Функции нескольких переменных и их дифференцирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Функции нескольких переменных и их дифференцированиеЧасть I

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

Волгоград

2008

УДК 51

Ф 94

Функции нескольких переменных и их дифференцирование. Часть I: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математика» / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2008. – 15 с.

Содержат краткие теоретические сведения по рассматриваемым разделам математического анализа. Приводятся примеры с подробно разобранными решениями, задания для самостоятельного решения с ответами. Даются контрольные вопросы к каждому практическому занятию для повторения.

Предназначены в помощь студентам СПО специальности 2301«Автоматизированные системы обработки информации и управления в промышленности». Могут использоваться студентами ВПО очной и очно-заочной форм обучения.

Ил. 2. Библиогр.: 2 назв.

Рецензент:

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский
	государственный
	технический
	университет, 2008

Практическое занятие № 1

Тема: Функция . Нахождение области определения, построение графика функции. Нахождение частных производных функций нескольких переменных.

Продолжительность занятия - 2 часа

Цель занятия. Научить студентов находить значения функции двух переменных, строить области определения и графики функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Порядок проведения:

§  ответить на контрольные вопросы;

§  разобрать предложенные примеры;

§  выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определения функции двух и большего числа переменных, понятие области определения функции нескольких переменных, графика функции двух переменных, определения частных приращений и частных производных;

уметь: находить значения функции по заданным значениям аргументов, определять область определения функции двух переменных, находить частные производные функций двух и трех переменных.

Указание 1

Пусть D – некоторое множество точек плоскости XOY. Правило, по которому каждой паре чисел ставится в соответствие число z, называется функцией двух переменных. Множество D называется областью определения функции.

Функция двух переменных обозначается .

Аналогично определяется функция трех, четырех и большего числа переменных.

Мы будем рассматривать функции, области определения которых представляют собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями, называемыми границами области.

Область называется замкнутой, если к ней относятся не только внутренние точки, но и точки границы; в противном случае она называется открытой.

График функции изображается поверхностью в пространстве.

Аргументы x и y принимаются соответственно за абсциссу и ординату, а значение функции z – за аппликату.

Пример 1. Найти значение функции в точке .

Решение. Подставляя в выражение функции значения и , получим

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда .

Граница области определения - окружность с центром в начале координат и радиусом 3, которая области определения не принадлежит. Таким образом, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга (рис. 1).

Рис. 1

Пример 3. Построить график функции .

Решение. Область определения – вся координатная плоскость. Графиком функции является поверхность, пересечением которой с координатной плоскостью XOZ будет парабола , а с плоскостью YOZ - парабола (рис. 2).

Рис. 2

Задание

Вычислить значения функций:

1. , при , .

2. в точке .

3. , при , .

Найти область определения функций:

4. .

5. .

6. .

7. .

8. Построить график функции

Ответы

1) ; 2) 6; 3) ; 4) вся плоскость XOY, исключая точку ; 5) круг вместе со своей границей;

6) часть плоскости XOY, лежащая выше прямой ;

7) внешняя часть круга за исключением его границы.

8) верхняя полусфера радиуса 2.

Указание 2

Частным приращением функции по аргументу x называется приращение этой функции по x при постоянном y, . Аналогично, частным приращением функции по аргументу y называется приращение этой функции по y при постоянном x, .

Частной производной функции по аргументу x называется предел отношения частного приращения этой функции по x к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается или . Таким образом .

Аналогично, частной производной функции по аргументу y называется предел отношения частного приращения этой функции по y к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается или ; .

Частная производная функции нескольких переменных по одному из аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. Функция трех переменных. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y и z как величины постоянные. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x и z как постоянные величины, найдем частную производную по y:

.

Принимая x и y как постоянные величины, найдем частную производную по z:

.

Задание

Найти частные производные следующих функций.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

Ответы:

1) , .

2) , .

3) , .

4) , .

5) , .

6) , .

7) , .

8) , .

9) , .

10) , , .

11) , , .

12) , , .

Контрольные вопросы

1.  Что называется функцией двух переменных?

2.  Что является областью определения функции двух переменных?

3.  Что является графиком функции двух переменных?

4.  Что называется частными приращениями функции по переменным x и y?

5.  Что называется частными производными функции по переменным x и y?

Используемая литература:

[1] глава IX, § 43, 43.1, , § 44, 44.1, стр. 260-261, стр. 263-264

[2] глава VIII, § 1, § 2 (1), стр. 192-195,

Практическое занятие № 2

Тема: Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал

Продолжительность занятия - 2 часа

Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Порядок проведения:

§  ответить на контрольные вопросы;

§  разобрать предложенные примеры;

§  выполнить самостоятельно задания.

Студент должен:

знать: определение сложной функции двух переменных и формулы нахождения частных и полных производных, определение дифференциала функции нескольких переменных;

уметь: находить частные и полные производные сложных функций двух переменных, дифференциалы функций двух и трех переменных.

Указание 1

Если - дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y – дифференцируемые функции аргумента t: , , то производная сложной функции находится по формуле

Пример. Дано , где , . Найти .

Решение. Находим производные

, .

Находим частные производные

, .

По данной формуле имеем

Указание 2

Если - дифференцируемая функция аргументов u и v, а u и v в свою очередь, являются функциями аргументов x и y:

,

и имеют конечные частные производные по этим аргументам, то частные производные сложной функции находятся по формулам

,

.

Пример. Найти частные производные сложной функции

, где , .

Решение. Найдем частные производные

и ;

частные производные

, , , .

По данным в указании формулам получаем

Задание

Для заданных сложных функций найти производные :

1. , , .

2. , , .

3. , , .

4. , , .

Для заданных сложных функций найти и и :

5. , .

6. , .

7. , .

Для заданных сложных функций найти :

8. , , , .

9. , , .

Ответы

1. .

2.

3. .

4. 0.

5. , .

6. , .

7. .

8. .

9. .

Указание 3

Полный дифференциал дифференцируемой функции есть выражение вида .

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Решение.

Находим частные производные

,

.

По данной в указании формуле получаем

Задание

Найти полные дифференциалы функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Ответы

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Контрольные вопросы

1.  Какие функции называются сложными функциями двух переменных?

2.  По каким формулам находятся производные сложных функций?

3.  Что называется дифференциалом функции нескольких переменных?

Используемая литература:

[1] глава IX, § 44, 44.3, 44.6, стр. 266-265, стр. 269-271

[2] глава VIII, § 2 (2, 4), стр. 195-196, 199.

Список использованной литературы

1. Письменный лекций по высшей математике. Ч. 1. – М.: Айрис-пресс, 2003.

2. , Попов математика в упражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1999.

Составитель:

Людмила Петровна Ирушкина

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. ЧАСТЬ I

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Математика»

Под редакцией автора

Темплан 2008 г., поз. № 34К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,94. Усл. авт. л. 0,75.

Тираж 60 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.