Определения

Определения:

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки этой плоскости, называемой центром.

Радиус окружности – это любой из отрезков, соединяющих центр окружности с точкой на ней; кроме этого, радиусом называют длину такого отрезка;

Хорда окружности – любой из отрезков, соединяющих две точки на окружности;

Диаметр окружности – хорда, проходящая через центр;

Дуга окружности – часть окружности, ограниченная двумя точками;

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью; сама окружность является частью круга.

Сектор круга – часть круга, ограниченная дугой и радиусами, проведёнными в её концы;

Сегмент круга – часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей концы этой дуги.

Прямая называется касательной к окружности, если она лежит в плоскости окружности и имеет с этой окружностью ровно одну общую точку.

Центральным углом окружности называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Говорят, что окружность описана вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Говорят, что окружность вписана в многоугольник, если все его стороны являются касательными к окружности.

Многоугольник называется описанным вокруг (около) окружности, если все его стороны являются касательными к окружности.

Утверждения:

Характеристическое свойство радиуса, перпендикулярного хорде: Радиус, перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда делит эту хорду пополам.

Характеристическое свойство хорд, равноудалённых от центра окружности: Хорды, одинаково удалены от центра окружности, тогда и только тогда, когда они равны между собой

Свойство касательной к окружности: Если прямая является касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Признак того, что прямая является касательной к окружности: Если прямая, лежащая в плоскости окружности, перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности, то эта прямая является касательной к этой окружности.

Свойства касательных, проведённых из одной точки: Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны между собой; отрезок, соединяющий указанную точку с центром окружности лежит на биссектрисе угла между касательными.

Свойство угла, вписанного в окружность: Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую опирается.

Свойство угла между хордами: Угол между хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

Свойство угла между секущими: Угол между секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

Свойство угла между касательной и секущей: Угол между касательной и секущей равен половине разности дуг, заключённых между ними.

Свойство угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания: Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними.

Центр окружности, вписанной в треугольник – точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность: Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны.

Признак четырёхугольника, который можно вписать в окружность: Если суммы противоположных углов четырёхугольника равны, то четырёхугольник может быть вписан в окружность.

Свойство четырёхугольника, в который вписана окружность: Если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Признак четырёхугольника, в который может быть вписана окружность: Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в этот четырёхугольник может быть вписана окружность.

Отрезок от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности равен разности полупериметра треугольника и стороны треугольника, на которой не лежит ни один из концов отрезка.