´ 2 ´ 2 снаружи либо полностью белый, либо полностью черный (рис. 3). Объясните, как нужно раскрашивать грани и какие ребра кубиков следует скреплять шарнирами, чтобы получилась такая же модель из кубиков, как у Володи[1].

В. Викторов.

[1] Рекомендуем самостоятельно изготовить такую модель. В качестве подручных материалов можно использовать пенопласт и резиновый клей – вместо шарниров. Мы в редакции поэкспериментировали с кубиками сахара-рафинада – получилось! – Примеч. ред.