Тема урока: «Разложение многочлена на множители»

Тема урока: «Разложение многочлена на множители»

Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький,

Конфуций

Цели:

1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения мно­гочлена на множители и их комбинации.

2. Способствовать развитию наблюдательности, умения анали­зировать, сравнивать, делать выводы.

3. Побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование: плакаты, магнитная доска, на­бор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием тестов, индивидуальные оценочные листы, копироваль­ная бумага.

Работа учащихся состоит из трех этапов. Результаты каждого этапа урока ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

Фамилия
Имя
Этапы	Задания	Количество баллов
I	№ 1
	№2
	№3
II	№4
	№5
III	№6
	№7
Итоговое кол-во баллов
Оценка

Оценка за урок зависит от суммы п набранных баллов по всем заданиям. Если п 36, то ученик получает «5»; при 29 35 – оценка «4»; при

20 п 28 – оценка «3»; при n 20 ученик полу­чает «2».

Этап I. Начало урока посвящается повторению.

В парах выполняется задание теста 1 (3 мин):

ТЕСТ 1

1. Соединить линиями соответствующие части определения.

представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов

 

 

Оценка - 2 балла

2. Завершить утверждение.

Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скоб­ки.

Оценка - 2 балла.

3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.

Чтобы разло­жить многочлен на множители способом груп­пировки, нужно

 

сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множи­тель

2

вынести в каждой группе об­щий множитель (в виде мно­гочлена) за скобки

Вынести в каждой группе об­щий множитель в виде одно­члена за скобки

 

Оценка -2 балла

4. Отметить знаком плюс «+» верные выражения.

+

 

a) а2+b2-2ab=(a-b)2

б) m2+2mn-n2=(m-n)2

в) 2pt-p2-t2=(p-t)2

+

 

г) 2cd+c2+d2=(c+d)2

Оценка - 4 балла (no 1 баллу за каждое верно выбранное и вер­но невыбранное выражение).

Учитель вывешивает плакаты с от­ветами к заданиям теста. Происходит быстрая проверка и коммен­тарий заданий. Учитывая коэффициент участия в работе, ученики распределяют между собой заработанное количество баллов, вы­ставляют их в оценочные листы.

Затем на магнитной доске двое учеников выполняют задание 2 (5мин).

Провести классификацию данных многочленов по способу раз­ложения на множители.

В результате ученики собирают таблицу.

 

20х2у3+4х2у	a4-b8	2bx-3ay-6by+ax
b(a+5)-c(a+5)	27b3+a6	a2+ab-5a-5b
15a3b+3a2b3	X2+6x+9	2an-15bn-10bn+am

 

2y(x-5)+x(x-5)	49m4-25n2	3a2+3ab-7a-7b

 

Остальные учащиеся выполняют задание теста 2 на карточках.

После выполнения работы пары обмениваются вариантами, производят взаимопроверку, сличают работу соседа с тем, что соб­рано двумя учениками на магнитной доске. Оценивают работу то­варища.

Оценка - 8 баллов (по 1 баллу за каждое верное соединение).

ТЕСТ 2 Вариант I.

Задание 1. Соединить линиями многочлены с соответст­вующими им способами разложения на множители.

20x3y2+4x2y	Вынесение общего множителя за скобки
4a2-5a+9

 

2bx-3ay-6by+ax
Формула сокра­щенного умножения
a4-b8
9x2+y4	Не раскладывается на множители

 

27b3+a6

a2+ab-5a-5b

Способ группировки

b(a+5)-c(a+5)

 

Вариант II.

Задание 2. Соединить линиями многочлены с соответст­вующими им способами разложения на множители.

15а3в+3а2в3

Вынесение общего множителя за скобки

9х2+5х+4

 

2an-5bm-10bn+am

Формула сокра­щенного умножения

X2+6x+9

Не раскладывается на множители

4a4-25n2

 

3a2+3ab-7a-7b

Способ группировки

2y(x-5)+x(x-5)

 

Даем характеристику каждому перечисленному приему, демон­стрируем плакаты 2, 3,4,

Вынесение общего множителя Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен,

Группировка Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Применение формул сокращенного умножения Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обра­щает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Задание 3. «Математическая эстафета» (7 мин).

Работа по командам. На каждой парте нахо­дится листок с 4 заданиями (по два задания на каждого). Эти же задания записаны на доске. Ученик, получивший листок, вы­полняет первые два задания (разрешается совместная работа) и передает листок рядом сидящему, после чего подключа­ются к работе всего класса.

Работа считается оконченной, когда учитель получает четыре ли­стка (по количеству столов) с выполненными 4 заданиями.

Побеждают учащиеся той парты, в котором раньше решат четырьмя примерами.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью плаката с решениями. В этой работе оценивается коэффициент участия в решении.

Оценка - 4 баллов (по I баллу за каждый верно выполненный пример).

Задания

Разложить нa множители:

1-я парта

1. За + 126

2. 2а +26 + а2+ аЬ

4. 7а26-14а62 + 7аб

2-я парта

1. 16а2+8аб+б2

2. 3m – 3n + тп-- п2

3. 5а-25б

4. 144а2-25б2

3-я парта

I. 10а + 15с

2. 4а2-962 .

3. 6ху-аЬ-2Ьх-3ау

4. 4а2 + 28а6 + 4962

4-я парта

1. 5а+25б;

2. 16а2+64аб+2б2

3. x2-3x + x-3

Этап II.

На практике при решении примеров часто приходится исполь­зовать комбинацию различных приемов. Поэтому, чтобы успешно решать такие примеры сегодня, мы попытаемся выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт.

Задание 4. Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом (6 мин).

У доски одни и те же примеры выполняют несколько учащихся с последующей проверкой правильности выполнения учащимися класса.

Пример I. 36а6Ь3 - 96a4b4 + 64a2b5.

Р е ш е н и е. 36а6Ь3 - 96a4b4 + 64a2b5= 4a2b3(9a4-24a2b+16b2)= 4a2b3(3a2-4b)2

Комбинировали два приема:

- вынесение общего множителя за скобки;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 2 .а2+2ab + Ь2-с2 =(aг+ 2ab + b2) - с2.

Решение. а2+2ab + Ь2-с2 =(aг+ 2ab + b2) - с2=(a+b)2-c2=(a+b-c)(a+b+c)

Комбинировали два приема;

- группировку;

- использование формул сокращенного умножения.

Пример 3. у3-3y2+6y - 8.

Решение у3-3y2+6y - 8=( у3-8) –(3y2 -6y) = (y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2)=(y-2)(y2+2y+4-3y)= (y-2)(y2-y+4).

Комбинировали три приема:

- группировку;

- формулы сокращенного умножения;

- вынесение общего множителя за скобки.

Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок:

Плакат № 6.

1. Вынести общий множитель за скобку (если он есть).

2. Попробовать разложить многочлен на множители по фор­мулам сокращенного умножения.

3. Попытаться применить способ группировки (если преды­дущие способы не привели к цели).

Предварительное преобразование Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Оценка - 3 балла (по 1 баллу за каждый правильно, самостоя­тельно решенный пример).

Заданиемин) Совокупность различных приемов разло­жения на множители позволяет легко и изящно производить ариф­метические вычисления, решать уравнения вида ах2 + Ьх + с = 0 (а 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе), решать задачи на делимость, доказывать тождества.

1.  Решить уравнения:

а) x2-15x+56=0 b)x2+10x+21=0

Решение. Решение.

x2-15x+56=0 x2+10x+21=0

x2-7x-8x+56=0 x2+10x+25-4=0

(x2-7x)-(8x+56)=0 (x2+10x+25) -4=0

x(x-7) – 8(x-7) =0 (x+5)2-4=0

(x-7)(x-8)=0 (x+5-2)(x+5+2)=0

x-7=0 или x-8=0 x+3=0 или x+7=0

х = 7 или х = 8. х= -3 или ч= -7

Ответ: 7; 8. Ответ: -3; -7

Отмечаем, что при разложении x2 +10x +21 на множители мы «увидели» полный квадрат x2+10x+25= (х+5)2 и таким образом применили еще один прием разложения на мно­жители: метод выделения полного квадрата.

2. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (3n - 4)2 - п2 кратно 8.

Р е ш е н и е. (3n - 4)2 - n2 = (3n - 4 - n) (3n - 4 + п) = (2n - 4)(4n-4)=8(n-2)(n-1)

Так как в полученном произведении один множитель делится на 8, то все произведение делится на 8.

3. Доказать тождество (а2 + 3a)2 + 2(а2 + 3a) = а (а + 1) (а + 2) (а+ 3).

Способ I

Преобразуем левую часть ра­венства в правую.

(а2 + 3a)2 + 2(а2 + 3a) = (а2 + 3а) (а2 + 3а+12) = а (а + 3) (а (а + 2) + (а + 2)) = = а (а + 3) (а + 2) (а + I) = а (а + 1) (а + 2) (а + 3)

Способ II

Преобразуем правую часть равенства в левую. а (а + 1) (а + 2) (а + 3) = (а (а + 3)) ((а + 1) (а + 2)) = (a2 + За) (а2 + За + 2) = (а2 + За)2 + 2(а2 + За) 3)ч. т.д.

Для каждой задачи задания 3 указываем комбинацию приме­няемых примеров.

Оценка - б баллов (по 2 балла за каждое правильное решение).

Этап III

Задание 6. Самостоятельная работа (на листочках под ко­пирку) (10 мин).

Разложить на множители, используя различные способы.

Вариант I 1.a2-2ab + b2-ac + bc;

2.(c-a)(c + a)-b(b-2a);

3. х2 - Зх + 2;

Вариант П

1. т2 + 6тп + 9п2-т – 3n;

2. (6 - с) (b + с) -а (а + 2с);

3. х2 + 4х + 3;

Самостоятельная работа проверяется на уроке с помощью плаката.

Копии решений учащиеся сдают учителю, осуществляют само­проверку и самооценку знаний. Отметка за работу равна числу верно выполненных заданий.

Плакат с ответами к заданиям.

Вариант 1	Вариант II
1..(a-b)(a-b-c)	1..(m + 3n)(m + 3n-1)
2.. (c-a + b)(c + a-b)	2.(b + a+c)(b-a-c)
3..(х-2)(х-1)	3.(х + 3)(х+1)

Задание 7. (Резерв времени 5 мин).

Учитель предлагает ученикам в тетрадях и «за доской» выпол­нить следующие задачи на выбор:

1. Доказать, что число 370*371*372*373 + 1 можно предста­вить как произведение двух одинаковых натуральных чисел,

(5 баллов.)

2. Доказать, что значение выражения 2х2 + 4ху + 4у2 — 2х + 1 не­отрицательно при любых значениях х и у.

(4 балла.)

Учитель наблюдает за работой и при необходимости помогает, руководит работой учеников.

Указания:

1. а(а + 1) (а + 2) (а + 3) + 1 = (а2 + За + 2) (а2 + 3a) + I = = ((а2 + За + 1) + 1) ((а2 + За ++ I = (а2 + За + 1)2. В нашем случае а= 370.

Доказательство:

2. 2х2 +4ху + 4у2 - 2х + 1 = (х2 + 4ху + 4у2) +(х2-2х+1)= (х + 2у)2+(х-1)2 0 при любых х и у.

Как только ученики у доски справятся с работой, им можно предложить сесть на свое место, а потом каждый по очереди объ­яснит свое решение у доски. (Остальные проверяют выполнение задания на доске и у себя в тетрадях.)

Учащиеся проставляют количество баллов в оценочный лист. Оценивают свою работу на уроке.

Подведение итогов урока. (2 мин)

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока; отмечает, что, кроме трех основных приемов разложения на мно­жители: вынесение общего множителя за скобки, группировки, ис­пользование формул сокращенного умножения, - учащиеся позна­комились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.

Домашнее задание.

№ 000(а, в)

Если вы получили оценку:

 

№ 000

3 или 2

 

№ 000(а, в) 1002,1004

 

Дополнительное задание:

Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.