Мат. экономика

Мат. экономика 1.

Параметрами является 4 цифры номера зачетки(abcd). Эти цифры будут фигурировать в ведомостях, которые получит преподаватель. Номер зачетки совпадает с номером студбилета. В крайнем случае, его можно узнать у преподавателя и в деканате.

При оформлении решения номер зачетки выписывается сверху листа, на ряду с датой номером группы и именем студента. Если в номере зачетки встречаются нули их следует заменить на 1 и записать новый номер ниже прежнего.

При оформлении решения крайне желательно условие выписывать с подставленными параметрами и наряду с этим сохранять исходное условие в параметрическом виде.

1.  Предпочтения упорядочиваются функцией полезности: .

a.  Доход равен 30 000 р./мес. Цены p1 =100, p2 =10, найти спрос [шт./мес.] на третий товар в зависимости от цены на него (Решить задачу U→max при ).

b.  Найти объём спроса при

c.  Построить кривую спроса в координатах

d.  Построить кривую спроса в координатах совместно с линиями уровня (Указание: можно считать, что доход равен 20  000 р)

e.  Построить спрос для товаров-комплиментов ,

f.  Построить спрос для товаров-заменителей

2.  (обязательная)решить задачу управления запасами процент 0,01(2b+d) 1/год, расходр./мес, цена зак.40(c+6)р. Указание.

a.  Оценить спрос на деньги населения N=(c+d)20*106

b.  построить график спроса на деньги от процентной ставки.

3.  решить многопериодную дилемму заключенного. Найти порог устойчивости коллективно оптимального секвенциального равновесия. Вычислит минимальное совместимое с устойчивостью коллективного решения время между играми. (заседаниями совета директоров) Принять процентную ставку в экономике равной процентной ставке ЦБ.

4.  (обязательная)рассчитать параметры олигополии а)Курно ,приии б) штакельберга (2я ведомая). Указать: 1) выпуск 2) уровень цен 3) прибыль каждой фирмы.

5.  Оценить пакеты акций (a, b,c, d) считая, что выигрывающая коалиция получает всё. В случае наличия контрольного пакета все пакеты увеличиваются в 2 (и более, если не достаточно) раз. Стоимость предприятия S=200млн долл.

6.  Рассмотреть производственную функцию Коба-Дугласа без нормировки степеней . , А=1 (мультипликативную ПФ).

a.  Найти относительное приращение выпуска при росте населения на 0,01 (1 процент), в два раза. При росте фондов на ту же величину.

b.  Найти показатель . Что произойдет, если население и фонды растут пропорционально на 0.01 от исходных значений? Что произойдёт, если они вырастут в два раза?.

c.  Найти уравнение изокванты.

d.  Найти предельные издержки на труд и капитал. Соотнести их со средними величинами.

e.  Для функции найти предельную производительность труда и среднюю производительность труда.

7.  Потребительское поведение:

a.  U=q1c q2d, доход потребителя составляет 10000 дол/год Цена II товара фиксирована на уровне 20 долл/шт. Найти спрос на первый товар в зависимости от цены на 1й товар

b.  Что произойдёт со спросом на первый товар в описанном в п. а) случае если зарплата упадет в два раза?

c.  Пусть U=aq1+cq2. - заменители. Построить спрос на первый товар в зависимости от цены на него(все прочие условия из пункта а)).

d.  Сделать то же для дополняющих товаров U=Min (сq1;aq2)

8.  Допустим мы имеем 4 предприятия. Уровень издержек на каждом (постоянный), равен соответственно a, b, c и d сотен рублей за каждую единицу продукции(продукта). При условии, что первое предприятие имеет мощность , второе 7, третье (с+d) и четвертое .

a.  Построить функцию конкурентного предложения
(совпадет с функцией (предельных)издержек). Построить производственную функцию. (Объём производства от затрат. Изобразить её график).

b.  Найти уровень выпуска при цене .

c.  Допустим, спрос имеет вид , где - остаток от деления параметра зачетки а на 2. Найти объём выпуска и цену равновессии.

9.  (обязательная)рассмотрим экономику с Леонтьевской матрицей прямых затрат (т. е. имеется ровно две отрасли).

a.  Проверить выполнено ли достаточное условие продуктивности (вспомнить признак апеллирующей к сумме элементов в строках).

b.  (пункт повышенной сложности). Воспользоваться точным критерием рассчитать из уравнения (для нашего случая это квадратное уравнение) максимальное (в принятой терминологии - главное) собственное значение и сравнить его с 1, на основании чего сделать вывод о продуктивности матрицы .

c.  Для вектора конечного потребления вычислить вектор полного выпуска Х. (т. е. решить уравнение ).

d.  Вычислить несколько первых членов ряда (каждый член имеет смысл прямых затрат на выпуск предыдущего) и их частичную сумму и сравнить с точным результатом?

10.  (обязательная)Допустим имеется матрица прямых затрат факторов и вектор норм прибыли , выписать нормы прибыли через цены (в дальнейшем это будут правые части линейных уравнений). Разрешить эти уравнения относительно цен .

Приложение:

Исследование на устойчивость:

11.  Рассмотрим экономику с инвестированием(Модель Солоу).

a.  Параметры , , оставить регулируемым (переменным).

b.  Найти равновесие в удельных показателях для стабильного населения(проверить его устойчивость),.

c.  оптимизировать потребление в равновесии как функцию

12.  Найти равновесия Исследовать эти равновесия на устойчивость. в модели

a.  . Где С=min(a, b), A= min (c, d,0.5).

Указание: Найти точки равновесия, вычислить производную в них и применить правильный одномерный критерий.

b. 

13.  Найти равновесия и исследовать на устойчивость по обоим критериям модель динамики капитала

a.  . Где - доля накоплений в валовом выпуске при условии, что все текущие затраты уже агрегированы в ПФ. - обратное время выбытия фондов.(скорость выбытия).

b.  Дискретный вариант

14.  Исследовать линеаризованной систему с приведенной ниже матрицей на устойчивость.

a.  Для дискретного отображения . Стартуя с вектора выполнить 3-5 шагов по формуле , где (пара чисел).

b.  Для дифференциального уравнения . , где - двумерный вектор(то же самое можно записать ). (Решить уравнение и проверить одновременное выполнение (одномерных)критериев для всех собственных значений). Критерий для д. у. , для отображения в п. а .

15.   

a.  Рассчитать рентабельность проекта изображенного на рисунке. Стоит ли осуществлять этот проект в экономике США (05%/год), России (14%/год), Японии (02%/год),

b.  Как изменится рентабельность, если интервал между соседними столбцами не год, а 6 месяцев?,

c.  4 года?..

16.  РЕШИТЬ упр.:

a.  Посчитать рентабельность проекта в котором инв. К=500 тыс, через d+5 лет получим (1+b/10) млн.

b.  Посчитать NPV для проекта С1=-b, C2=d, C3=a, C4=b, процент равен 0,02(a+b+d)

c.  Сколько денег надо положить на счет, чтобы через d лет иметь (a+b) при ставке 0,01(с+d).

d.  Скорость выбытия фондов равна ставка процента 0,01(а+d), начальная инвестиция $, годовой доход 2000(a+b) $/год. Стоит ли осуществлять проект, посчитать его рентабельность и NPV

17.  Комплекты... Найти максимальный выпуск комплектов Y0: в двухотраслевой экономике, характеризующейся матрицей прямых затрат , при условии, что , вектор норм трудозатрат в каждой отрасли , общее население(параметр L) 500человек.

a.  Решить

b.  Решить (система имеет смысл условия минимальной зарплаты, при которой рентабельности во всех отраслях проходят через ноль ), найти все цены, и в первую очередь, указать оптимальную зарплату.

Для неразложимой матрицы верно , .

Задача о контрактах: Игра в угрозах имеет Вид:

Вариант I , Вариант II Отражающая ведение переговоров антагонистическая игра описывается . Цена этой игры, , а равновесная стратегия переговоров , , . Коалиционная стратегия и , выигрыш.система решений Точка и условия заключения контракта представляют собой .

Задача повышенной сложности.

Найти оптимум в модели использования вмещающего ландшафта. Сформировать двойственную задачу.

Рассчитать цены (труда, продовольствия), реальную зарплату - долю зарплаты в ВВП, указать долю доходов от Земли в ВВП.

, где площади под поля и пастбища, соответствующая биопродуктивность и трудозатраты, - население. Территория Т, для определенности равна 50 единицам площади.

Рассмотреть ситуацию

(в предположении, что ) , , а , .

Если же эти параметры следует поменять местами (). В ситуации, когда параметр надлежит оставить неизменным, а увеличить на 2 единицы.

Таким образом, получится ситуация когда . Она характерна для России. В этой ситуации цена рабочей силы отлична от 0.

Указание:

·  чтобы задача имела решение графическим методом, ограничение рассматривать как точное равенство: вся доступная территория введена в хозяйственный оборот - . Графический метод следует применять в вертикальной полосе на плоскости этого равенства.

·  Указание 2: прибавляя ресурс к правой части первых неравенств и деля приращение целевой функции на приращение ресурса, можно также получить соответственно цены продукции и труда.

·  Реальная зп – есть отношение цены труда и продовольствия, (макс зп. не больше 1.)