Вопросы к междисциплинарному экзамену (бакалавры)

Вопросы к междисциплинарному экзамену (бакалавры)

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1.  Дайте определения классической и статистической вероятности события. Приведите их основные свойства.

2.  Поясните операцию сложения случайных событий. Приведите и поясните теоремы сложения вероятностей несовместных и совместных событий.

3.  Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения для независимых и зависимых событий.

4.  Поясните смысл и важность для теории и практики формулы полной вероятности и формулы Байеса.

5.  В чем заключаются испытания Бернулли. Приведите и поясните локальную и интегральную теоремы Лапласа.

6.  Дайте определение закона распределения вероятностей дискретной случайной величины. Приведите примеры законов распределения.

7.  Дайте определение функции распределения и плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Поясните их основные свойства.

8.  Поясните вероятностный смысл математического ожидания случайной величины. Дайте его определения для дискретных и непрерывных случайных величин.

9.  Приведите определения дисперсии для дискретной и непрерывной случайной величины. Рассмотрите ее основные свойства.

10.  Поясните важность для теории и практики нормального закона распределения вероятностей случайных величин. Приведите его основные свойства.

11.  Дайте понятие о системе нескольких случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.

12.  Поясните смысл функции распределения двумерной случайной величины и приведите ее основные свойства.

13.  В чем заключается вероятностный смысл двумерной плотности вероятности случайных величин. Рассмотрите ее основные свойства.

14.  Приведите числовые характеристики системы двух случайных величин. Коррелированность и зависимость величин.

15.  Поясните значения закона больших чисел для практики. Теорема Чебышева.

16.  Сформулируйте задачи математической статистики. Дайте определения статистического распределения выборки, эмпирической функции распределения, полигона и гистограммы.

17.  Сформулируйте основные требования к оценкам параметров распределения. Оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

18.  Дайте определения интервальной оценки параметров. Рассмотрите в качестве примера один из возможных случаев определения доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения.

19.  Поясните смысл методов моментов и наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения.

20.  Сформулируйте основные задачи проверки статистических гипотез. Ошибки первого и второго рода. Отыскание практических областей.

21.  Рассмотрите методику проверки нулей гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей.

22.  Рассмотрите проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона.

23.  Поясните функциональную, статистическую и корреляционные зависимости случайных величин. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии.

24.  Сформулируйте основные положения регрессионного анализа. Уравнения регрессии. Проверка адекватности модели.

Основная литература

Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001. , , Турандаевский вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991. Гнеденко теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

Дополнительная литература

, Филиппова. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982. Пугачев вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука, 1979. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией . – М.: Наука, 1979.

ЯЗЫКИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ И МЕТОДЫ ТРАНСЛЯЦИИ

1.  Механизмы процедурной абстракции.

2.  Что содержится в спецификации процедуры.

3.  Способы передачи параметров в процедурах С++.

4.  Как изменятся параметры у функции на C++, если она станет полем структуры

5.  Из каких соображений выбираются поля класса на C++.

6.  Назначение конструктора класса.

7.  Назначение деструктора класса.

8.  Назначение конструктора копирования.

9.  Что представляет собой поток ввода – вывода.

10.  С какими классами связаны операции ввода – вывода.

11.  Определение списка.

12.  Определение стека.

13.  Определение очереди.

14.  Определение дека.

15.  Основные операции со списками.

16.  Определение узла списка.

17.  Когда и где отводится память под переменную ссылочного типа.

18.  Что означает понятие «переопределить операцию»? Когда это имеет смысл.

19.  Сколько параметров может иметь operator – функция на C++, если она является членом класса.

20.  Как реализован механизм модульного программирования в С++.

21.  Основные технологии современного программирования.

22.  Понятие проекта.

23.  Определение транслятора. Виды трансляторов

24.  Условная трансляция в С++.

25.  Что такое «лексема»? Лексический анализ.

26.  Какую работу выполняет сканер.

Основная литература

1.  , C++Builder. Задачи и решения. Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2010. – 486 с.

2.  , . Методические указания «Языки программирования и методы трансляции» — Томск: изд. ТПУ, 2000 г. — 88 с.

3.  , . Методические указания к выполнению лабораторных работ, 2008г. (в электронном виде).

4.  , , . Системное программирование. Основы построения трансляторов. – СПб.:КОРОНА, 2004. – 256с.

Дополнительная литература

5.  Мозговой программирования: АЛГОРИТМЫ, ЯЗЫКИ, АВТОМАТЫ, КОМПИЛЯТОРЫ. Практический подход. – СПб.: Наука и техника, 2006. – 320с.

6.  С/С++ и Borland С++Builder для начинающих. –Спб.: БХВ-Петербург, 2006, -736с.: ил.

7.  , Молчанов программное обеспечение. –Спб.: Питер, 2003, -640с.: ил.

8.  С++ и Borland С++Builder. Самоучитель. –Спб.: БХВ-Петербург, 2005, -256с.: ил.

9.  , . Основы конструирования компиляторов. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. –224с.

10.  Ахо, Джон Хопкрофт, Ульман. Структуры данных и алгоритмы. –М. Вильяме, 2003. —382c

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Уравнения колебаний струны и мембраны. Уравнения гидродинамики. Уравнения теплопроводности и диффузии. Система телеграфных уравнений. Уравнения электромагнитного поля. Постановка краевых задач. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными. Приведение уравнений к канонической форме. Замена переменных. Метод Даламбера. Теорема об устойчивости решения задачи Коши от начальных данных. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения для бесконечной и полубесконечной области. Метод разделения переменных решения краевых задач (метод собственных функций). Основные свойства собственных функций и собственных значений самосопряженных операторов и их применение для решения краевых задач. Метод Фурье для решения неоднородных краевых задач. Разделение переменных в цилиндрической системе координат. Цилиндрические функции. Построение задачи Коши на прямой для уравнений параболического типа. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности через функцию Грина на прямой и полупрямой, а также в трехмерном пространстве. Вторая формула Грина. Свойства гармонических функций. Построение функций Грина для полупространства, круга и сферы методом электростатического изображения. Классификация линейных интегральных уравнений. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с вырожденными ядрами. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода с симметричными ядрами. Собственные функции симметричных ядер Фредгольма. Метод регуляризации решения обратных задач. Как зависит решение волнового уравнения для струны от силы натяжения. Как зависит решение волнового уравнения для струны от линейной плотности материалов струны. Что происходит при возбуждении мембраны на одной из собственных гармоник.

Основная литература

1.  Арсенин математической физики и специальные функции. – М.: Наука, 1974. – 432 с.

2.  , , Тихонов задач по математической физике. – М.: Наука, 198с.

3.  , , Смирнов в частных производных математической физики. – М.; Высшая школа, 1970. – 710 с.

4.  , , Макаренко уравнения. – М.: Наука, 1976. – 216 с.

5.  Кузнецов заданий по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1994. – 206 с.

6.  Масленникова уравнения математической физики. – М.: изд-во Российского университета Дружбы народов, 1998. – 475 с.

7.  Михлин математической физики. – М.: Наука, 1968.–576 с.

8.  , Арсенин решения некоторых задач. – М.: Наука, 1986. – 287 с.

Дополнительная литература

9.  и др. Регулирующие алгоритмы и априорная информация. – М.: Наука, 1983. – 200 с.

10.  Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. – М.: Мир, 1985. – 384 с.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.  Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

2.  Уравнения, разрешимые относительно производной. Поле направлений?

3.  Какое уравнение первого порядка называется однородным? Как оно решается?

4.  Какое уравнение первого порядка называется линейным и неоднородным? Как оно решается (метод Лагранжа)?

5.  Какое уравнение первого порядка называется уравнением в полных дифференциалах? Описать способы его решения.

6.  Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши?

7.  Что такое фундаментальная система решений?

8.  Какое условие является необходимым и достаточным для того, что бы данная система решений была фундаментальной?

9.  Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известна фундаментальная система решений?

10.  В чём состоит метод Лагранжа, используемый для нахождения общего решения неоднородного уравнения?

11.  В каких случаях и в каком виде может быть записано частное решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами при использовании метода неопределённых коэффициентов?

12.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (действительные разные).

13.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (комплексные сопряжённые).

14.  Как строится фундаментальная система решений в зависимости от вида характеристических чисел (корни кратные).

15.  Когда система ДУ называется линейной?

16.  Какая система линейных дифференциальных уравнений называется системой с постоянной матрицей?

17.  Метод Эйлера интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами.

18.  Задача Коши для системы линейных однородных уравнений.

19.  Матричная экспонента и её разложение в ряд?

20.  Матричный метод решения систем ДУ?

21.  Связь Жордановой формы матрицы системы с типом собственных чисел?

22.  Понятие консервативной системы. Связь потенциальной функции с фазовым портретом уравнения 2-го порядка ( на примере указанных видов потенциальных функций: W=x^2; W=x^2-a*x^4).

23.  Теорема Лиувиля. (Интегральный инвариант Гамильтоновой системы).

24.  Предельные циклы не консервативной системы. Их типы.

25.  Приближённый метод исследования предельных циклов. Определение гладкого цикла.

26.  Устойчивость решений ДУ. Определение разных типов устойчивых решений ДУ.

27.  Краевые задачи. Типы краевых условий.

28.  Метод построения функций Грина.

Основная литература

1.  . Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:2005.

2.  Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. "Высшая школа". М.: 2006.

3.  ЛЭ. Эльсгольц. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. М.: 2007.

4.  . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. М.:2001.

5.  , , .

6.  Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.1989 г.

7.  , , . Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: «Высшая школа», 2001 г.

8.  , . Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Наука. 1990.

9.  . Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва.2007.

10.  Дьяконов по системе символьной математики DERIVE. М.:1998.

11.  MAPLE 9. М.:2004.

12.  , , MATLAB 7. Санкт-Петербурк. 2005.

13.  Эдвардс и Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB.

Дополнительная литература

14.  , А. А Витт, . Теория колебаний. Наука. 1981 г.

15.  . Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука.2002 г.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.  Основные понятия численных методов. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешность числа.

2.  Погрешность суммы. Погрешность разности. Погрешность произведения.

3.  Погрешность частного. Относительная погрешность корня.

4.  Общая формула вычисления погрешности. Обратная задача теории погрешностей.

5.  Сжимающие отражения. Метрические пространства и сжимающие отображения.

6.  Сжимающие отражения. Теорема Банаха и решение уравнений.

7.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод дихотомии (половинного деления).

8.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод золотого сечения

9.  Приближенное решение алгебраических уравнений. Метод касательных (Ньютона).

10.  Приближенное решение алгебраических уравнений Метод итераций.

11.  Численные методы линейной алгебры. Классификация численных методов линейной алгебры.

12.  Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.

13.  Численные методы линейной алгебры Решение СЛАУ методом прогонки.

14.  Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом простых итераций (метод Якоби).

15.  Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ методом Зейделя.

16.  Приближение функций. Интерполяционный полином Лагранжа.

17.  Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.

18.  Численное интегрирование. Методы прямоугольников и трапеций.

19.  Численное интегрирование. Метод Симпсона.

20.  Численное решение систем линейных уравнений. Метод Ньютона.

21.  Численное решение систем линейных уравнений. Метод итераций.

22.  Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши.

23.  Метод Рунге – Кутта первого порядка точности (метод Эйлера). Решение систем ОДУ первого порядка методом Рунге – Кутта.

24.  Численное решение ОДУ высших порядков. Численное решение систем ОДУ высших порядков.

25.  Многошаговые методы решения задачи Коши.

26.  Численное решение “жестких” дифференциальных уравнений.

27.  Численное дифференцирование путем конечно разностной аппроксимации производной.

28.  Численное дифференцирование с использованием интерполяционного полинома Лагранжа.

Основная литература.

1.  , Гулин методы. - М.: Наука,1989.

2.  , Марон вычислительной математики. - М.: Наука,1966.

3.  , Данилова по вычислительной математике. - М.: Высшая школа, 1990.

4.  , , Кобельков методы. - М.: Наука, 1987.

5.  . Численные методы на базе Mathcad : учебное пособие / , . – СПб. : БХВ-Петербург, 2005. – 464 с. : ил. + CD-ROM.

6.  MATLAB 7: основы работы и программирования : учебное пособие для вузов / . – М. : Бином, 2006. – 320 с.

7.  и др. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. школа, 1994.

Дополнительная литература.

1.  Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.1 / . – 1999. – 366 с.

2.  Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х : В 2 т. Т.2 / . – 1999. – 304 с.