Задача

Задача 2.

Две прямые пересечены секущей. Докажите, что:
а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;
б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

Доказательство.

По условию задачи непонятно о каких прямых идет речь: о произвольных или о параллельных. Мы решили попробовать и выяснить, выполняется ли это утверждение для произвольных прямых. Каждый из нас начертил чертеж для своего случая. У многих действительно биссектрисы оказались параллельны, но были чертежи, где эта зависимость не выполняется. Вот один из них.

На чертеже: a и b произвольные прямые, с – секущая, "синие прямые"- биссектриссы накрест лежащих углов.

Биссектрисы оказались пересекающимися.

Мы привели пример, что утверждение для конкретного случая не выполняется, значит, вариант с произвольными прямыми не подходит.

Будем расматривать задачу для параллельных прямых.

У нас получилось два разных способа доказательства для пункта а).

1 способ

а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны

При доказательстве параллельности прямых будем использовать утверждение: две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

1.  Оригамское решение – исследование:

АЕ и МВ биссектрисы.

Согнем по прямой АВ. Эта линия пересечет секущую МЕ в точке R.

Через эту точку R согнем лист так, чтобы точка А наложилась на свое продолжение линии ЕА, при этом точка В наложится на свое продолжение линии ВМ.

Получается:

Получили две прямые, перпендикулярные третьей (зеленой) прямой. Значит наши биссектрисы параллельны

2.  Вывод - идея решения задачи:

Надо доказать, что наши биссектрисы перпендикулярны третьей прямой.

3.  Математическое обоснование:

То есть докажем, что BM||AE. Точка А переходит в точку А/, лежащую на продолжении прямой АЕ. То есть точка Т – вершина развернутого угла. При складывании получаем половину от этого угла, то есть 900. Угол АТR прямой.

Аналогично:

Точка М переходит в точку М/, лежащую на продолжении прямой МВ. То есть точка U – вершина развернутого угла. При складывании получаем половину от этого угла, то есть

900. Угол MUR прямой.

Получили:

АЕTU,

MBTU.

То есть две прямые, параллельны третьей прямой.

Значит, АЕ||MB.

Что и требовалось доказать.