ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ |
|
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ |
539.3/.6(07) Ч-498 , ,СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВУчебное пособиеЧасть 1 3-е изд., перераб. и дополненное 8. Энергетический метод определения перемещений (метод Мора) 9. Статически неопределимые системы. Метод сил |
Челябинск |
УДК 539.3//6(07)
, В. М. , . Сопротивление материалов: Учебное пособие.
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видеостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 3 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................... 4
8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕРЩЕНИЙ ....................................................................... 5
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК КОНСТРУКЦИИ................................. 5
9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.......... 38
МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
КОНСТРУКЦИЙ......................................................................... 44
МЕТОД СИЛ.............................................................................. 44
1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ 45
2.ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ (О. С.)...................................... 45
3.СОСТАВЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ (Э. С.)........ 47
4.УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАДАННОЙ КОНСТРУКЦИИ И ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ.
СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ............................... 48
5.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ (dij) И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ (DiP).......................................................................................................... 51
6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ `. 55
7. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ
ДЛЯ ЗАДАННОЙ КОНСТРУКЦИИ................................................. 56
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ................................................... 58
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.............................................. 96
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие предназначено для использования студентами в процессе лекций в технически оснащённых аудиториях. Оно ни в коем случае не заменяет учебник или лектора и предназначено для более результативной работы студента на лекции. Отпечатанные в пособии схемы, рисунки и формулы являются копией материала, изображённого на дисплее (видеостенке, экране – при использовании кодоскопа) и предназначены для того, чтобы слушатель мог уделить больше времени анализу материала, общению с лектором и самостоятельной работе.
Чистые (не заполненные) участки пособия предназначены для конспектирования информации, излагаемой лектором и полученной студентом при самостоятельной работе (идей, определений, комментариев, некоторых выводов и обсуждения результатов). Как правило, в напечатанном тексте отсутствует описание постановки задачи и анализ результатов. Курсивом выделены вопросы, которые рекомендуется рассмотреть или в ходе лекции, или при самостоятельной работе студента.
Каждый преподаватель даёт свою трактовку курса, а каждый студент записывает то, что лично ему представляется необходимым зафиксировать на бумаге, поэтому использование уже заполненных кем-то конспектов неэффективно.
В конце каждого раздела приводятся вопросы для самопроверки, задачи для самостоятельного решения и примеры типовых вопросов экзаменов прошлых лет.
Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей; при этом разделы курса, отражающие специфику той или иной специализации в нём, как правило, не приводятся. Предполагается, что в качестве основного учебника используется "Сопротивление материалов" (рекомендуется десятое издание, опубликованное МГТУ им. в 1999 г.)
Авторы пособия с благодарностью примут все пожелания и предложения по его совершенствованию.
8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕРЩЕНИЙ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК КОНСТРУКЦИИ
|
|
D – полное перемещение точки A; u, v, w – компоненты перемещения точки A в декартовых осях. Обозначение перемещений: Dim индексы: i – причина перемещения; m – направление перемещения | Di – перемещение точки A по направлению i – проекция D на ось i. Причины перемещений: · внешние силы (P) → DiP; · температура (T) → DiT; · заданные смещения (d) → Did. |
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
|
|
Возможные перемещения – любые перемещения, удовлетворяющие наложенным на тело связям. | Действительные перемещения вызваны заданными внешними воздействиями, удовлетворяют наложенным на тело связями (условиям совместности перемещений и деформаций), зависят от свойств материала. Действительные перемещения – частный случай возможных. |
В дальнейшем рассматриваются только малые (по сравнению с размерами конструкции) действительные и возможные перемещения.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ
И ВНУТРЕННИХ СИЛ
Работа внешних сил (Pe):
§ переходит в потенциальную энергию упругой деформации (пример – пружины),
§ в кинетическую энергию движения частиц тела,
§ затрачивается на пластическое деформирование,
§ образование трещин (новых поверхностей).
Статическое нагружение линейно деформируемой системы:
|
Pi – конечное значение силы; Dii – конечное значение перемещения точки приложения силы Pi по i-ому направлению
|
;
; 
;
ТЕОРЕМА КЛАПЕЙРОНА
При статическом нагружении линейно деформируемой системы вся работа внешних сил Aii переходит в потенциальную энергию упругой деформации U:
Aii=U.
Для работы внешних сил (и потенциальной энергии упругой деформации) неприменим принцип наложения (справедливый для напряжений и деформаций):
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СТАТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ
|
U – потенциальная энергия упругой деформации (площадь треугольника KBC);
|
– площадь OBC;
;
;
– пластическая диссипация энергии (площадь OBK).Внутренние силы (напряжения), сопротивляясь деформациям, совершают работу.
Vii – действительная работа внутренних сил при нагружении силой Pi.
; 
; 
;
.
Доказать самостоятельно:
Для стержневых систем (если справедлива гипотеза плоских сечений) работа напряжений на соответствующих деформациях равна работе внутренних силовых факторов на соответствующих перемещениях.
.
УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ЭЛЕМЕНТА ОБЪЁМА
1. 
.
1. Напряжения прикладываются и снимаются статически и связаны с деформациями законом Гука.
2. Каждая сила совершает работу на своём перемещении и не совершает работу на перемещениях от других сил.
.
Используя обобщённый закон Гука, получим:
,
или в главных напряжениях:
.
.
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ:
Получите с помощью формул для вычисления удельной потенциальной энергии формулы для стержня в общем случае действия сил.
ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЁМА
И ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
Можно показать, что система сил первого напряжённого состояния (p) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния и наоборот.
;
uоб – энергия изменения объёма;
uф – энергия изменения формы.
;
.
ВОЗМОЖНАЯ РАБОТА ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
 |
Внешние и внутренние силы на возможных перемещениях совершают возможные работы Aim, Vim:
;
.
Возможные перемещения (воздействие “m”).
Возможные перемещения Dim, dqm не зависят от силы Pi и изгибающего момента Mi, поэтому в выражениях для работы отсутствует множитель 1/2.
Статически возможным называют любое распределение внутренних сил (напряжений, внутренних силовых факторов), удовлетворяющее условиям равновесия при заданных внешних воздействиях.
Принцип возможных перемещений
Для любого статически возможного (уравновешенного внешними нагрузками) распределения внутренних сил (напряжений) и любого кинематически возможного распределения перемещений и соответствующих им деформаций сумма возможных работ внешних и внутренних сил равна нулю:
; 
Это утверждение справедливо для любых внешних воздействий (механических, тепловых и др.) как при упругом, так и при неупругом деформировании.
Применительно к стержневым системам, нагруженным сосредоточенными силами Pi и распределёнными по длине l нагрузками qi:
Здесь Mx, My, T, N, Qx, Qy – внутренние силовые факторы, связанные с Pi и qi уравнениями равновесия;
Dim– возможные перемещения (любые, в общем случае не связанные с заданными нагрузками),
dqx, dqy, dj, dw, du dv– отвечающие перемещениям Dim взаимные смещения двух поперечных сечений (граней бесконечно малого элемента стержня), отстоящих на расстоянии dz.
Энергетический метод определения перемещений в статически определимых стержневых системах (интеграл Мора)
Даны: стержневая статически определимая система (балка, рама, ферма), внешние воздействия, свойства материала.
Требуется определить: перемещение (линейное или угловое) одного заданного поперечного сечения по заданному i-ому направлению.
Dim – искомое перемещение;
1.Действительное состояние системы характеризуется линейными и угловыми перемещениями точек осевой линии (Dim для точки A) и относительными перемещениями граней бесконечно малых элементов (обобщёнными деформациями) dqxm, dqym, djm, dwm, dum, dvm.
Действительные перемещения и деформации являются кинематически возможными.
2. Приложим в точке A по направлению i нагрузку, совершающую работу на искомом перемещении. Величина нагрузки равна единице (размерность будет видна из приведенных ниже формул).
Нагрузке 1 соответствует определяемые из условий равновесия внутренние силовые факторы Mx1, My1, T1, N1, Qx1, Qy1.
В соответствии с принципом возможных перемещений работа единичной нагрузки на искомом перемещении Dim равна работе внутренних сил (Mx1, My1, T1, N1, Qx1, Qy1,) на возможных перемещениях dqx, dqy, dj, dw, du, dv:
Здесь Mx1, My1, T1, N1, Qx1, Qy1 – внутренние силовые факторы от единичной нагрузки (статически возможные); dqxm, dqym, djm, dwm, dum, dvm – действительные взаимные перемещения граней бесконечно малого элемента (кинематически возможные).
Полученная формула (интеграл Мора) справедлива для любых внешних воздействий (механических, тепловых и др.) в пределах и за пределами упругости.
Сила, равная 1, должна совершать работу на искомом перемещении:
Размерность единичной нагрузки следует из интеграла Мора.
Упругие перемещения при действии механических нагрузок
|
|
|
для круглого поперечного сечения |
|
|
|
|
;
.
–
;
.kx, ky – коэффициенты формы сечения, учитывающие неравномерность распределения касательных напряжений t по сечению.
ПРИМЕР
Дано: P, l, EIx=const
Определить: vA=? qB=?
;
;
;
при 
при 
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ ФЕРМЫ
;
;
– сумма Максвелла.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Рассматривается плоская система, температура линейно изменяется по толщине каждого сечения и произвольно – в направлении оси z.
a – температурный коэффициент линейного расширения материала (1/град);
|
|
;
В частном случае 
; 
.
Здесь 
– средняя температура;
– перепад температур по толщине стержня.
При равномерном нагреве (T2 = T1 = T) 
.
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МОРА
;
;
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СИМПСОНА (ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ТРАПЕЦИЙ)
;
;
– моменты в начале участка (z=0);
– моменты в середине участка (z=0,5li);
– моменты в конце участка.
ПРИМЕР
Дано:
q, l, EIx = const.
Определить vA, qB
Для определения вертикального перемещения т. A прикладываем P1 = 1.
Определение угла поворота сечения B:
СПОСОБ ВЕРЕЩАГИНА
Если стержень состоит из прямых участков с постоянной жёсткостью сечения в пределах каждого участка, то операция интегрирования упрощается с использованием того факта, что эпюры от единичных нагрузок оказываются линейными.
M1(z) = a + b×z – линейная функция;
где первый интеграл представляет площадь эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки WP, а второй интеграл – статический момент этой площади относительно оси y:
Sy = WP×zc.
EIxD = a×WP + b×WP×zc = WP(a+bzc) = WPM1c – правило Верещагина.
M1c – момент от единичной нагрузки при z = zc, т. е. под центром тяжести “грузовой” эпюры.
Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади эпюры MP(z) от внешней нагрузки на ординату M1c эпюры от единичной нагрузки под центом тяжести первой.
Перемножение эпюр осуществляется по участкам и результаты суммируются:
| WP = hl |
| WP = |
| WP = |
| WP = |
hl
hl
hlПРИМЕР
Определить линейное перемещение точки A.
.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каким образом записывается интеграл Мора (общая формула для определения перемещений)?
2. В каком порядке производится определение перемещений с помощью интеграла Мора?
3. В каких случаях по направлению искомого перемещения в системе прикладывается единичная сосредоточенная сила, в каких - сосредоточенный момент?
4. Интегрирование с использованием формулы перемещений ведется по участкам всего сооружения (упругой системы) или только по тому участку, которому принадлежит точка искомого перемещения?
5. Что означает знак плюс или минус вычисленного значения интеграла Мора?
6. Укажите границы применимости интеграла Мора.
7. Как поступают при определении взаимных перемещений отдельных точек или сечений сооружения?
8. При определении перемещений в упругой системе все ли члены (слагаемые) формулы Мора используются? Если нет, то какими из них можно пренебречь для случаев плоской и пространственной задачи?
9. Для чего используется формула Симпсона? В каких случаях она не применима или достаточно громоздка для вычислений?
10. Учитывается ли знак ординат грузовой и единичной эпюры при определении перемещений с использованием формулы Симпсона?
11. Сформулируйте способ Верещагина и границы его применимости.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ
1. Действительная работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации (вывод формулы для произвольно нагруженного стержня).
2. Возможная работа внешних и внутренних сил. Принцип возможных перемещений для деформируемых систем.
3. Интеграл перемещений О. Мора (вывод формулы для определения перемещения от произвольного воздействия Δim).
4. Определение перемещений по интегралу О. Мора при силовом воздействии (при выводе формулы воспользоваться выражением
).
5. Определение перемещений в плоской стержневой системе по методу О. Мора при температурном воздействии (при выводе формулы воспользоваться выражением
).
6. Методы вычисления интеграла О. Мора (непосредственное интегрирование и по формуле Симпсона). Показать на примере плоской системы, испытывающей изгиб.
7. Перемещение точки конструкции по заданному направлению. Действительные и возможные перемещения.
9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ СИЛ
Статически определимые и статически неопределимые системы (конструкции):
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ СИСТЕМА – опорные реакции и все внутренние силовые факторы могут быть определены при помощи уравнений равновесия и метода сечений.
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ СИСТЕМА – опорные реакции и все внутренние силовые факторы нельзя найти с помощью метода сечений и уравнений равновесия.
Преимущества статически неопределимых конструкций:
· уменьшение перемещений, деформаций и напряжений;
· резервирование.
Недостатки:
· усложнение монтажа и возможность появления монтажных напряжений;
· появление температурных напряжений при неравномерном нагреве.
Расчёт опорных реакций и внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах выполняется на основании совместного решения трёх групп уравнений:
1.
|
2. условий совместности деформаций и перемещений – геометрические условия;
3. физических соотношений, связывающих напряжения и деформации или силы и перемещения.
СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики для рассматриваемой системы, носит название СТЕПЕНИ, или ЧИСЛА СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ:
n = w – y.
Положение тела в пространстве определяется шестью независимыми координатами. Наложение шести связей на жёсткий стержень превращает систему из механизма в кинематически неизменяемую систему. Число связей, при которых достигается кинематическая неизменяемость, называется необходимым числом связей. Связь, наложенная сверх необходимых, называют ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ. Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы.
Связи в стержневых системах делятся:
ВНЕШНИЕ СВЯЗИ – препятствуют абсолютным перемещениям некоторых точек системы.
ВНУТРЕННИЕ (или взаимные) СВЯЗИ – накладывают ограничения на взаимные смещения элементов системы.
КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ,
НАЛОЖЕННЫХ НА ТВЁРДОЕ ТЕЛО
1. ШАРНИРНО-ПОДВИЖНАЯ односвязная опора (каток) препятствует перемещению опорной точки по линии действия связи
Реакция RA всегда направлена по линии действия связи | 3.СКОЛЬЗЯЩАЯ ЗАДЕЛКА ограничивает возможность углового и одного из линейных перемещений, но допускает перемещение вдоль стержня
|
2.ШАРНИРНО-НЕПОДВИЖНАЯ двухсвязная опора препятствует линейным смещениям одной точки
| 4.ЖЁСТКАЯ ЗАДЕЛКА препятствует линейным и угловому смещениям конца стержня
|
ПРИМЕРЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Примеры СНС: трижды и более число раз СНС
ПЛОСКИЙ ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР
МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
МЕТОД СИЛ
Метод сил заключается в том, что заданную статически неопределимую систему освобождают от дополнительных связей (как внешних, так и внутренних), а их действие заменяют силами и моментами, которые оказываются неизвестными. Величина этих сил и моментов подбирается так, чтобы были одинаковы все перемещения в статически неопределимой и заменяющей ее статически определимой конструкциях.
Рассмотрим идею метода сил и канонический порядок расчёта на примере плоской системы, испытывающей изгиб.
Дано: q, l, EIx = const.
Определить внутренние силовые факторы в раме.
Порядок расчёта:
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ:
n = 5 – 3 = 2 (две дополнительные (избыточные) связи).
2. ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ (О. С.)
Основная система – кинематически неизменяемая статически определимая (n = 0) система, полученная из заданной конструкции путём отбрасывания дополнительных связей.
ОТБРОШЕННЫЕ СВЯЗИ (направления перемещений) обозначаются цифрами i = 1, 2, 3, …, n.
Нумерация произвольная, но в процессе расчёта неизменная.
Основных систем можно выбрать бесконечное множество.
3. СОСТАВЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ (Э. С.)
Усилия в отброшенных связях обозначают Xi. Направление усилий Xi выбирается на этом этапе расчёта произвольно, действительное направление будет определено позднее в ходе расчёта.
Эквивалентная система – основная система, нагруженная внешними силами (Pe) и неизвестными усилиями в отброшенных связях (Xi):
4. УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЗАДАННОЙ КОНСТРУКЦИИ И ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ.
СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Запишем условия, при которых Э. С. будет деформироваться так же, как и заданная СНС. Взаимные перемещения точек приложения сил X1, X2 по направлению отброшенных связей равны нулю:
Остальные кинематические условия в Э. С. и СНС одинаковы.
Для ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ, подчиняющихся закону Гука и принципу независимости действия сил, существует единственная линейная связь между силами и соответствующими перемещениями.
Применим принцип независимости действия сил и отдельно изобразим основную систему в деформированном виде от X1, X2 и Pe (части неподвижных опор, соответствующие отброшенным связям, в дальнейшем не изображаются на схемах).
УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
(1)
Здесь Dim 
Воспользуемся законом Гука и перемещения от неизвестных сил запишем в виде:
– перемещение пропорционально силе, где i=1,2; j=1,2 (2)
Здесь 
– удельное перемещение (податливость) – перемещение точки приложения силы Xi в основной системе в направлении i от силы Xj, равной единице.
Вместо (1) с учётом (2) имеем:
– система КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ (n =
В общем виде для n раз статически неопределимой системы:
В системе канонических уравнений МЕТОДА СИЛ на основе принципа суперпозиции и закона Гука записано равенство нулю взаимных перемещений по направлению неизвестных сил в отброшенных избыточных связях.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ (dij) И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ (Dip)
d11 – угловое перемещение точки приложения момента X1 по направлению X1 (угол поворота, X1 – пара сил), вызванное моментом X1;
d12 – угловое перемещение точки приложения X1 по направлению X1, вызванное силой X2 = 1;
d21 – линейное перемещение точки приложения силы X2 по направлению X2 от момента X1 = 1;
dij – перемещения точек приложения сил Xi по направлению отброшенных связей (i) в ОСНОВНОЙ СИСТЕМЕ, нагруженной силам Xj=1 (податливость основной системы по направлению отброшенных связей),
DiP – перемещения точек приложения сил Xi по направлению отброшенных связей (i) в ОСНОВНОЙ СИСТЕМЕ, нагруженной заданными внешними нагрузками (системой сил Pe).
5.ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ (dij) И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ (DiP)
Перемещения dij и DiP определим с помощью метода (интеграла) Мора. Интеграл Мора вычисляется любым удобным способом (прямым интегрированием, по формуле Симпсона или по правилу Верещагина).
Учитывая работу только изгибающих моментов, для плоской системы имеем:
Здесь Mн, Mс, Mк – значения изгибающих моментов в начале, в середине и в конце участка (соответственно).
Коэффициенты dii называют главными коэффициентами влияния. Они всегда положительны.
Коэффициенты dij при i ¹ j (побочные коэффициенты влияния) могут быть положительны или отрицательны, но всегда
dij = dji.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЕ СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ
6.РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных алгебраических уравнений:
dii > 0– главные коэффициенты;
dij = dji 
0 – побочные коэффициенты
Свободные члены DiP 0 – зависят от внешней нагрузки (Pe).
Неизвестные Xi зависят от соотношения длин (li) и жёсткости сечения и не зависят от их абсолютных значений: dij и DiP имеют общие множители, которые можно сократить: (в нашем случае 
).
Проверка: подстановка Xi в исходные уравнения.
а) Xi > 0 – действительное направление неизвестного усилия Xi совпадает с выбранным при составлении эквивалентной системы;
б) Xi < 0 – действительное направление усилия противоположно выбранному при составлении эквивалентной системы.
Результаты решения: статически определимая эквивалентная конструкция (см. рис.), в которой все перемещения, внутренние силовые факторы, деформации и напряжения такие же, как в исходной статически неопределимой конструкции.
7. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛ
ДЛЯ ЗАДАННОЙ КОНСТРУКЦИИ
Суммарные (от действия заданных нагрузок и вычисленных сил Xi) эпюры строятся для статически определимой эквивалентной системы либо непосредственно методом сечений, либо на основании принципа независимости действия сил:
MS = M1X1 + M2X2 + MP.
Суммарная эпюра не зависит от выбора основной системы при раскрытии статической неопределимости.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ система деформируется как заданная СНС, поэтому перемещения определяются в Э. С., которая статически определима.
Перемещения вычисляются методом Мора: единичная нагрузка прикладывается в направлении искомого перемещения в О. С. (которая может быть любой – наиболее удобной для вычислений):
где M1 – изгибающие моменты в О. С., нагруженной единичной нагрузкой (P1 = 1 или М1 = 1), приложенной по направлению искомого перемещения Di.
НАПРИМЕР: определить угол поворота qA сечения (узла) A:
Самый простой вариант – второй. По правилу Верещагина:
знак (–) указывает, что сечение A поворачивается по часовой стрелке.
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА
Для проверки правильности решения находят перемещения, заведомо равные нулю – перемещения по направлению отброшенных связей в – найдём угол поворота сечения A относительно неподвижной опоры:
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИЛ ДЛЯ РАСЧЁТА МНОГОПРОЛЁТНЫХ БАЛОК
n = 7 – 3 = 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ
ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
Оси x и y главные и центральные | Плоская рама My, Qx, N | Плоско-пространственная рама Mx, Qy, T. |
– основные внутренние силовые факторы.
При вычислении dij и DiP учитываются ТОЛЬКО основные силовые факторы.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
ФЕРМЫ (СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ – УЗЛОВАЯ НАГРУЗКА)
Ni, NP и ES ® const по длине участка |
|
УСИЛИЯ В СНС ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ (T),
ОТ НЕТОЧНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ (d)
И ОТ ОСАДКИ ОПОР (D)
Расчёт на каждое воздействие ведётся ОТДЕЛЬНО.
Dim – определяются методом Мора (изменяются в зависимости от воздействия);
dij – остаются неизменными для всех видов воздействий.
R1i – реакция опоры, которая получила смещение Di.
Пример:
n = 2 – 1 = 1; d11X1m + D1m = 0; | Дано: P = 200 кН; S1 = S2 = S = 10 см2; l1 = l2 = l = 1,0 м2; d1 = 1,0 мм; T2 = 75°; a2 = 12×10-6 1/град; E = 2,0×105 МПа. __________________________ Определить si |
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
|
|
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
ОТ МЕХАНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
|
|
|
Усилия X1P не зависят от l и ES, а зависят от их соотношения.
|
|
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
ОТ НЕТОЧНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ
– неизменное;
– (от N1 – удлинение, от d1 – укорочение);
N1i – усиление от единичной нагрузки в i-ом стержне;
d1 – неточность изготовления i-го стержня.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ СТЕРЖНЯ
– неизменное;
si | im | |||
P | d1 | Dt2 | S | |
s1, МПа | 80 | 160 | 72 | 312 |
s2, МПа | 160 | -80 | -36 | 44 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ ПРИ РАСКРЫТИИ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Симметричная рама (правая часть – зеркальное отображение левой части) нагружена несимметричной нагрузкой.
Используя принцип независимости действия сил, заменим заданную несимметричную нагрузку на сумму симметричной (Pc = P) и кососимметричной (Pкс = P):
Выберем основную систему, сохраняя симметрию, и составим эквивалентную систему:
Система канонических уравнений:
d11X1 + d12X2 + d13X3 + D1P = 0;
d21X1 + d22X2 + d23X3 + D2P = 0;
d31X1 + d32X2 + d33X3 + D3P = 0.
X1 – кососимметричный ВСФ – Q;
X2 и X3 – симметричные ВСФ – N и M.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ
d12 = d21 = (ЭM1) (ЭM2) = 0;
d13 = d31 = (ЭM1) (ЭM3) = 0.
Поставленная задача и система канонических уравнений распадаются на две самостоятельные:
d11X1 + D1P = 0; D1P – зависит от кососимметричной нагрузки Pкс.
d22X2 + d23X3 + D2P = 0;
d32X2 + d33X3 + D3P = 0.
D2P и D3P – зависят от симметричной нагрузки Pс.
Выводы:
· в симметричной раме при симметричной нагрузке равен нулю кососимметричный внутренний силовой фактор в плоскости симметрии рамы;
· в симметричной раме при кососимметричной нагрузке равны нулю симметричные внутренние силовые факторы в плоскости симметрии рамы.
Вопросы для самопроверки
1. Какие системы называются статически неопределимыми?
2. Что понимают под степенью статической неопределимости?
3. Сколько раз статически неопределим замкнутый контур?
4. Что называется основной системой?
5. Что называется эквивалентной системой?
6. Какой вид имеют канонические уравнения метода сил?
7. Чем определяется число уравнений, записываемых для заданной системы?
8. В чем заключается геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в каноническом уравнении?
9. Каким образом определяют коэффициенты при неизвестном и свободный член канонических уравнений?
10. Какие существуют способы построения суммарной (окончательной) эпюры изгибающих моментов?
11. В каком порядке производится расчет статически неопределимых систем?
12. Как, используя свойства симметрии, можно облегчить решение задачи при раскрытии статической неопределимости?
13. Какие неизвестные внутренние силовые факторы называются симметричными, а какие кососимметричными?
14. Как производится деформационная (кинематическая) проверка окончательной (суммарной) эпюры изгибающих моментов?
15. Как производится определение перемещений в статически неопределимых системах?
Экзаменационные вопросы и задачи прошлых лет
1. Статически неопределимые системы (определение). Степень статической неопределимости. Принципы расчёта статически непреодолимых систем.
2. Метод сил. Основная и эквивалентная система метода; условие эквивалентности - система канонических уравнений.
3. Геометрический смысл системы канонических уравнений метода сил. Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы. Особенности системы канонических уравнений.
4. Применение метода сил к расчету многопролетных статически неопределимых балок. Рациональная основная система.
5. Применение метода сил к расчету плоских и плоско-пространственных рам. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости.
6. Применение метода сил к расчету пространственных рам (показать на примере).
7. Применение метода сил к расчету стержневых систем, элементы которых растянуты или сжаты (рассмотреть силовое или температурное воздействия, неточность изготовления элементов).
8. Расчет на прочность и на жесткость статически неопределимых систем. Проверка правильности решения задачи методом сил.
|
|
|
Дано: S, l, [σ], E 1. Построить ЭN и Эw. 2. Определить [q] и wmax. | Дано: l, E, Δ (зазор до сборки) σ1=?, σ2=? | EI=const Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента |
|
|
|
EI = const Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента | a = 60°, ES1 = ES2 Что опаснее: 1. повышение температуры стержней 1 на Dt; 2. повышение температуры только стержня 2 на Dt. | 1. Построить ЭN, Эσ и Эw. 2. Определить S, если P = 30 кН, [σ] = 100 МПа |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Феодосьев материалов. Изд 10 – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.
2. , Мавлютов материалов.– М.: Наука, 1986.
3. , , Буслаева сечений. Построение эпюр внутренних силовых факторов: Учебное пособие/ Под ред. . – Челябинск: ЮУрГУ, 1998.
Министерство Российской Федерации СНЕЖИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ | |||
, , СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВЧасть 1 Учебное пособиеРазделы: 8.Энергетический метод определения перемещений (метод Мора) 9.Статически неопределимые системы. Метод сил | |||
УДК 539.3//6(07)
, , . Сопротивление материалов: Учебное пособие. Под. редакцией
Учебное пособие к лекционной части курса "Сопротивление материалов" соответствует общей типовой части программы для студентов машиностроительных специальностей. Оно предназначено для интенсификации и повышения качества индивидуальной работы студента в технически оснащённых лекционных аудиториях (телевизионных, компьютерных, с видиостенкой или кодоскопом) и при подготовке к практическим занятиям, зачётам и экзаменам.
Cписок лит. – 3 назв.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................... 4
9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕРЩЕНИЙ .............................................................. 5
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК КОНСТРУКЦИИ......................... 5
Действительные и возможные перемещения.......................................... 6
Действительная работа внешних и внутренних сил............................ 7
Общий случай статического нагружения............................................... 9
Удельная потенциальная энергия деформации элемента объёма. 12
Энергия изменения объёма и энергия изменения формы................. 14
Возможная работа внешних и внутренних сил. Принцип возможных перемещений..................................................................................................... 16
Энергетический метод определения перемещений в статически определимых стержневых системах (интеграл Мора).......................... 19
Упругие перемещения при действии механических нагрузок........ 22
Перемещения от температурных воздействий.................................... 26
Способы вычисления интеграла Мора................................................. 28
Применение формулы Симпсона (параболических трапеций)...... 28
СПОСОБ ВЕРЕЩАГИНА............................................................................ 32
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ......................................................... 36
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПРОШЛЫХ ЛЕТ......................... 37
9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ СИЛ................................................................ 38
Степень статической неопределимости.......................................... 40
Классификация связей, наложенных на твёрдое тело............... 41
МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ............................................................................................................................... 44
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................. 96
