УДК 621.318.12.001

Бийский педагогический государственный университет имени

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ ОДНООСНОГО ВЫСОКОАНИЗОТРОПНОГО МАГНЕТИКА С ШАРОВИДНЫМ ДЕФЕКТОМ

В рамках строгой теории микромагнетизма проведено численное моделирование процесса перемагничивания массивного одноосного магнетика с единичным когерентным низкоанизотропным шаровидным дефектом.

Выявлены зависимости коэрцитивной силы (Нс) и поля разрушения однородно намагниченного состояния (Но) от диаметра шаровидного дефекта и толщины переходного слоя на его границе. Получены оценки коэрцитивной силы для магнетиков SmCo5, Sm2Co17, Nd2Fe14B с шаровидным включением Co и Fe.

Одним из основных механизмов высококоэрцитивного состояния постоянных магнитов является трудность образования и/или роста зародышей обратных доменов. Процесс образования и роста зародышей перемагничивания начинается, как правило, на различного рода неоднородностях кристаллической структуры и часто лимитирует гистерезисные свойства одноосных высокоанизотропных магнетиков, а, следовательно, определяет эксплуатационные характеристики многих магнитожестких материалов.

Однако до настоящего времени систематического теоретического анализа процесса зародышеобразования и роста доменов перемагничивания не проведено. Лишь отдельные элементы этого процесса изучались в рамках различных приближений микромагнитной теории. В частности, рассматривалось закрепление доменной границы на одномерных неоднородностях типа межфазной границы или пластинчатого выделения (ПВ) в матрице одноосного магнетика.

Использовались также не микромагнитные модельные и формальные подходы (в частности, модели Прейзаха и их модификации). В большинстве таких работ были получены полуколичественные аналитические оценки. А между тем для разработчиков чрезвычайно важно иметь достаточно обоснованные представления о том, как влияют на процесс зародышеобразования магнитные параметры, размеры и форма различного рода выделений и неоднородностей. В работах [1-5] проводилось численное моделирование процесса перемагничивания одноосного магнетика с когерентно и некогерентно связанными магнитными дефектами в форме пластины и цилиндра с учётом магнитостатических полей. В настоящей работе проводится численное моделирование всего процесса перемагничивания высокоанизотропного магнетика с единичным шаровидным дефектом.

Постановка задачи и методика численных расчётов. Теоретическое исследование процессов перемагничивания магнетиков опирается на микромагнитный подход. В качестве модельных уравнений были взяты уравнения Брауна [6]. Рассматривался одноосный магнетик с шаровидным включением. Внешнее поле Н, ось лёгкого намагничивания (ОЛН) выделения и матрицы были направлены по оси Z (рисунок 1).

Рисунок 1. Геометрия рассматриваемой системы

(1 – дефект, 3 – матрица, 2 – переходный слой (ПС)).

При произвольном распределении намагниченности, задаваемом полем единичных векторов , полная энергия системы без учета магнитоупругих эффектов и поверхностной анизотропии дается выражением:

, (1)

здесь первый член описывает обменную энергию, второй – энергию анизотропии, где - некоторая функция ориентации намагниченности, вид которой зависит от симметрии кристаллической решетки, третий – энергию намагниченности во внешнем поле Н, а последний – энергию полей рассеяния, создаваемых намагниченностью - объем системы.

Если рассматривать полную энергию, как функционал, определённый на фазовом пространстве системы, то необходимым условием равновесности состояния будет равенство нулю первой вариационной производной по , вычисленной в этом состоянии или минимум термодинамического потенциала.

Мы будем находить равновесное состояние вектора намагниченности прямой минимизацией функционала свободной энергии, рассматриваемой системы. Для упрощения численных расчетов опустим в выражении (1) последний член, полагая, что для высокоанизотропных материалов его влияние не будет существенным.

Учитывая симметрию рассматриваемой системы (1) удобно представить в сферической системе координат (ССК) (r, j, q). Основные свойства системы не зависят от координаты j. В ССК термодинамический потенциал системы будет представлять собой двухмерный интеграл.

В силу симметрии рассматриваемой системы, при переходе учтем, что компонента и все частные производные по j тоже равны нулю.

Осуществим переход к ССК (r, j, q).

Для перехода используем формулы, выражающие декартовые координаты через сферические координаты [7].

,

здесь Vx, Vy, Vz – компоненты единичного вектора направляющих косинусов вектора намагниченности в декартовой системе координат, а Vr, Vj, Vq - направляющие косинусы вектора в ССК.

В ССК градиент функции имеет следующие представление:

.

После перехода к ССК члены, входящие в термодинамический потенциал (1) имеют вид:

(2)

(3)

В данном случае ОЛН совпадает с OZ, следовательно , тогда

(4)

Якобиан перехода .

- термодинамический потенциал в декартовой системе координат

- термодинамический потенциал в ССК.

Тогда полную энергию системы без учета магнитостатической энергии в ССК можно представить в виде:

(5)

где S – область интегрирования.

Граница между дефектом и матрицей аппроксимировалась:

1)  резкой переходной областью, на которой магнитные параметры скачком меняются от их значений в выделении к значениям в матрице,

2)  непрерывной переходной областью толщиной Δ, в которой соответствующее изменение параметров происходит линейно и непрерывно.

Другими словами:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Реализующиеся неоднородные распределения определяются из условия минимума (5).

Представим функционал (5) в виде суммы в пределе к нему сходящейся.

Обозначим:

(6)

Разобьем область интегрирования на равные ”элементарные” прямоугольники. Для этого введем на осях ρ и θ две равномерные сетки:

по оси θ:

шаг разбиения , т. е. отрезок, разбили на 2к равных отрезка.

по оси ρ:

шаг разбиения , т. е. отрезок [0; R] разбили на 2n равных отрезка.

В качестве высот параллелепипедов возьмем значение подинтегральной функции (6) в крайней левой нижней точке “элементарного” прямоугольника. Сумма объемов всех таких параллелепипедов приближенного представляет двухмерный интеграл свободной энергии, рассматриваемой системы.

Обозначим крайние левые нижние точки ”элементарного” прямоугольника за , где i – это номер столбца, а - номер строки.

Множество представляет собой сетку интегрирования для двойного интеграла (6).

Координаты определяются так:

число “элементарных” прямоугольников , площадь “элементарного” прямоугольника

Имеем:

Тогда функционал (6) приближенно можно представить в виде:

(7)

если обозначить за Л(Т) наибольшую из диагоналей всех “элементарных” прямоугольников при данном разбиении Т, то получим в пределе при Л(Т) , строгое равенство, то есть

.

Сделаем некоторые упрощения:

.

Тогда

(8)

Если (8) расписать более подробно, то получим

(9)

где , , , , , , - значения магнитных констант, направляющих косинусов вектора намагниченности, длины радиус вектора и угла в узлах сетки интегрирования. Аппроксимация производных в узлах сетки производилась разностными отношениями с первым порядком точности:

Функционал (6) записанный в виде (9) можно трактовать, как функцию, определённую в N–мерном пространстве обобщённых координат , где . Минимум функции соответствует минимуму функционала при предельном отображении пространства координат на множество функций . Задача сводится к нахождению минимума функции N – переменных (9). Поиск локального минимума функции (9) будем производить по методу наискорейшего градиентного спуска в N–мерном пространстве обобщенных координат [8].

Градиент функции (9) представляет собой - мерный вектор. Процедура вычисления координат этого градиента очень громоздкая, поэтому приведем уже вычисленные координаты .

Координаты градиента вычисляются по следующим формулам:

1.  Координаты с компонентой θ.

а) Для первого ряда точек сетки:

Для

б) Для 2, 3, …, 2n ряда (j = 2; 3; 4; …; 2n), (i = 2; 3; 4; …; 2k):

в) Для первого столбца (j = 2; 3; 4; …; 2n):

г) Для последнего ряда (i = 2; 3; 4; …; 2k):

д) Для последнего столбца (j = 1; 2; 3; 4; …; 2n):

2) Координаты с компонентой ρ.

а) Для первого ряда:

б) Для последнего столбца (j = 2; 3; 4; …; 2n):

в) Для последнего ряда:

г) Для 2 ряда, 3 ряда, …, 2n ряда (j = 2; 3; 4; …; 2n; (i = 2; 3; …;2k)):

д) Для первого столбца (j = 2; 3; …; 2n):

Намагниченность системы в данном случае вычисляется по формуле:

, где это компоненты - мерного вектора, который обеспечивает локальный минимум функции (9). На языке программирования Turbo Pascal 7.0 был написан ряд программ реализующих метод наискорейшего градиентного спуска и метод сопряжённых градиентов.

Результаты численных расчётов и их анализ. “Геометрия” рассматриваемой системы приведена на рисунке 2.

Рисунок 2. “Геометрия измерения магнитных параметров”.

Эти конкретные значения магнитных констант дефекта и матрицы выбраны такими потому, что зародыш обратной намагниченности появляется в областях с пониженным значением константы анизотропии K.

Для общности полученных результатов магнитные константы и линейные размеры включения и ПС взяты в безразмерных, относительных единицах.

Проводился расчет коэрцитивной силы Нс и поля разрушения однородно намагниченного состояния (ОНС), Но для 4 вариантов:

1. 2.

3. 4.

где L - диаметр шаровидного включения, Δ – ширина ПС, L и Δ приведены в единицах. Полученные результаты приведенной коэрцитивной силы и поля разрушения ОНС приведены в таблицах 1 и 2. Влияние толщины шаровидного дефекта на hc и ho показано на рисунке 3. Влияние толщины ПС на hс показано на рисунке 4. Дополнительно были рассчитаны значения hc и Нс, ho и Но для конкретных магнетиков (см. таблицу 3). В данных случаях соотношение магнитных параметров шаровидного включения и матрицы близко к SmCo5, Nd2Fe14B, Sm2Co17 с шаровидным дефектом Со или Fe.

Таблица 1. Результаты расчетов для варианта 1÷3.

L

hc

ho

1

2

3

1

2

3

0.05

1.98

1.93

1.82

1.97

1.91

1.79

0.2

1.95

1.89

1.79

1.94

1.87

1.76

1

1.9

1.85

1.76

1.88

1.82

1.72

2.9

1.7

1.6

0.52

1.67

1.56

1.47

5.6

1.4

1.3

1.17

1.35

1.24

1.1

10

1.2

1.1

0.98

1.11

1

0.87

20

1

0.92

0.79

0.85

0.76

0.62

25

0.9

0.8

0.67

0.73

0.62

0.48

100

0.83

0.72

0.58

0.65

0.53

0.38

Таблица 2. Результаты расчетов для варианта 4.

D

0.2

1

2.9

5.0

10

12

50

hc

1.94

1.52

1.3

1.1

0.8

0.75

0.4

Таблица 3. Результаты расчетов для SmCo5, Nd2Fe14 B, Sm2Co17 с шаровидным включением Co или Fe.

Магнетик

Параметры

выделения

Параметры матрицы

L

Δ

hc

ho

Нс (kЭ)

Ho (kЭ)

К1

Мs1

А1

К2

Ms2

А2

SmCo5+ Co

0.02

1.6

1.25

1

1

1

100

100

25

50

0.13

0.12

0.1

0.09

52

48

40

36

Nd2Fe14B+ Fe

0.01

1.3

1.2

1

1

1

50

100

25

50

0.17

0.15

0.13

0.11

15.5

13.7

11.9

10

Sm2Co17+ Co

0.15

1.45

1.1

1

1

1

50

100

25

100

0.18

0.16

0.14

0.12

11.7

10.4

9.1

7.8

Рисунок 3. Зависимость приведенной коэрцитивной силы и поля разрушения ОНС от приведенной толщины шаровидного дефекта L (в единицах ): 1 - hc(L), 3 – ho(L) для D=0, L=0.05¸100; 2 – hc(L), 5 - ho(L) для 2D+L=1.0¸100, 2D=1.0; 4 – hc(L), 6 – ho(L) для 2D+L=2.0¸100, 2D=2.0.

Как видно из расчетных данных, приведенных в таблицах, в случае резкой межфазной границы быстрое уменьшение коэрцитивной силы и поля разрушения ОНС наблюдается с ростом диаметра шаровидного включения до ~ 6. При дальнейшем росте диаметра дефекта обе величины быстро достигают асимптотических значений, причем Нс значительно раньше Но. Наличие достаточно протяженного ПС на границе включения уменьшает Нс до сколько угодно малых значений.

Проведён расчёт всего процесса перемагничивания одноосного высокоанизотропного магнетика с единичными магнитными шаровидным включением различного диаметра. Магнитные параметры матрицы и шаровидного включения были различные, граница между дефектом и матрицей аппроксимировалась резкой переходной областью, на которой магнитные параметры скачком менялись от их значений в дефекте к значениям в матрице, либо непрерывной переходной областью, в которой соответствующее изменение параметров происходило линейно и непрерывно. В частности были рассмотрены высококоэрцитивные магнитные материалы SmCo5, Nd2Fe14B, Sm2Co17 с когерентным шаровидным включением второй фазы Со или Fe.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Ерёмин, моделирование зародышеобразования обратных доменов в высокоанизотропных магнетиках [Текст] / , , // Известия вузов. Сер. Физика– Т. 44, № 8 (Приложение). – С. 26-29.

2.  Манаков, процесса образования обратных доменов на неоднородностях в высокоанизотропных одноосных магнетиках [Текст] / , , // Вестник Оренбургского государственного университета. Т. 2. Естественные и технические науки. – 2006. - № 2 – С. 58-61.

3.  Толстобров, и ассиметричные доменные структуры в полубесконечном монокристалле [Текст] / , , // Письма в Журнал технической физики. – 2006. – Т. 32, вып. 24. – С. 24-28.

4.  Ерёмин, гистерезиса одноосного высокоанизотропного магнетика с некогерентным игольчатым выделением с учётом магнитостатических взаимодействий [Текст] / , // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. – 2006. – Т. 3, № 4. – С. 22-27.

5.  Ерёмин, ёт процесса перемагничивания одноосного магнетика с некогерентным низкоанизотропным игольчатым выделением с учётом поля магнитостатики [Текст] / // Физико-химические процессы в неорганических материалах (ФХП – 10): доклады Десятой Международ. конф. Т. 2. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2007. – С. 52-56.

6.  Браун, [Текст] / . - М.: Наука, 1979. – 159 с.

7.  Бронштейн, по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / , . - М., 19с.

8.  Бахвалов, методы [Текст] / , , // Учебное пособие. - М.: Наука, 1987. – 600 с.