Методические указания по изучению темы 5. Интеграл и его приложения

Методические указания по изучению темы 5.

Интеграл и его приложения

1. Неопределенный интеграл и его свойства

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F¢(x) = f(x)

(или d F(x) = f(x)dx ).

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(x) + C совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

, если (F(x) + C)¢ = f(x).

Здесь f(x)dx – подынтегральное выражение;

F(x) – подынтегральная функция;

x –переменная интегрирования.

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

.

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

.

Таблица простейших интегралов.

1.. 7. .

2. . 8. .

3. . 9. .

4. . 10. .

5. . 11. .

6. . 12. .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки , где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной .

Формула интегрирования по частям: ,

где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от х.

2. Определенный интеграл и его свойства

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.

Выберем на каждом элементарном отрезке [xk-1; xk] произвольную точку xk и обозначим через Dxk длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] называется сумма вида

. (1)

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы (1) при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

. (2)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то предел (2) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на элементарные отрезки и от выбора точек xk.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b - верхним;

отрезок - отрезком интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если интегрируемая на отрезке функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной

трапеции aABb, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс (ОХ) и

прямыми х = а и х = b, т. е.

Основные свойства определенного интеграла.

1) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

2) При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

3) Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

, где a<c<b.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

.

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Формула Ньютона – Лейбница вычисления , где F(x) – первообразная функции f(x).

Методические указания к выполнению задания 8

(Неопределенный интеграл)

Литература: [5, гл. 11, § 1,2]

Найдите интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение:

1) .

2) .

3) .

Методические указания к выполнению задания 9

(Вычисление площадей плоских фигур)

Литература: [5, гл. 12, § 1-3]

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x), двумя прямыми x = a и x = b и отрезком оси абсцисс, вычисляется по одной из следующих формул:

, если на отрезке ; (1)

, если на отрезке ; (2)

, если конечное число (3)

раз меняет знак на отрезке .

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми и и двумя прямыми и , где на отрезке , находится по формуле

. (4)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой .

В рассматриваемом случае функция на отрезке [0; 2] меняет знак, а именно на отрезке [0; 1] и на отрезке [1; 2] .

 

y

 

-x

x = 2

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):

(кв. ед.).

Методические указания к выполнению задания 10

(Методы приближенных вычислений определенных интегралов)

Литература: [6, гл.4, § 3.2; 7, ч.2, гл. 9, § 3]

В тех случаях, когда вычисление интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, используются методы приближенного интегрирования. В методе прямоугольников площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей n прямоугольников:

.

В методе трапеций площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей n обычных трапеций:

.

С увеличением числа n точек деления отрезка увеличивается точность вычисления искомого интеграла, однако при одном и том же значении n формула трапеций дает лучшее приближение.

Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций с тремя десятичными

знаками.

Разделим отрезок [0; 1] на n = 10 частей.

Тогда .

Составим таблицу значений подынтегральной функции:

	0
	0.01
	0.04
	0.09
	0.16
	0.25
	0.36
	0.49
	0.64
	0.81
	1

По формуле прямоугольников получим:

.

По формуле трапеций получим:

.

Примечание: значение тригонометрических функций можно брать из таблиц [4]

или вычислять на калькуляторе.