Эконометрика

1)Эконометрика- это наука о измерениях в экономике. Необходимость этих измерений во многом определяется полнотой и достоверностью имеющейся исходной информации о влиянии различных воздействий х на результаты деятельности у.

Задачи эконометрики.

1)Установление факта наличия связи между потенциальным воздействием х и результатом у ( для решения используется аппарат корреляционного анализа)

2)Построение моделей зависимости у от х, используя аппарат регрессионного анализа.

3) Установление степени доверия построенной модели, используется аппарат теории вероятности и математической статистики.

4)Построение прогнозных оценок ( используя аппарат регрессионного анализа, математической статистики и теории вероятности.

2)Мат. ожидание дискретной случайной величины.

Это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода. Его можно получить, если перемножить значения случайной величины на их вероятности просуммировать полученные произведения. Математически, если случайная величина х, то ее математическое ожидание Е(х). Следовательно Е(х)=х1р1+х2р2+…..+хnpn= хipi

Математическое ожидание случайной величины часто называют ее средним по генеральной совокупности. Для случайной величины х это значение часто обозначают, как m.

3) Математическое ожидание функций дискретных случайных переменных.

4) Правила расчета математического ожидания.

Существуют 3 правила, они одинаково применимы для дискретных и непрерывных случайных переменных.

1- Математич ожидание суммы нескольких переменных равно сумме их математических ожиданий. Если имеются три случайные переменные х, у, z, то

Е(х+у+z)=E(x)+E(y)+E(z)

2-Если случайная переменная умножается на константу, то ее математическое ожидание умножается на ту же константу. Если х-случайная переменная и а - константа, то Е(ах)=аЕ(х)

3- Математическое ожидание константы есть она сама. Если а –константа, то Е(а)=а.

Если мы хотим рассчитать Е(у), где у=а+bх, где а и b-константы, следовательно Е(у)=Е(а+bx)=Е (а)+Е(bx) по правилу 1=а+bE(x) по правилу 2 и 3

5)Независимость случайных переменных.

6)Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной.

Одна из функций переменной х , ее теоретическая дисперсия, являющаяся полезной мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется, как мат. ожидание квадрата разности между величиной х и ее средним значением, т. е ( х - m)2, где m-мат ожидание х. Дисперсия обычно обозначается, как s2х

sх – теоретическое стандартное отклонение – столь же распространенную меру разброса для распределения вероятностей; стандартное отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии. Одним из важнейших приложений правил расчета математического ожидании является формула расчета теоретической дисперсии случайной переменной -

Таким образом, если надо вычислить теоретическую дисперсию для х, то надо рассчитать мат. ожидание величины х2 и вычесть из него m2.

8)Несмещенность оценки.

Несмещенность - желательное свойство оценок.

Т. к оценки являются случайными переменными, их значения лишь по случайному совпадению могут в точности равняться характеристикам генеральной совокупности. Обязательно будет присутствовать ошибка, которая может быть большой и малой, положительной или отрицательной, в зависимости от чисто случайных составляющих величин х в выборке. оценка несмещенная, если мат ожидание оценки = соответствующей характеристике генеральной совокупности. Если это не так, то оценка называется смещенной и разница между ее мат. ожиданием и соответствующей теоретической характеристикой генеральной совокупности называется – смещением.

Выборочное среднее является смещенной оценкой теоретического среднего……………

xi=m+ui, xi=m+ui - средняя чисто случайных составляющих величин х в выборке. Мат ожидание такой составляющей в каждом наблюдении =0, т. е.мат ожид = 0. Е(х)=Е(m+u)=Е(m)+Е(u) = m+0=m

В принципе, число несмещенных оценок бесконечно.

Есть выборка из 2-х наблюдений х1 и х2, любое взвешенное среднее было бы несмещенной оценкой, если сумма весов = 1.

Z=l1x1+l2x2 – общая формула оценки

Е(Z)=E(l1x1+l2x2)= l1E(x1)+ l2E(x2)= l1m+l2m=m(l1+l2), l1+l2=1, значит Е(Z)= m, и Z является несовмещенной оценкой m.

Но мы всегда по большинству пользуемся выборочным средним с l1 и l2 = 0.5

Математическое Е (s2) = s2х и эта величина является несмещенной оценкой теоретической дисперсии, если наблюдения по выборке независимы друг от друга.

9) Эффективность оценивания свойств случайных переменных.

Несмещенность – это желательное свойство оценок, но это не единственное такое свойство. Еще одна важная их сторона - это надежность Немаловажно, чтобы оценка была точной в среднем за длительный период. Эффективная оценка это оценка, к-ая с максимально возможной вероятностью давала бы близкое значение к теоретической характеристике. Нам надо получить малую дисперсию. Более сжатую, тогда мы получим более точное значение – такая оценка будет эффективна. Более эффективна та оценка, функция плотности вероятности которой более «сжата» вокруг истинного значения.

Но это далеко не факт. По стечению обстоятельств может быть, что менее сжатая окажется более точной, но это менее 50% вероятности. Надо получать оценку как можно с меньшей дисперсией и эффективная оценка это та, у которой дисперсия минимальна.

Рассмотрим дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего и покажем, что она минимальна, когда оба наблюдения имеют равные веса. Если наблюдения х1 и х2 независимы, то теоретическая дисперсия обобщенной оценки равна:

Для несмещенности оценки необходимо l1+l2=1, l2=1-l1 и:

Надо выбрать l1, чтобы минимизировать дисперсию (2l2 -2l1+1). Минимум достигается при l1=0,5, и значит l2=0,5.

Выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию среди оценок данного типа. Это означает, что оно имеет наиболее сжатое вероятностное распределение вокруг истинного среднего и следовательно наиболее точно. Выборочное среднее –это наиболее эффективная оценка среди всех несмещенных оценок. Замечания: 1)эффективность оценок можно сравнить лишь тогда, когда они используют одну и ту же информацию, один и тот же набор наблюдений нескольких случайных переменных. 2)ограничиваем понятие эффективности сравнением распределений несмещенных оценок.

10)Влияние объема выборок на точность оценок.

х – случайная переменная с неизвестным математическим ожиданием m и теоретической дисперсией s2 и что для оценивания m используется х. Каким образом точность оценки х зависит от числа наблюдений n?

При увеличении n оценка х становится более точной. Поскольку дисперсия х выражается формулой s2 \n, она тем меньше, чем больше размер выборки и значит тем сильнее сжата функция плотности вероятности для х.

Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для х. Если n становится больше, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей х=m. Для такой выборке случайная составляющая х становится действительно очень малой и поэтому х обязательно будет очень близкой к m. Это вытекает из того, что стандартное отклонение х= s\n, становится малым при больших n.

11) Состоятельность оценок

Если предел оценки по вероятности = истинному значению характеристики генеральной совокупности, то эта оценка называется состоятельной, т. е. та, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений. Иногда бывает, что оценка, смещенная на малых выборках, является состоятельной. Иногда самостоятельной может быть даже оценка, не имеющая на малых выборках конечного математического ожидания. Нужно, однако, иметь ввиду, что состоятельная оценка в принципе может на малых выборках работать хуже, чем несостоятельная и поэтому требуется осторожность.

12)Выборочная ковариация. Основные правила расчета.

Выборочная ковариация- является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единым числом. Ключевым показателем демонстрирующим наличие связи между воздействием х и результатом у –является ковариация. х= 1\nS xi ; y= 1\nSyi

С учетом этого величина ковариации, как мера связи х и у будет представлять: cov(x, y)=1/nS((xi-x)(yi-y)

Ковариация, как мера связи 2-х переменных х и у демонстрирует степень синхронности отклонений текущих значений воздействия и результата, т. е xi и yi соответственно относительностью их средних значений. Отрицательная связь, выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь - положительной ковариацией.

Cov(x;y)>0-связь есть и она положительная, т. е с ростом воздействия растет результат.

Cov(x;y)<0-связь есть, но она отрицательная, т. е с ростом воздействия результат падает.

Cov(x;y)=0-связь отсутствует. Ковариация демонстрирует факт наличия связи, а также ее направленность, не дает ответа на вопрос по силе этой связи, т.к отсутствует мера сравнения. Для оценки силы связи между 2 переменными х и у, рассмотрим правила вычисления ковариации:

1)х=var (переменная величина) ; y=const=a ; cov(x;y=a)=0

yi=a; y=a =>cov(x;y)=1\n [(х1-x)(a-a)+(x2-x)(a-a)+……]=0

2)x=var; y=az;z=var;a=const =>cov(x;y)=cov(x;az)=a* cov(x;z)

cov(x;az)= 1\n[(x1-x)(az1-az)+(x2-x)(az2-az)+………]=

a\n[(x1-x)(z1-z)+(x2-x)(z2-z)+……]=a*cov(x;z)

3)x=var; y=v+ w; v=var;w =var => cov(x;y)=cov(x; v+w)= cov(x;v)+cov(x; ?)

Если у = сумме переменных событий, то ковариация х, у равна сумме ковариаций этих отдельных событий. Cov( x;v+w)= 1\n[(x1-x)(v1+w1- v-w) + (x2-x)( v2+w2- v-w)+………]=

=1\n[(x1-x)(v1-v)+(x1-x)(w1-w)+…..]= cov( x;v)+cov(x;w)

4)x=var; y=a+z; a=const; z=var

cov(x;y)= cov(x; a+z)= cov( x;a)+ cov(x;z)= cov(x;z)

5)x=y

cov(x;y)=cov(x;x)=1\n S(xi-x)(xi-x)= 1\n S(xi-x)=s2(x)- cреднее значение квадрата отклонений – дисперсия

6) s2 (x+z)=1\n S( xi+zi-x-z)2= 1\n S [(xi-x)2+ (xi-x)(zi-z)+(zi-z)2+(zi-z)(xi-x)] =

=s2(x) s2(z)+2cov(x;y)

Если 2 переменные величины меняются синхронно, то связь максимальна, если синхронность уменьшается, то связь снижается.

13)Теоретическая ковариация

Если х и у –случайные величины, то теоретическая ковариация sx, y, определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их средних значений

Pop. cov(x, y)= sx, y=E{(x-mx)(y-my), где mx, my – теоретические средние значения х и у.

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может быть использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений.

Е{Cov(x, y)}=((n-1)/n)pop. cov(x, y)

Но она будет иметь отрицательное смещение, так как выборочные отклонения измеряются по отношению к выборочным средним значениям величин х и у и имеют тенденцию к занижению отклонений от истинных средних значений. Можно рассчитать несмещенную оценку путем умножения выборочной оценки на n\( n-1).

Правила для теоретической ковариации, такие же, как и для выборочной ковариации.

Если х и у независимы, то их теоретическая ковариация =0, т. к

E{(x-mx)(y-my)}=E(x-mx)E(y-my)=0*0

14)Выборочная дисперсия. Правила расчета дисперсии.

Для выборке из n наблюдений x1,..,xn выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке: Var(x)=1/nS(xi-x)2

Сделаем 3 замечания:

1)Определенная таким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии.

2)Т. к величина s в квадрате является несмещенной, то ее определяют, как выборочную дисперсию

3)Теоретическая или генеральная дисперсия переменной х обозначается, как s2х

Почему выборочная дисперсия в среднем занижает значение теоретической дисперсии? Она вычисляется, как среднеквадратичное отклонение от выборочного среднего, а не от истинного значения. Т. к выборочное среднее автоматически находится в центре выборки, то отклонения от него в среднем меньше отклонений от теоретического среднего значения.

Существуют несколько правил расчета дисперсии, аналоги для ковариации. Их используют как для выборочной, так и для теоретической дисперсии:

1- Если у= v+w, то var(y)=var(v)+var(w)+2cov(v, w)

2-Если у=аz, где а постоянная, то var(y)=avar(z)

3- Если у=а, где а постоянная, то var(y)=0

4-Если у=v+a, где а постоянная, то var(y)=var(v)

Дисперсия переменной х может рассматриваться как ковариация между двумя величинами х: var(x)=1\n S(xi-x)2=1\n S(xi-x)(xi-x)=cov(x, x)

Учитывая это равенство, можно воспользоваться правилами расчета выборочной ковариации, чтобы вывести правила расчета дисперсии.: var(x)=[1\n Sxi]-x2, Т. к. Cov(x, y)=1/n(Sxiyi)-xy

15) Теоретическая дисперсия выборочного среднего.

Если 2 переменные независимы и => их совокупная cov =0, то теоретическая дисперсия суммы этих переменных будет равна сумме их теоретических дисперсий :

Pop. var (х+у)= pop. var(х)+ pop. var(у)+ 2 pop. var (х, у)= pop. var (х)+ pop. var (у)= s2х +s2y

Из данного результата можно получить более общее правило о том, что теоретическая дисперсия суммы любого числа переменных равняется сумме их дисперсий при условии, что наблюдения независимы друг от друга. При этом можно сказать, что если случайная переменная х имеет дисперсию s2, то дисперсия выборочного среднего х будет равна s2\ n, где n - число наблюдений в выборке:

Pop. var (х)= pop. var {x1+…….+xn\ n}= 1\n2 pop. var (x1+…..+xn)=

=1\n pop. var (x1)+….+ pop. var (xn)}=1\n{s2+…..+s2}= 1\n2{ns2}= s2\n

Выборочное среднее является наиболее эффективной несмещенной оценкой теоретического среднего при условии, что наблюдения проводятся независимо друг от друга на основе одного и того же распределения.

16) Коэффициент корреляции

Более точной мерой зависимости является коэффициент корреляции. Подобно дисперсии и ковариации, коэффициент корреляции имеет две формы – теоретическую и выборочную. Теоретический коэффициент корреляции обозначается «ро» или r. Для переменных х и у этот коэффициент определяется, как :

Если х и у независимы, то «r» =0, т. к равна 0 теоретическая ковариация. Если между переменными существует положительная зависимость, то sx, y, а => и rх, у будут положительными. Если существует строгая положительная линейная зависимость, то rх, у примет максимальное значение, равное 1. Аналогично, при отрицательной зависимости rх, у будет отрицательным с минимальным значением -1.

Выборочный коэффициент корреляции r определяется путем замены теоретических дисперсий и ковариации на их несмещенные оценки.

Подобно величине r, r имеет максимальное значение, равное 1, которое получается при строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями х и у. Аналогичным образом r принимает минимальное значение -1, когда существует линейная отрицательная зависимость. Величина r=0 показывает, что зависимость между наблюдениями х и у в выборке отсутствует. Если r =0, то необязателен тот факт, что и r=0 и наоборот.

В качестве нормированной меры связи 2-х переменных выступает коэффициент парной корреляции: -1<r (x;y)=cov(x;y)/s(x)s(y) <1

Коэффициент парной корреляции, представляет собой отношение связанного разброса значений 2-х переменных величин к произведению бессвязных разбросов этих величин.

Если r(x;y)=+1- связь линейная максимально положительная.

Если r(x;y)=-1- св. линейная максимально отрицательная.

Если r(x;y) не =0 и не =1- связь существует, но носит в определенной степени нелинейный характер.

Если r>0,9-абсолютная, r [0,7-0,9]-сильная, r[0.5-0.7[-средняя, r[0.3-0.5[-удовлетворительная, r[0.1-0.3[-слабая, r<0.1- отсутствует.

17)Однофакторная линейная регрессионная модель.

Y=f(x)-ф-ция зависимости

Y=a0+a1x1

Yip=a0+a1xi-расчетное значение, полученное по модели регрессии, когда значение х соответствует этой точке.

xi-фактическое значение параметра х в точке i

а0 и а1- параметры модели, полученные в результате обработки фактических параметрических значений xi, yi.

Задачей моделирования результата у от воздействия х при линейной ф-ции заключается в минимизации расхождения фактического и расчетного значения результата у в каждой точке. ei=yi-yipàmin. С точки зрения адекватного описания событий, нас интересует минимизация фактических и расчетных значений не в той отдельной точке i, а по всем точкам наблюдения i=1,n. Т. к отдельные ошибки являются положительными, а отдельные отрицательными, то возможна ситуация при которой сумма ошибок стремится к 0 за счет того, что отрицательные ошибки компенсируют положительные. При этом очевидно, что модель не является идеальной, т. к ни одна из точек фактических наблюдений не принадлежит модельной линии, именуемой линией регрессии. По этой причине, в регрессионном анализе вместо суммы ошибок ei, анализируют сумму ei в квадрате, т. к любая величина в квадрате будет положительной.

18) Метод наименьших квадратов.

Метод нахождения модели регрессии, соответствующей минимальной сумме квадратных ошибок – называется методом наименьших квадратов (МНК). Этот метод является наиболее популярным в курсе регрессионного анализа, т. к при выполнении определенных условий дает несмещенные и эффективные оценки альфа и бета.

Метод наименьших квадратов, положенный в основу построения рассматриваемой однофакторной линейной регрессионной модели, точно также использовать для построения и др. вариантов моделей.

Но сумма квадратов ошибок, используемая в решении системы уравнений в тоже время не является хорошей мерой оценки качества модели регрессии. Т. к. по величине s не удается отметить на сколько мала или велика сумма квадратов ошибок. Для оценки моделей регрессии используют другие критерии в частности простейшим критерием является средняя ошибка:

Если D£15%, то модель считается адекватной реальным событиям.

Помимо средней ош-ки при сопоставлении различных вариантов моделей между собой в качестве критерия используют сред относ ош-ку:

При сопоставлении 2-х вариантов моделей одна из них хар-ся большим значением суммы квадратов ош(smax) а другая меньшей суммой (smin), поэтому сред отснос ош-ка демонстрирует во сколько раз, либо на ск-ко % 1 из анализируемых моделей точнее другой. Но при этом сред отн ош-ка сравнивая модели меж собой не дает понимания того, на ск-ко обе эти модели адекватны реальным событиям.

19)Коэффициент детерминации как критерий качества оценки регрессии

R - показатель качества модели, который демонстрирует степень объяснения модельной регрессии реальных событий.

yi-yip=ei ; yi=yip+ei

s2(y)= s2 (yp+ e) = s2 (yp)+ s2 (e)

R= s2 (yp)\ s2 (y)= (s2 (y)- s2 (e))\s2 (y)= 1- s2 (e))\s (y)

s2 (e)=0 =>R2=1- модель полностью объясняет действительность, реальная модель.

s2 (e) -às2(y)=>R2=0- ничего не объясняет. Если в модели отсутствует связь между у и х, то R2 близко к 0. если R2=0,98, то на 98% модель описывает события, 2% остаются необъсненными.

Максимальное значение коэффициента регрессии =1. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям и все остатки равны 0. Если в выборке отсутствует видимая связь между у и х, то коэффициент R будет близок к нулю. При прочих равных условиях желательно, чтобы коэффициент R был как можно больше.

21)Смысл экспериментов по методу Монте-Карло.

Т. к истинное значение параметров модели a0 и a1, как правило не известны, а значит по выборочным оценкам сложно судить хорошие или плохие результаты, обеспечивают построение модели регрессии по методу наименьших квадратов, используя искусственный эксперимент проверки, дающий возможность оценить качество метода наименьших квадратов. Этот искусственный эксперимент и называется – экспериментом Монте-Карло. Простейший вариант эксперимента по методу Монте-Карло содержит 3 этапа:

1)задается истинное значение параметров: a0 и a1,кроме того в каждом наблюдении выбирается значение xi. С помощью генератора случайных чисел задается случайная составляющая Ui

2)для каждого наблюдения i рассчитывается величина yi=a0 +a1xi+ui

3)Используя метод регрессионного анализа, находят оценки – а0 и а1, значения параметра модели, по полученным ранее значениям yi и воздействия xi.

Зная параметры альфа a0 и a1в каждом наблюдении, а так же значение переменной х и случайную составляющую U, можно вычислить в каждом наблюдении результат у.

Таким образом, случайные отклонения в каждом из 20 наблюдений привели к тому, что оценки а0 и а1 несколько отклонились от истинных значений a0 и a1. Т. о построенная по выборке модель регрессии представляет собой частный случай и если с помощью генератора случайных чисел повторить эксперимент, и выбрать новые 20 значений случайной составляющей то результат оценки безусловно сменится в ту или иную сторону.

Если отклонение параметра а0 никак не связано со значениями воздействующего фактора х, то ошибка в определении параметра а1, отвечающая за данные угла наклона регрессии, будет накапливаться по мере возрастания величины х. Расхождения в оценках параметров модели регрессии, вызвано значениями случайных ошибок. Чем больше элемент случайности, тем менее точной является оценка.

Если значения случайных ошибок удвоить, то автоматически удваивается ошибка в определении значения коэффициента регрессии.

22)Предположения о случайном члене - 4 условия Гаусса-Маркова.

Основное требование состоит в том, чтобы случайный член в преобразованном уравнении присутствовал в виде слагаемого (+u) и удовлетворял условиям Гаусса-Маркова.

Регрессионный анализ основанный на методе наименьших квадратов, дает наилучшие результаты в том случае, когда случайная составляющая U, будет удовлетворять ряд условий, известных как условия Гаусса-Маркова:

1)m(ui)=0 Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть =0

При наличии смещения мат ожидания случайной составляющей относительно 0, мы получили бы величину ,которую учли бы в неслучайной составляющей.

2) s2 (ui)=const Дисперсия случайного члена должна быть постоянна для всех наблюдений.

3)cov(ui;uj)=0 , где i не равно j. Ков случ составляющей наблюдения =0.

Предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Случайные члены должны быть независимы друг от друга.

4)Случайная составляющая (ui) распределена, независимо от объясняющей переменной х, т. е cov(ui;xi)=0

На ряду с условиями Гаусса-Маркова обычно говорят о нормальности распределения случайной составляющей влечет за собой нормальное распределение коэффициента регрессии, полученных при моделировании. Предположение о нормальном законе распределения, основывается на центрально - предельной теореме - она утверждает, что если анализируемая переменная Ui формируется, как общий результат взаимодействия большого числа других случайных величин, ни одна из которых не носит доминирующий характер, то эта переменная будет описываться нормальным распределением, даже не смотря на то, что отдельные составляющие воздействия не подчиняются нормальному распределению.

23)Несмещенность коэффициентов регрессии

24)Точность коэффициентов регрессии

Существование случайной составляющей, вносящей ошибку в оценку коэффициента регрессии, приводит к проблеме оценки точности коэффициента регрессии. а1, s2 (u)=?

Т. к точность коэффициента а1 зависит от дисперсии случайной составляющей генеральной совокупности, но самой величины этой дисперсии при работе с выборкой мы установить не можем, то будем использовать связь дисперсий случайных составляющих в генеральной совокупности и дисперсия случайной составляющей выборке.

s2(а1)= s2(u)/ns2(x)

Yip=a0+a1xi ; yi= a0+a1xi+ei

s2(u)= s2(ei)*n/n-2

s2 (а1)= s2(ei)*n/ n(n-2)* s2(x)= s2(ei)/ (n-2) s2(x)

Ошибка определенного параметра а1 будет уменьшаться по мере роста числа наблюдений n, а значит по мере приближения объема выборки к объему генеральной совокупности, как совокупности всех значений. При этом ошибка определенного параметра а1 определяется не абсолютным значением ошибок ei в выборке а отношением разброса случайных ошибок e к величине разброса объясняющих параметров х. Т. о чем больше дисперсия воздействующих факторов х, тем меньше дисперсия коэффициента регрессии а1.

26.Проверка гипотез о коэффициентах регрессии

Зададим ф-ию Р – темп общей инфляции в экономике. Р = a+a1w+u, где w – темп инф-ии, вызванный ростом з/п, u – случайная составляющая, отражающая зависимость на генеральной совокупности между параметрами a0, a1.

Сформулируем гипотезу, о том, что если пренебречь эффектом, вносимым случайной составляющей, то общая инфляция = инфляции вызванной ростом з/п. Сформулированную гипотезу будем считать нулевой и обозначим через Н0 , которая заключается в том, что a1=1 при a0 =0. Н0: a1=1 (общая инфляция полностью определяется инфляцией, вызванной ростом з/п).

На практике обычным является построение нулевой гипотезы, которая затем будет проверяться с помощью альтернативной, которая предполагается верной.

Например: у = a0+a1w+u, у – ф-ия спроса на продукцию, х – личный доход.

В качестве нулевой гипотезы можно выбрать предположение, что размер спроса (у) не зависит от личного дохода (х), т. е. Н0: a1 =0.

Н1 – альтернативная гипотеза (х влияет на величину у). Н1: a1≠0

IIвариант Н0: a1 =1 (уровень спроса полностью определяется личным доходом), Н1: a1≠1 (это не так). Нулевая гипотеза утверждает, что зависимости между личным доходом и уровнем спроса нет, а в альтернативной – есть. Если гипотеза, выдвигаемая в качестве нулевой верна, то оценки параметра a1, полученные в ходе регрессионного анализа будут иметь нормальное распределение с математическим ожиданием = a1 и дисперсией (s2(u))/(n×s2(x))

В соответствии с нормальным распределением, мы можем считать, что большинство оценок будет находиться в пределах заданного значения стандартных отклонений, где стандартное отклонение: sст= (s2(u))/(n×s2(x))

Т. к. результаты оценок параметра модели регрессии попадают в определенный интервал, заданный вероятностью, тогда можно вести речь о принятии либо отклонении гипотезы при условии попадания значений оцениваемой величины в определенный интервал. Н0: a1=1, sст=0,1, b=0,95 – уровень доверительной вероятности. ±3sст(a0).

Если a0 [0,7;1,3], то нулевую гипотезу Н0 принимаем, в противном случае отвергаем.

Рассмотрим понятие сопоставимости случайности и уровня значимости применительно к оценкам параметров регрессионной модели. Если согласно нулевой гипотезе оцениваемый параметр a0 принимается = 1, то встает вопрос о том, как поступить, если отклонение этого уровня составляет 3 стандартных ошибки по 0,1 вниз в меньшую сторону и параметр a0 =0,7.

В соответствии со стандартным нормальным распределением вероятность того, что искомая величина отклониться от среднего уровня на 3 станд. ош-ки в большую или меньшую сторону составляет 0,0027 или0,27%.

Исходя из этого результата можно сделать вывод:

1.считаем, что вероятность крайне мала, в связи с чем Н0 стоит отвергнуть и принять альтернативную гипотезу.

2.можно настаивать на нулевой гипотезе т. к. из множества вариантов событий существует вероятность ≠0( 0,27%), того, что оцениваемый результат отклдониться от среднего уровня на 3 станд. ош-ки и мы считаем, что это именно наш случай.

Для того, чтобы сделать выбор из 2-х указанных вариантов решений, необходимо сформировать уровень доверия к результату, то, что мы назвали доверительной вероятностью b, который также оценивается через уровень значимости a=1-b. Уровень значимости, а соответственно и доверительной вероятности определяется степенью жесткости требований, предъявляемых к искомым результатам, в данном случае параметрам модели регрессии.

Если предположить a0=0,7, b=0,95, уров. значим. a=5%=0,05 . Если b=0,86, то a=14%=0,14, то a0±sст(a0). b=0,63, то a=0,36, то a0±sст(a0).

Т. о. если бы был задан уровень доверительной вероятности b=0,86 и a=0,14, то тогда бы оценку параметра равную 0,7 мы бы отвергли, т. к. все значения укладывались бы в диапазоне [0,8;1,2].

Рассчитаем кол-во стандартных отклонений, которое допускается между регрессионной оценкой параметра и его гипотетическим значением.

Н0: a0, а0

a0-Zsст(a0)≤ a0≤a0+Zsст(a0)

-Zsст(a0) ≤ a0-a0≤ Zsст(a0)

Z = (a0-a0)/ sст(a0) – кол-во стнд. отклон, в пределы к-го укладывается регрессионная оценка a0

28.Использование критерия Фишера для оценки адекватности регрессионных моделей

Критерий Фишера – F-критерий. Оценка моделей регрессии по F-критерию предполагает сопоставление расчетного значения этого критерия и табличного значения этого критерия, являющегося критической величиной.

Fрасч>Fтабл +

Fрасч<Fтабл –

F расч = s2регрессии/s2остаточной

s2регрессии = (S(уip-y)2)/(m-1). M-число параметров модели.

Значение s2рег демонстрирует какой средний разброс текущего значения результата у, рассчитанного по модели, приходится на 1 параметр модели, связанный с воздействующими факторами. yip= а0+a1хi

s2ост=(S(уip-yi)2)/(n-m).

Остаточная дисперсия (s2ост) демонстрирует какой разброс значений у остается после попытки описать каждое наблюдений уi расчетным значением. Суммарная величина этих разбросов учитывается с учетом превышения числа наблюдений n над числом параметров m.

Т. о. расчетное значение F-критерия, как отношение исходного разброса к остаточному, демонстрирует коэффициент сжатия исходной неопределенности в результате объяснения реальных событий уравнением регрессии.

На ограниченной выборке значений (n) с увеличением числа параметров модели (m) одновременно уменьшается числитель s2рег и увеличивается знаменатель s2ост. Т. о. усложнение модели регрессии при прочих равных условиях на ограниченной выборке значений ухудшает значения критерия Фишера, т. е. увеличивает вероятность того, что построенная сложная модель регрессии окажется неадекватна реально наблюдаемым событиям. Если n существенно >m, то подойдет и сложная модель.

30.Логарифмические преобразования (правила, моделирование эластичности, моделирование экспоненциальных временных трендов)

Правила:

1.у=xz, то logy = logx + logz

2.y=x/z, то logy = logx – logz

3. y=xn то logy = nlogx

4. y = ex то lny = x

Моделирование эластичности:

у = axb Видя такую ф-ию можно сразу сказать, что эластичность у по х равна b. Это общая форма кривых Энгеля, где у – спрос на товар, х – доход, а b - эластичность спроса по доходу.

Эластичность у по х рассчитывается, как относительное изменение у на единицу относительно изменения х. Эластичность = (dy/y)/(dx/x). Это выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу. Его можно переписать так: (dy/dx)/(y/x). Это будет отношение предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к потреблению данного товара.

Если соотношение между х и у имеет вид у = axb, то

эластичность = (dy/dx)/(y/x) = (by/x)/(y/x) = b

y=0,01x0,3 Эластичность спроса по доходу = 0,3, т. е. изменение дохода на 1% вызывает изменение спроса на 0,3%.

Ф-ия у = axb может применяться и к кривым спроса, где у – спрос натовар, х – цена, b - эластичность спроса по цене.

Если есть обычное линейное уравнение у=a+х, то тогда dy/dx = b, значит:

Эластичность = (dy/dx)/(y/x)=b/(y/x)=bx/y

В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения b, но и от значений у и х в данной точке.

Достоинства у = axb в следующем:

1.если эластичность у по х постоянна, то это единственная мат. форма, к-ая облад данным св-ом. Т. е. если вы считаете, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью этого уравнения.

2.Можно получить прямую регрессионную оценку путем оценивания зависимости logy от logx. Эта оценка будет достоверна только если зависимость определяется уравнением у = axb. Если зависимость линейная, то правильная процедура будет в оценивании линейной регрессии между у и х и последующем вычислении bх/у.

Моделирование экспоненциальных временных трендов.

Если зависимость у от t задана уравнением вида у=aеrt, где t-время, r–постоянный темп прироста, то абсолютный прирост у за единицу времени (dy/dt), определяется как (dy/dt)=raert=ry.

Следовательно, относительный прирост у за единицу времени можно записать как

(dy/dt)/y=(ry)/y=r. Оценка r, которую получаем при оценивании регрессии, представляет собой оценку темпа прироста, что означает умножение полученной оценки на 100. Если оценка 0,053, то темп прироста 5,3%.

35.Понятие мультиколлинеарности

Мультиколлинеарность – это понятие, используемое для описания проблемы, заключающейся в том, что нестрогая линейная зависимость между объясняющими переменными приводит к получению ненадежных оценок регрессий.

С точки зрения целого ряда параметров и критериев полученная зависимость не обязательно будет признана неудовлетворительной. При прочих благоприятных условиях, а именно большом объеме наблюдений и высоких значений дисперсия объясняющих переменных и маленьких значениях дисперсий случайной ошибки e можно получить хорошую ценку.

Т. о. мультиколлинеарностью называется сочетание нестрогой зависимости между воздействиями результатов с 1 стороны, а с другой стороны наличием 1 или нескольких неблагоприятных факторов. Фактически это проблема степени выраженности оцениваемого явления в модели, а не вида модели.

Оценка регрессионной зависимости в определенной степени всегда страдает от эффекта мультиколлинеарности, исключение составляет случай, когда независимые переменные абсолютно не коррелированны между собой.

Однако для выборочной совокупности получить нулевое значение корреляции между объясняющими переменными практически невозможно, даже если в генеральной совокупности эта корреляция отсутствует.

Обычно проблема мультиколлинеарности рассматривается в условиях, когда связь между объясняющими переменными сильна и результат оценки сильно искажается.

/r(x, z)/³0,9 то тогда мы говорим о мультиколлинеарности 2-х переменных, т. е. с высокой степенью точности можно выразить 1 параметр через другой.

Проблема М часто встречается при формировании регрессионных зависимостей для временных рядов, когда независимая объясняющая переменная имеет ярко-выраженный временной тренд, т. е. поступательную направленность на увеличение или уменьшение во времени. В результате в таких случаях объясняющие переменные имеют тесную корреляцию и существенно искажают результаты оценок регрессии.

57.Анализ взаимного влияния факторов и результатов на примере модели межотраслевого баланса

Модель межотраслевого баланса Леонтьева была разработана в 1936г.. Она демонстрирует каким образом будет меняться валовой выпуск прод-ии в зависимости от уровня спроса на те или иные товары.

Будем считать, что всего существует n – кол-во отраслевых сегментов, каждый из которвх одновременно и производитель и потребитель продукции. yi – конечная прод-ия, выпускаемая в итой отрасти (1до n). xij – средства производства, к-ые выпускает итая отрасль (продукция внутреннего пользования) для j отрасли, j от 1 до n. xi – валовый выпуск прод-ии итой отрасли.

xi=Sxij +yi (1)

aij-элемент затрат, aij= xij/xj (2), т. е. затраты итой отрасли в интересах обечпечения деятельности j отрасли. Т. к. все величины в денежном выр-ии, то xi – какую сумму затрачивают.

Коэффициент прямых затрат (xi) показывает какую сумму затрачивает отрасль i для отрасли j относительно валового выпуска отрасли j.

xij=aij*xj подставим в (1) получим xi=S aij xj (3)

(4) X=AX+Y – матричная форма для множества отраслевых сегментов (n).

А – квадратная матрица элементов прямых затрат (потребление).

Из выражения (4) мы можем найти значение валового выпуска Х.

(Е-А)Х=Y, тогда Х= (E-A)-1Y

Пример: определить каким образом изменится валовой выпуск прод-ии в отраслевых сегментах А иВ, если уровень потребления конечной прод-ии по отрасли А увеличится вдвое, а по отрасли В останется прежним

Вывод: Т. о. валовый выпуск прод-ии по отрасли А, для которой произошло удвоение конечной прод-ии увеличится на 76% или на 76 ден. ед. По отрасли В не см. на неизменность на объем выпуска конесной прод-ииваловый выпуск увел-ся на 14 ден. ед или » на9,3%. Этот рост спровоцирован связью между отраслями А и В в части средств пр=ва.

Из 76 единиц приращения валового выпуска по отрасли А, 72 ед приходятся на увеличение объема конечной прод-ии и 4ед прих-ся на увеличение объема выпуска обеспечивающей прод-ии. Для отрасли В приращение валового выпуска в 14 ед полностью определяется увеличением объема выпуска обеспечивающей продукции, т. к. объем выпуска конечной прод-ии по этой отрасли не изменится.

Матрица (Е_А)-1 представляет собой матрицу полных затрат, к-ая демонстрирует какую часть ресурса (валового выпуска в данном случае) отрасль тратит на выпуск конечной прод-ии, а какая часть затрачена на обеспечение другой отрасли (по глав диаг ск-ко раб на себя, все остальное – связь с другими).

Модель межотраслевого баланса позволяет решить и ………. задачу, когда по объему валового выпуска и матрице затрат необходимо найти конечную продукцию по отраслям. Эта задача актуальна, когда возможности пр-ва ограничены.

43.Гетероскедастичность факторов и ее последствия. Обнаружение гетероскедастичности.

Гетероскедастичность – неравенство дисперсий случайных составляющих друг другу. Неодинаковые значения дисперсий случайной составляющей в каждом наблюдении ухудшает точность оценок и требует принятия решений о степени доверия множеству результатов при условии, что в каждом из наблюдений точность оценки, выражаемой случайной составляющей была неодинакова.

Рассмотрим пример обнаружения явления гетероскедастичности с использованием критерия ранговой корреляции Спирмена. Рассм пример построен линейной регрессионной модели по выборке из 10 наблюдений, после чего проведем оценку гетероскедастичности присутствующих в ней случайных составляющих.

Критерий Спирмена: Он предполагает вычисление коэффициента ранговой корреляции между объясняющей переменной х и случайной составляющей генеральной совокупности u – r(x, u).

К сожалению значение ошибок генеральной сов-ти, как прав не известны, т. к. не известна сама ген сов-ть и нам приходится работать с выборкой. В этом случае мы будем использовать коэффициент ранговой корреляции по Спирмену с учетом случайных ошибок выборочной сов-ти (e). R(x, u)→r(x, e)

Гипотеза гомоскедастичности основывается на том, что по мере роста воздействия х, как независимой объясняющей переменной, ошибка в определении зависимого результата у также будет возрастать. Поэтому ранжируя уровни воздействия х и получаемые при этом ошибки (e) мы можем по степени согласованности рангов говорить и мере гетероскедастичности анализируемой модельной зависимости.

r(x, e)= 1 – ((6SDi)/n(n2-1)), где дисперсия разности рангов Di=(rxi - rei)2 – разность рангов х и e в каждом наблюдении.

Перейдем от полученного коэффициента рангов коррел Спирмена к статистическому значению, в котором учтем объем исходных наблюдений, т. е. r(x, e) !(n-1).

Полученный результат статистического распределения сравним с табличным значением коэффициента Стъюдента для заданного уровня доверительной вероятности и имеющегося объема наблюдений.

Коэфиц Стъюдента демонстрирует предельный уровень расширения (увеличения) дисперсии выборочной совокупности, по сравнению с генеральной совокупностью, обусловленной объемом исходных наблюдений (n) и уровнем доверительной вероятности b.

Если r(x, e) !(n-1)<tb(n, b) - гомоскедастичность, r(x, e) !(n-1)>tb (n, b) - гетероскедастичность

55.Предварительная обработка исходных данных

Исходная последовательность носит немонотонный характер, т. е. содержит перепады роста и спада результатов, в связи с чем такую последовательность сложно описать с высокой точностью монотонной линейной зависимостью. При формировании ряда исходных данных наблюдаются всплески значений, к-ые выпадают из общей тенденции и могут являться случайными факторами, не отражающими влияние анализируемого фактора t.

Случайные отклонения результатов исходных измерений у принято отфильтровывать например, путем усреднения результатов у по нескольким уровням. В частности рассмотрим усреднений по 2-м уровням: уср(1)=(у1+у2)/2=(1+5)/2=3

Т. о. от немонотонной последовательности из 12 значений мы перешли к ступенчато-монотонно возрастающей последовательности из 6 значений для которой можно построить модель вида

yip=2,1+0,69ti* ti меняется от 1 до 6, D=2,07/27*100=7,7%

Усреднив исходные данные по 3-м уровням мы перешли к идеальной линейной модели, однако при этом потеряли внутреннюю динамику, т. к. из 12 значений у нас осталось только 4. Чтобы сгладить случайные выбросы измерений у и не потерять внутреннюю динамику, часто используют метод скользящего окна, по которому рассчитывается скользящее среднее значение для каждой точки наблюдения. Расчет ведется по формуле: yiск= (yi-1+yi+yi+1)/3

Если сравнить исходный ряд значений и ряд, полученный методом скользящей средней, то можно убедиться, что степень монотонность вновь созданной последовательности yi будет гораздо выше. При этом необходимо оценить качество модели регрессии, построенной по результату уi обработанным методом скользящей средней.

32.Интерпритация коэффициентов множественной регрессии.

Рассмотрим модель yip=a0+a1xi+a2pi Решим для нее систему уравнений, получим из нее

na0 +a1Sxi +a2Spi=Syi поделим все на n и получим среднее:

а0=у-а1х-а2р

С учетом представленных зависимостей можно говорить о том, что множественный регрессионный анализ позволяет разграничить влияние независимых переменных одновременно допуская возможность их корреляционной связи.

Оценка параметров модели регрессии напрямую связана со степенью корреляции величин, представляющих собой уровни воздействия. Для примера рассмотрим модель вида:

Если оценить парную регрессию между у и х1 , то можно сказать, что по мере увеличения х1 результат у будет расти, т. к. a1>0. Переменная х2 также будет расти, т. к. существует положительная связь между х1 и х2 , а также потому что параметр a2>0 значит результат у будет преувеличивать влияние воздействия х1 т. к. частично это влияние роста будет формироваться переменной х2 . Кажущееся влияние х1 на у превращается в фактическое, если учесть степень связи х2 и х1 и х2 с у. Если связь между х1 и х2 очень сильна, то тогда переменная х2 фактически м. б. замещена переменной х1.

Если предположить, что переменная х2 не м. б. замещена переменной х1, но переменную х1 можно разложить на 2 составляющие, одна из которых х1 способна замещать х2, а х1 – оставшаяся часть влияния. х = х1+х1

Если рассмотреть парную регрессию между у и х1, то тогда получим оценку не связанную с искажением той частью переменной х1. Можно показать, что оценка параметра a1. полученная с учетом указанного разделения переменной х1 на составляющие будет идентична оценке коэффициента множественной регрессии.

Для того, чтобы оценить величину х1 необходимо определить регрессию между переменными х1 и х2 . х1=с+dx2

Выделенная составляющая х1, являясь линейной ф-ей от х2 м. б. спрогнозирована с помощью воздействия х2 . Коэффициент d м. б. представлен в виде:

Параметр а1 призван выделить влияние фактора х1 на результат у. В традиционной однофакторной модели такое влияние определяется взаимодействием результата и воздействия, выраженного ковариацией, отнесенного к величине разброса воздействия, выраженного дисперсией.

В случае 2-х факторной модели истинное влияние параметра х1 на у мы представляем cov(x1,y) умноженной на s2(х2), учитывающей независимое влияние 2-го фактора. В знаменателе параметра а1 мы учитываем произведение дисперсий 2-х воздействий х1 и х2. Такая запись была бы справедливой при условии отсутствия взаимосвязи между факторами х1 и х2, но наличие такой связи корректировки описания отношения путем учета последовательной взаимосвязи х1, х2, и х2,у, как косвенного маршрута воздействия х1 на у в числителе, а также учета совместного разброса воздействий х1 и х2 в виде cov2 в знаменателе. По аналогии можно выделить и истинное значение а2 , несвязанного с воздействием х1, т. е. параметр а2.

Отмеченные особенности взаимосвязи воздействующих факторов х1 и х2 находят выражение и в точностных оценках искомых параметров модели, оцениваемой в выборочной совокупности как а0, а1 и а2

33.Множественная регрессия в нелинейных моделях (ф-ия спроса, производственная ф-ия Кобба-Дугласа)

Ф-ия спроса: y = axbpgv, где у – расходы на товар, р – относительная цена, v – случайный член. Ее можно преобразовать в форму, к-ая является линейной по параметрам:

Logy = loga+blogx +glogv, где b-эластичность спроса по доходу, g-эластичность спроса по цене.

Logy = 2,82+0,64logx-0,48logp, 0,64-эластичность спроса по доходу, 0,48 – эластичность спроса по цене.

Производственная ф-ия Кобба-Дугласа:

В качестве ф-ии рассматривается доход предприятия (у) в зависимости от вложенного капитала (К) и затрат труда (L). Согласно исследованиям изменение ф-ии у и воздействий К и L имели постоянную пропорцию в случае логарифмирования всех указанных переменных. В результате была cформирована ф-ия вида: Y=AKaL1-a, А –свободный параметр

В соответствии с указанной производственной ф-ии изменение дохода Y сопряжено в т. ч. с изменениями соотношений затрат труда и капитала соответственно через коэффициенты (1-a) и a. На основе макроэкономической оценки коэффициент детерминации данной ф-ии составил 0,63, значит 37% событий остались необъясненными (R2=0,63)

В последствии производственная ф-ия Кобба-Дугласа была доработана и представлена в виде:

Y=AKaLb

При этом совокупность a+b м. б. >1, =1 или <1. R2=0,96. Коэффициент детерминации уточненной производной ф-ии 0,96 по тем же исходным данным (т. е. только 4% осталось необъясненными)

Свойства:

1.Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна соответственно a и b, т. к.

Величина a представляет собой эластичность выпуска предприятием продукции по капиталу, т. е при увеличении затрат капитала на 1%, доходы предприятия возрастут на a%.

Аналогично можно представить эластичность выручки по затратам труда (b):

Т. е. если затраты труда возрастут на 1%, то выручка возрастет на b%.

2.Эффект от масштабов пр-ва Очевидно, что величина a и b находится в пределах от 0 до 1. Тот факт, что a и b>0 связан с экономическим смыслом задачи, согласно которому рост затрат труда или капитала приведет к росту выручки. Ограничения параметров a и b сверху величиной 1 связано с тем, что существует эффект от масштабов пр-ва, согласно к-му скорость роста выпуска прод-ии ограничена, как с точки зрения вложения капитала, так и с точки зрения затрат труда, тем, что при неизменности всех прочих факторов выпуск прод-ии не может расти интенсивнее, чем отдельно взятые затраты труда или капитала.

Однако, если рассмотреть затраты труда и капитала совместно, то существует несколько вариантов реал-ии эффекта от масштабов пр-ва.

Предположим, что решено увеличить затраты труда и капитала вдвое (К=2К, L=2L), тогда рассчитаем результат, к-ый будет сопутствовать этому удвоению

1)a+b=1, то Y=21Y=2Y удвоение К и L приводит к удвоению Y. При a+b=1 наблюдается равенство темпов роста труда и капитала с 1 стороны и доходов предприятия с другой, т. е увеличение затрат в 2 раза, приводящее к увеличению выручки также в 2 раза характеризует т. н. полностью экстенсивный путь развития, когда увеличение доходов происходит исключительно за счет роста затрат и нет эффекта интенсификации (постоянный эффект от масштабов пр-ва, Y увеличивается в той же пропорции что и К и L).

2) a+b>1, a+b=1,2, тогда Y=21,2Y=2,3Y Т. о. увеличение затрат в 2 раза приводит к тому, что результат в виде дохода возрастает в 2,3раза, т. е растет быстрее, чем затраты, это означает наличие положительного эффекта от масштабов пр-ва и демонстрирует эффект интенсификации, как повышение скорости роста результатов деятельности над скоростью роста вложений. Это характерно для перспективных развивающихся предприятий. (Если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в больше пропорции)

3) a+b<1, a+b=10,8. тогда Y=20,8Y=1,7Y Эта ситуация демонстрирует полный экстенсивный путь развития предприятия с отрицательным эффектом интенсификации и соответственно с отрицательным эффектом от масштабов пр-ва, т. е. при росте затрат в 2раза, доход увеличивается только в 1,7 раза. Ситуация когда скорость роста затрат выше скорости роста дох-ов характерна кризисным предприятиям.

3.Прогнозируемые доли производственных факторов Ставка з/п (w) равна предельному продукту труда:

Значит общая сумма з/п (wL)=bY, а доля труда в общем выпуске прод-ии (wL/Y) = b

Норма прибыли (р) :

Общая прибыль (рК) = aY, доля прибыли = a.

Т. о. производственная ф-ия представляет собой каким образом могут относится затраты как сумма капитальных и трудовых затрат и результат как выручка в зависимости от сочетаний значений эластичности выручки по капиталу (a) и эластичности выручки по труду (b).

54.Модель адаптивных ожиданий, модель гиперинфляции

«Процесс адаптивных ожиданий» заключается в процедуре корректировки ожиданий, когда в каждый период времени реальное значение переменной сравнивается с ее ожидаемым значением. Если реальное значение оказывается больше, то значение, ожидаемое в следующем периоде, корректируется в сторону его повышения, если меньше, то в сторону уменьшения.. Предполагается, что размер корректировки пропорционален разности между реальным и ожидаемым значением переменной. Т. о. если х-переменная, а хte - ее значение, ожидаемое в период t, то (1)

Или: (2) Здесь значение переменной, ожидаемое в следующие период времени, формируется как взвешенное среднее ее реального и ожидаемого значений в текущем периоде. Чем больше величина l, тем быстрее ожидаемое значение адаптируется к предыдущим реальным значениям переменной.

Предположим, что зависимая переменная yt связана с ожидаемым значением объясняющей переменной х в году t+1. yt=a+bxt+1e+ut (3) Величина у выражена через xt+1e, к-ая не наблюдаема и ее надо заменить наблюдаемыми переменными, т. е. реальными текущими или прошлыми значениями переменной х и может еще прошлым значением у. Если (2) выполняется для периода t, то оно должно выполняться и для t-1:…………………………….. Выберем в этом выражении позапрошлый период и будем использовать полученный результат для исключения xt+1e ценой введения хet-2 Повторив это бесконечно много раз получим:,…………………

В итоге модель адаптивных ожиданий сводится к утверждению, что ожидаемое значение переменной является взвешенным средним ее прошлых значений с геометрически убывающими весами. Подставив полученное выражение в (3) и заменив (1-l) на d мы имеем:

(4)

Модель гиперинфляции Кейгана:

Одним из факторов, определяющих спрос на денежные остатки, являются издержки их хранения, вызываемые обесцениванием наличности в реальном выражении. Предположив, ч то этот фактор будет главным при высоком уровне инфляции, Кейган исследовал эту зависимость для 7 периодов гиперинфляции с помощью модели: (5)

Где М-индекс объема денег в обращении, Р – индекс цен, log(M/P) –логарифм спроса на реальные денежные остатки, Е – ожидаемый уровень инфляции, a и g - неизвестные параметры. Т. к. переменная Е не наблюдаема, Кейган дополнил модель выражением для адаптивных ожиданий: (6)

Которое определяет ожидаемое в период t изменение уровня инфляции DЕt+1 как долю от величины разности между реальным текущим уровнем инфляции Сt и его предсказанным значением Еt

C помощью формулы (6) величина Еt+1 м. б. выражена через текущие и прошлые значения С:

Подставив это выражение в (5) получим следующую регрессионную модель:

Полученные результаты означают: 1) спрос на реальные денежные остатки сокращается в пропорции = 4,68 прироста ожидаемого уровня инфляции 2)текущие ожидания корректируются каждый месяц только на 1/5 от величины разницы между реальным и ожидаемым уровнем инфляции.