7 класс

7 класс.

№ п/п	Тема	Количество отводимых часов
1	Статистические характеристики	2
Комбинаторика	3
1	Решение комбинаторных задач	2
2	Перестановки	1
Частота и вероятность	6
1	Частота случайного события	2
2	Вероятность случайного события	3
3	Вероятностная шкала	1

Статистические характеристики

Цель: сформировать первоначальные умения статистического анализа ряда числовых данных.

Учащиеся учатся находить среднее арифметическое, размах и моду ряда.

Теория смотри 8 класс.

Комбинаторика.

Цель: Продолжить изучение методов решения комбинаторных задач. Вывод формулы для вычисления числа перестановок. Введение понятия факториала.

Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач можно применять метод полного перебора, построение дерева возможных вариантов, правило умножения.

В 7 классе в отличие от 6 класса задачи решаются с использованием правила умножения. Задачи подобраны таким образом, что количество вариантов велико и решить эти задачи методом полного перебора или построением дерева возможных вариантов практически невозможно.

Правило умножения можно применять для решения комбинаторных задач, если дерево возможных вариантов правильное.

Дерево возможных вариантов называется правильным, если из каждого узла одного уровня выходит одно и то же число веток.

Пример №1. Сколько существует различных вариантов кода, если код состоит из трех цифр.

Решение: Всего 10 арабских цифр. Первой в коде может стоять любая из 10 цифр. При каждом выборе первой цифры на второе место можно поставить любую из 10 цифр, значит, если бы код состоял из двух цифр, было бы 10·10=100 вариантов.

Для каждого набора кода из двух цифр есть 10 возможностей выбрать третью цифру. Значит, всего будет 10·10·10=1 000 различных вариантов кода.

Ответ: 1 000 вариантов кода

Если бы все три цифры были разными, то первая цифра кода могла бы быть любая из 10. Так как вторая цифра не может совпадать с первой, то для каждого выбора первой цифры есть девять возможностей выбора второй цифры. Значит всего будет 10·9=90 вариантов. Для каждого набора первых двух цифр остается восемь возможностей выбора третьей цифры. Значит, всего будет 10·9·8=720 вариантов.

Пример №2. В классе 24 человека. Надо выбрать двоих дежурных. Сколько есть способов это сделать?

Решение: Первым дежурным может быть любой из 24 учеников класса, а вторым может оказаться любой из 23 оставшихся. Применяя правило умножения, получаем 24·23=552 варианта.

Однако при таком подсчете каждая пара дежурных оказалась сосчитана дважды: один раз при подсчете всех пар в которые входит первый дежурный, и второй раз – при подсчете всех пар, в которые входит второй дежурный.

Значит, на самом деле было сыграно =276 вариантов.

Ответ: 276 вариантов.

Задачи.

№1. Сколько существует четырехзначных чисел, составленных из нечетных цифр? Из четных цифр? Из четырех разных цифр?

Ответ: чисел; чисел; чисел.

№2. В чемпионате по настольному теннису участвовало 40 спортсменов, и каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?

Ответ: 780 партий.

№3. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Ответ: 170 диагоналей.

№4. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна четная цифра?

Ответ: чисел.

№5. В латинском алфавите 26 букв. Будем считать словом любую последовательность, состоящую не более, чем из 5 букв. Сколько таких «слов» получится?

Ответ: .

Перестановки.

В комбинаторике часто приходится решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений элементов называют перестановкой.

Произведение нескольких первых натуральных чисел называется факториал. Обозначение: n!

n!=1·2·3·…·n, где n – натуральное число.

Пример №1. Света, Люда и Женя договорились в течении трех дней по очереди поливать цветы в классе. Сколько у них есть способов установить порядок дежурства?

Решение: Первой поливать цветы может пойти любая из трех девочек. Тогда во второй день может пойти одна из двух оставшихся девочек, а в третий день последняя девочка. Значит, имеется 3·2·1=3!=6 способов установить порядок дежурства.

Ответ: 6 способов.

Число перестановок для множества из n элементов равно n!.

Задачи.

№1. В конкурсе участвуют 12 школьников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Ответ: 12!=вариантов

№2. Анаграмма – это «слово», полученное из данного слова перестановкой его букв (но не обязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова «график»? слова «интеграл»?

Ответ: 6!=720 анаграмм; 8!=40 320 анаграмм.

№3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные.

1)  Сколько всего таких чисел?

2)  Сколько из них делятся на 5?

3)  Сколько из них не делятся на 5?

Ответ: 5!=120 чисел; 4!=24 числа; 5!-4!=96 чисел.

№4. Верно ли, что:

1)  10!=10·9! (да);

2)  10!=2!·5! (нет);

3)  (да)

№5. Делится ли 100! на 47? На 99? На 101?

Ответ: да; да; нет.

№6. Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные – разных авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Ответ: 7!·4!

№7. Сколькими нулями оканчивается число 100!

Ответ: 24 нулями. Посчитать количество пятерок в разложении числа 100! На простые множители, так как двоек заведомо больше.

Частота и вероятность.

Цель: показать возможность оценивания вероятности случайного события по его частоте.

Частота случайного события.

Вероятность случайного события оценивается по его частоте при проведении достаточно большой серии экспериментов, это требуется для стабилизации частоты.

Эксперименты со случайными исходами или случайные эксперименты – это эксперименты результаты, которых зависят от случая. При этом важно многократно повторять эти эксперименты в одних и тех же условиях.

Результаты экспериментов удобно фиксировать в таблице или представлять в виде диаграмм и графиков.

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Пример №1. Стрелок стреляет по мишени. Число попаданий в зависимости от количества выстрелов приведено в таблице:

Число выстрелов	Количество попаданий	Частота
10	8	0,8
20	17	0,85
30	25	0,83
40	33	0,825
50	41	0,82
60	49	0,82
70	57	0,81

1)  Определите частоту попадания в зависимости от количества выстрелов.

2)  Представьте эту зависимость графически.

3)  Болельщики стрелка заключили пари с его соперниками, что, сделав еще 30 выстрелов, стрелок поразит цель не менее 20 раз. Как вы считаете, стоило ли соглашаться соперникам стрелка на пари? Могут ли болельщики стрелка проиграть пари?

Решение:

1)  частоту попадания находим, как отношение количества попаданий в мишень к общему числу выстрелов.

2)  График

3)  Если стрелок сделает еще 30 выстрелов, то общее количество выстрелов будет равно 100. Частота попадания в мишень приближенно равна 0,8. Значит можно предположить, что стрелок попадет в мишень 100·0,8=80 раз. Следовательно, стрелок сделает еще 80-57=23 удачных выстрела.

Я считаю, что соперникам стрелка не стоило соглашаться на пари, так как вычисления показывают, что стрелок сделает больше 20 удачных выстрелов.

Вероятность того, что болельщики стрелка могут проиграть мала.

Задачи.

№ 1. За март в городе родилось 2 348 мальчиков и 2 027 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек.

Ответ: 0,54; 0,46.

№ 2. Проведите 50 экспериментов по подбрасыванию обычной металлической крышки от бутылки.

Каждый из экспериментов может завершиться одним из двух возможных исходов: крышка упадет дном вверх или зубцами вверх.

1)  Результаты, полученные в серии 50 экспериментов, оформите в виде таблицы.

Событие	Подсчеты	Всего
А: вверх дном
В: вверх зубцами
		50

2)  Сведите все результаты, полученные в классе в общую таблицу, каждый раз подсчитывая соответствующие частоты.

3)  Представьте графически зависимость частоты появления события А от количества экспериментов.

4)  Пусть двое играют, подбрасывая такую крышку. Один выигрывает при появлении события А, а второй при появлении события В. Используя полученные статистические данные, определите, справедлива ли эта игра?

№ 3. Подсчитано, что частота появления «зайца» в электропоездах составляет 10%. Известно, что за день 5 400 пассажиров купили в кассе билеты. Сколько примерно «зайцев» проехало за день в электропоездах?

Ответ:600 человек.

№ 4. Эксперименты состоят в подбрасывании двух игральных кубиков с вычислением каждый раз суммы выпавших очков.

1)  Какая наименьшая и наибольшая сумма очков может при этом получиться?

2)  Проведите 50 экспериментов и внесите результаты в таблицу.

3)  Сведите все результаты, полученные в классе, в общую таблицу. В первой строке укажите все возможные исходы, во второй – сколько экспериментов завершилось данным исходом, а в третьей подсчитайте частоту этого исхода.

4)  Постройте столбчатую диаграмму частот, отмечая на горизонтальной оси исходы, а на вертикальной – их частоты.

5)  Первый игрок выигрывает, если выпадет 4 очков, второй – если выпадет 8 очков, третий – если выпадет 12 очков. В остальных случаях проводится новый эксперимент, т. е. Кубики бросают снова. Исходя из статистических данных, полученных в результате экспериментов, определите, справедлива ли такая игра. Если нет, то у кого из игроков наибольшие шансы выиграть?

Вероятность случайного события.

Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события при проведении большого числа случайных экспериментов.

Иногда вероятность выражают в процентах.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность).

По вероятности события можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Вероятностные оценки широко используют в физике и биологии, социологии и демографии, экономике и политике, спорте и т. д.

Пример №1. Эксперимент по подбрасыванию монеты

Имя, проводившего эксперименты	Время проведения	Общее количество экспериментов	Выпадение «орла»	Частота
Жорж Луи де Бюффон (естествоиспытатель)	XVIII в.	4 040	2 048	0,5069
Карл Пирсон	Начало XX в.	24 000	12 012	0,5005
Ученики московской школы	Конец XX в.	8 000	3962	0, 4953

По результатам, проведенных экспериментов вероятность выпадения «орла»:

Р(А)=0,5 или Р(А)=50%, где событие А – выпадение «орла».

Чем больше проведено экспериментов, тем точнее можно оценить вероятность событи по его частоте.

Задачи.

№1. По статистике, на каждые 1 000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Ответ: 0,997.

№2. Человек купил две батарейки, одна из которых оказалась неисправной. Можно ли исходя из этого с уверенностью утверждать, что вероятность купить неисправную батарейку равна 0,5?

Ответ: нет, т. к. куплено мало батареек.

№3. Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказалось помеченными. Сколько примерно рыбы в пруду?

Ответ: приближенно 1500 рыб.

№4. используя статистические данные полученные в задаче № 4, из предыдущего пункта, оцените:

1)  вероятность выпадения 7 очков;

2)  вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

Вероятностная шкала.

Вероятность случайного события заключается между 0 и 1. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного – 0.

Этому факту можно дать геометрическое истолкование с помощью вероятностной шкалы

Задачи.

№1. Используя уже полученные статистические данные, расположите на вероятностной шкале случайное событие:

1)  А: кнопка выпадет острием вверх;

2)  В: кнопка выпадет острием вниз;

3)  При подбрасывании монеты выпадет «орел».

№2. Бросаем два игральных кубика. Найдите вероятность события:

1)  А: сумма выпавших очков равна 1;

2)  В: сумма выпавших очков больше 1;

3)  С: сумма выпавших очков не больше 12;

4)  D: произведение выпавших очков больше 40.

Ответ: 0;1;1;0

№3. Какова вероятность того, что число, составленное из нечетных цифр, будет четным?

Ответ: 0.

№4. Определите вероятность того, что случайно выбранный корень уравнения (х-1)(х-2)(х-3)=0:

1)  окажется целым числом;

2)  окажется числом больше 10.

№5. Ученик считает, что следующие события являются достоверными:

1)  Случайно выбранный корень произвольного уравнения является натуральным числом;

2)  Случайно выбранный график зависимости вида y=a, где а – целое число и , является прямой;

3)  Площадь выбранной страницы этого задачника меньше 300 см2.

Проверьте, всегда ли прав этот ученик.

№6. Известно, что среди 1000 выпущенных лотерейных билетов 100 выигрышных. Какое наименьшее количество билетов надо купить, чтобы выиграть с вероятностью равной 1?

Ответ: 901 билет.

№7. Из кошелька в темноте вынимали монетку. Известно, что-то, что вытащена, будет рублевая монета, являлось достоверным событием. Однако этот же исход при повторной попытке оказался невозможным. Сколько и каких монет было в кошельке?

Ответ: одна монета, рублевая.

№8. В карточной колоде 36 карт четырех мастей. Какое наименьшее число карт надо взять, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть хотя бы одна карта каждой масти, была равна 1.

Ответ: 28 карт.

Проверочные работы.

Статистические характеристики.

Вариант1.

1.  Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11,11,-1.

2.  В таблице показано, сколько экспортировалось нефти в зарубежные страны в 1993 – 1995 годах:

Год	1993	1994	1995
Объем экспорта (млн. т)	79,9	95,4	96,2

Определите, сколько миллионов тонн нефти в среднем экспортировалось ежегодно в этот период.

Вариант 2.

1. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15,4,12,-3,15.

2.  В таблице показано, сколько экспортировалось меди в зарубежные страны в 1993 – 1995 годах:

Год	1993	1994	1995
Объем экспорта (тыс. т)	165	451	449

Определите, сколько тысяч тонн меди в среднем экспортировалось ежегодно в этот период.

Решение комбинаторных задач.

Вариант 1.

1. Для обозначения текущих дел в канцелярии применяют индексы, состоящие из одной буквы и одного числа, причем используют 30 букв и 100 чисел. Сколько дел можно так обозначить?

2. Группу детского сада (36 человек)ведут на прогулку. Сколько существует способов составить первую пару в колонне?

3. Аня, Борис и Ваня делят 12 различных открыток (возможно совсем несправедливо). Сколько имеется способов это сделать так, чтобы самая красивая открытка досталась не Васе?

Вариант 2.

1. На балу присутствует 30 кавалеров и 25 дам. Сколько существует способов составить пару для танца?

2. В отряде 25 бойцов. Двоих надо отправить в разведку. Сколько существует вариантов это сделать?

3. Элла, Юля и Яша делят 15 шариковых ручек (возможно, совсем несправедливо).Сколько имеется способов это сделать так, чтобы самая плохая досталась не Юле?

Перестановки.

Вариант 1.

1. Пятьдесят депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором есть 50 мест. Сколько у них есть способов это сделать?

2. Упростите выражение .

3. У мамы есть три конфеты: трюфель, «Белочка» и «Мишка на севере». Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по одной конфете так, чтобы трюфель достался младшему?

Вариант 2.

1. Двести солдат строят в шеренгу. Сколько имеется вариантов это сделать?

2. Упростите выражение .

3. У мамы есть три шоколадки: «Сударушка», «Путешествие», «Аленка». Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по шоколадке так, чтобы «Аленка» не досталась старшему?

Частота и вероятность случайного события.

(Работа выполняется с помощью калькулятора.)

Вариант 1.

1. В ящике 10белых, 10 черных и 10 красных шаров. Эксперимент состоит в том, что наудачу вытаскивают три шара и проверяют, все ли они разных цветов. В таблице показано, сколько было благоприятных исходов в зависимости от числа проведенных экспериментов.

Число экспериментов	100	200	300
Благоприятных исходов	25	49	74

1)  Найдите частоты появления благоприятных исходов (с точностью до сотых) в зависимости от числа экспериментов.

2)  Используя полученные данные, представьте графически зависимость частоты благоприятного исхода от числа экспериментов.

3)  Определите, какова примерно вероятность благоприятного исхода при одном испытании.

Вариант 2.

1. В ящике 10белых, 10 черных и 10 красных шаров. Эксперимент состоит в том, что наудачу вытаскивают три шара и проверяют, одного ли все они цвета. В таблице показано, сколько было благоприятных исходов в зависимости от числа проведенных экспериментов.

Число экспериментов	100	200	300
Благоприятных исходов	9	17	28

4)  Найдите частоты появления благоприятных исходов (с точностью до сотых) в зависимости от числа экспериментов.

5)  Используя полученные данные, представьте графически зависимость частоты благоприятного исхода от числа экспериментов.

6)  Определите, какова примерно вероятность благоприятного исхода при одном испытании.

Вероятностная шкала.

Вариант 1.

В ящике 5 белых и 5 черных шаров. Наудачу выбирают 6 шаров.

1. Изобразите на вероятностной шкале следующие события..

1)  Все выбранные шары – черные.

2)  Среди выбранных шаров есть черный.

2. Определите, какие из следующих событий являются достоверными:

1)  Среди выбранных шаров есть по крайней мере три одного цвета.

2)  Среди выбранных шаров есть по крайней мере четыре одного цвета.

3. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть три шара черного цвета, была равна 1?

Вариант 2.

В ящике лежит 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу выбирают 8 шаров.

1. Изобразите на вероятностной шкале следующие события.

3)  Все выбранные шары – красные.

4)  Среди выбранных шаров есть красный.

2. Определите, какие из следующих событий являются достоверными:

3)  Среди выбранных шаров есть, по крайней мере, пять одного цвета.

4)  Среди выбранных шаров есть, по крайней мере, четыре одного цвета.

3. Какое наименьшее число шаров надо взять из этого ящика, чтобы вероятность того, что среди выбранных есть четыре шара синего цвета, была равна 1?