Распределение “свободных” электронов по энергиям

0 Распределение “свободных” электронов по энергиям.

Согласно модели Зоммерфельда, нам удалось выразить связь энергии электронов с их волновым вектором:

e = (h2/2m)×k2 (1)

где k квантуется (k = 2p/L)

и мы имеем: e = (h2/2m)×(2p/L)2×i2 (2)[1])

Здесь L – линейный размер образца,

i – целое число: i = 0, 1, 2, …

Видно, что так называемые свободные электроны могут принимать различные значения энергии.

В выражениях (1) и (2) отражены вовсе не реальные значения энергии, которыми обладают электроны. В названых формулах обозначены те квантовые состояния с указанной в них значениях энергии, которые электронам принимать дозволенно, в то время как все иные значения энергии являются запрещенными.

Если квантовому состоянию отвечает не та энергия, что в (2), то такое квантовое состояние занимать электронам запрещено.

Если квантовое состояние отвечает энергии, указанной в формуле (2), то электроны это квантовое состояние в принципе занять могут (если свободные электроны для этого найдутся).

Вопрос о том, какое число дозволенных квантовых состояний приходится на каждое значение энергии, мы пока не обсуждали. Именно на этот вопрос мы и попытаемся найти здесь ответ.

А именно:

Сколько квантовых состояний имеется для энергии e = (h2/2m)×(k)2?

А, значит, и какое максимальное число электронов может иметь такую энергию?

Именно это и называется плотностью числа состояний di/de для интервала энергий e ¸ e ± de.

Ашкрофт и Мермин называют это «величину плотностью уровней в расчете на единицу объема» и нормируют на энергию Ферми. Обозначается эта величина (di/de) в разных книгах по-разному:

di/de = g(e) º r(e) º D(e) º N(e).

Давайте будем пользоваться обозначением g(e) и найдем эту величину.

Для этого нам необходимо знать:

Объем в фазовом k-пространстве, с одной и той же энергией e: VФ(e).

Объем в фазовом k-пространстве, занимаемый одним квантовым состоянием: V1.

Тогда, поделив объем, относящийся к энергии e, на объем, занимаемый одним квантовым состоянием, узнаем, сколько в образце квантовых состояний с энергией e. Если полученное значение поделить на объем образца Vобр, то можно узнать, какова плотность разрешенных квантовых состояний в единице объема образца. Поскольку, согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии может находиться 2 электрона со спиновым квантовым числом ± ms, необходимо помножить полученное значение на 2.

В результате получим величину числа состояний в интервале e ¸ e ± de:

i(e) = 2×VФ(e)/(V1×Vобр)

Теперь сталось найти VФ(e), V1 и Vобр

xp► Найдем объем в фазовом k- пространстве VФ(e).

Решим задачу для простейшего случая щелочных металлов, имеющих сферическую поверхность Ферми и в качестве носителей тока – только электроны проводимости (дырок у щелочных металлов нет).

Тогда в k-пространстве любой одинаковой энергии e буде отвечать сферическая поверхность с площадью 4pk2, а слой с толщиной dk будет иметь объем, равный 4pk2×dk. Поскольку мы знаем, как k связан с энергией e, то можно соотнести этот объем с энергией e в интервале e ¸ e ±de.

Объем этого слоя, равный 4pk2×dk, и соответствует искомой величине VФ(e).

xp► Найдем объем, занимаемый одним квантовым состоянием V1. Его можно узнать, имея в виду принцип неопределенности, выражаемый как Dx×Dp ³ h.

Найдем для нашего случая Dx и Dp.

Местонахождение электрона проводимости определяется размерами образца. Значит, Dx = Lx (0 £ x £ Lx). А Dp = h×Dk. В свою очередь, Dk = 2p/Lx.

Отсюда следует, что минимальный объем, занимаемый одним квантовым состоянием, равен V1 = (2p/LxLyLz)3.

xp► Объем образца с размерами Lx Ly Lz равен: Vобр = Lx´Ly´Lz

Подставим полученные значения в i(e) = 2×VФ(e)/V1Vобр:

С учетом того, что

k2 = (2m/h2)×e; dk = (1/2)×(2m/h2)1/2×e1/2×de;

VФ = 2×4p×k2×dk = 2×4p×(1/2)×(2m/h2)3/2×e1/2×de = 4p×(2m/h2)3/2×e1/2×de;

V1 = (2p/LxLyLz)3 = 8p3/Vобр;

имеем i(e) = {[4p×(2m/h2)3/2×e1/2]/[(8p3/Vобр)×Vобр]}×de

Окончательно получаем:

g(e) = di/de = 4p×(2m/h2)3/2×e1/2/8p3 = (1/2p2)×(2m/h2)3/2×e1/2

Итак, давайте хорошенько запомним это очень полезное выражение для плотности числа состояний электронов:

g(e) = di/de = (1/2p2)×(2m/h2)3/2×e1/2 J

Но надо еще не забыть, что вывели мы его для щелочных металлов, где:

*  поверхность Ферми сферическая;

*  зависимость e от k квадратичная: e = (h2/2m)×k2;

*  в качестве носителей заряда выступают только электроны проводимости, а дырок нет.

Как же быть с остальными веществами, где эти условия не выполняются? Для чего мы старались и для чего запоминать этот пусть приятный, но частный случай?

Оказывается, формула полезна не только для щелочных металлов.

Дело в том, что у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны зависимость e от k очень близка к квадратичной: e = (h2/2m)×k2. Как ни странно, но выражение J применимо к полупроводникам куда лучше, чем к металлам, если они не являются щелочными. В полупроводниках концентрация носителей заряда столь мала, что носители заполняют энергетические уровни возле самого дна зоны проводимости и потолка валентной зоны полупроводника. Благодаря этому выполняется квадратичная зависимость e от k. В.Г.

8(2) ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ (Шалимова, с.228)

Как следует из равенства (7-29), в случае монополярной генера­ции носителей заряда возникает объемный заряд, который со вре­менем уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной вре­мени Тц. Другими словами, объемный заряд, созданный избыточ­ной концентрацией основных носителей заряда, в результате тока проводимости исчезнет в среднем через Тц. Поскольку максвелловское время релаксации Тц для полупроводников достаточно малая величина, электронное облако избыточных носителей заряда за это время не может сместиться на значительное расстояние но отношению к нонам примеси, а поэтому повышенная концентра­ция носителей заряда будет в той же области полупроводника, где происходит их генерация. Следовательно, монополярная гене­рация и рекомбинация носителей заряда имеют место в одной и той же области примесного полупроводника.

7-4. ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ

В зависимости от механизма различают три вида рекомбинации:

Ø межзонная рекомбинация,

Ø рекомбинация через локальные центры и

Ø поверхностная рекомбинация.

Межзонная рекомбинация осуществляется при переходе свобод­ного электрона из зоны проводимости в валентную зону, что сопро­вождается уничтожением свободного электрона и свободной дырки. Этот процесс совершается при соблюдении законов сохранения энергии и квазиимпульса. Если энергия и квазиимпульс электрона в зоне проводимости (до рекомбинации) были Е' и р' а после ре­комбинации они равны соответственно Е и р, то законы сохранения энергии и квазиимпульса запишутся в виде

E' = E + DE; p' = p + Q. (7-31)

Здесь Q – квазиимпульс, передаваемый электроном кристалли­ческой решетке, а DE – энергия, которая выделяется при про­цессе рекомбинации.

В зависимости от того, каким образом расходуется энергия DE, межзонная рекомбинация разделяется на три типа:

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, излу­чается в виде кванта света, рекомбинация называется излучательной или фотонной;

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, пере­дается решетке, т. е. расходуется на образование фононов, реком­бинация называется безызлучательной или фононной;

если в акте рекомбинации выделяющаяся энергия передается третьему свободному носителю заряда, рекомбинация называется ударной или рекомбинацией Оже.

Ре­комбинация через локальные центры. В полупроводниковом кристалле всегда имеются дефекты, энер­гетические уровни которых находятся в запрещенной зоне. Поэтому наряду с межзонной рекомбинацией может идти процесс ре­комбинации через локальные центры. Дефект решетки, способный захватить электрон из зоны, проводимости и дырку из валентной зоны, осуществляя их рекомбинацию, называется рекомбинационной ловушкой. В этом случае исчезновение пары – электрона про­водимости и дырки проводимости – осуществляется следующим образом. Нейтральная рекомбинационная ловушка захватывает электрон из зоны проводимости, который затем через некоторое время перейдет в валентную зону.

В зависимости от способа расхо­дования энергии DE при переходе электрона на более низкий энер­гетический уровень рекомбинация через рекомбинационные ловушки также может быть фотонной или фононной.

Рекомбинация носителей заряда, идущая на поверхности полу­проводника, называется поверхностной рекомбинацией. Поверхност­ная рекомбинация происходит через поверхностные рекомбинацион­ные ловушки и может протекать с излучением и без излучения света.

Линейная и Квадратичная релаксация (Шалимова, с.224)

7.2. БИПОЛЯРНАЯ СВЕТОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

Рассмотрим полупроводник, в котором в результате поглощения света создается некоторая избыточная концентрация электронов и дырок. Генерацию носителей заряда, при которой в результате возбуждения возникают пары – электрон и дырка, будем называть биполярной генерацией. В этом случае поглощение кванта света сопровождается разрывом валентной связи и количество генерируе­мых избыточных электронов и дырок одинаково:

Dn = Dp (7-13)

Параллельно с процессом генерации идет процесс рекомбина­ции, и в стационарном состоянии число электронов и дырок, воз­буждаемых за единицу времени в результате разрыва валентных связей, равно числу электронов и дырок, рекомбинирующих за это же время. Поскольку неравновесные носители заряда через очень малое время становятся физически неотличимыми по энергии от равновесных, можно считать, что они имеют тот же коэффициент рекомбинации gr, что и равновесные носители заряда.

После выключения возбуждающего света концентрации элек­тронов и дырок уменьшаются в результате рекомбинации. При этом скорость убывания числа свободных электронов и дырок опреде­ляется разностью скоростей рекомбинации и тепловой генерации

–(dn/dt)r = –(dp/dt)r = gr×np – G0. (7-14)

(Здесь G0 – число генерируемых электронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду, gк – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициен­том рекомбинации.)

Принимая во внимание соотношения (7-1), (7-2), (7-3) и (7-13), равенство (7-14) можно переписать следующим образом:

–(dn/dt)r = gr×(np – n0p0) = gr×(n0 + p0 + Dn)×Dn. (7-15)

Учитывая, что в случае малого уровня возбуждения Dn << n0 + p0, получаем:

(dn/dt)r = –gr×(n0 + p0)×Dn = – gr×(n0 + p0)×(n – n0). (7-16)

{Рекомбинация называется линейной, так как ее скорость линейно зависит от концентрации избыточных носителей. Любопытно, что скорость рекомбинации пропорциональна и концентрации тепловых носителей}

Введем обозначение

t = 1/gr×(n0 + p

Тогда уравнение (7-16) примет вид:

(dn/dt)r = –(n – n0)/t = –Dn0/t, откуда

Dп = Dn(0)×exp(–t/t), (7-19)

где Dn(0) – избыточная концентрация электронов в момент вы­ключения возбуждающего света.

Таким образом, в случае малого уровня биполярной генерации избыточная концентрация электронов и дырок после прекращения возбуждения уменьшается по экспоненциальному закону и за время t число их в результате рекомбинации убывает в e раз.

Следова­тельно, t представляет собой среднее время существования

избы­точной концентрации электронов и дырок

и называется временем жизни неравновесных носителей заряда.

Для собственного полупро­водника

скорости убывания числа электронов и дырок равны

и ве­личина t определяет время жизни электронно-дырочных пар.

Зна­чение объемного времени жизни неравновесных носителей заряда в зависимости от типа полупроводникового материала и от степени его чистоты может изменяться в очень широких пределах – от 10–2 до 10–8 c.

Поскольку величина t достаточна велика, свобод­ные электроны и дырки, диффундируя из приповерхностной об­ласти, где их концентрация повышена, в объем полупроводника, за время жизни успеют пройти большое расстояние. Следовательно, в случае биполярной генерации область генерации носителей заряда и область их рекомбинации пространственно не совпадают.

В случае большого уровня биполярного возбуждения, когда Dn >> n0 + p0, из (7-15) найдем, что

(dn/dt)r = –gr×(Dn)2, (7-20)

то есть скорость рекомбинации носителей заряда зависит от Dn no квадратичному закону. {И рекомбинация называется линейной.}

Разделяя переменные, запишем:

dn/(Dn)2 = –gr×dt, (7-21)

откуда

Dn = Dn(0)/[1 + gr×Dn(0)×t]. (7-22)

Из равенства (7-22) следует, что при квадратичной рекомбина­ции избыточная концентрация носителей заряда уменьшается по гиперболическому закону.

Если ввести мгновенное время жизни tмгн, то в случае квадра­тичной рекомбинации согласно уравнению (7-20)

(dn/dt)r = –Dn/tмгн (7-23)

и

tмгн = 1/grDn, (7-24)

то есть tмгн зависит от концентрации избыточных носителей заряда и в связи с этим является переменной величиной. Однако в каждый момент времени tмгн имеет определенный смысл, являясь мгновенным временем жизни носителей заряда. В силу этого при большом уровне инжекции имеем дело с мгновенным временем жизни, которое согласно уравнению (7-23) равно:

tмгн = –Dn/(dDn/dt). (7-25)

Механизмы рекомбинации

Рассмотрим некоторые наглядные представления о механизме рекомбинации.

По виду передачи энергии рекомбинирующих частиц различают три основных типа рекомбинации.

1. Рекомбинация называется излучательной, или фотонной, если энергия рекомбинирующих частиц выделяется в виде энергии фотона.

2. Если энергия частицы передается решетке (фононам), то реком­бинация называется безызлучательной, или фононной.

3. Одним из видов безызлучательной рекомбинации является ударная ионизация (процессы Оже), когда энергия рекомбинирую­щих частиц передается третьей частице, которая благодаря этому становится «горячей». «Горячая» частица в результате ряда столкно­вений передает свою энергию фононам.

4. Кроме этих трех основных механизмов, энергия рекомбинирую­щих частиц может передаваться электронному газу (плазменная рекомбинация). Если электрон и дырка образуют в качестве про­межуточного состояния экситон, то такая рекомбинация носит назва­ние экситонной.

Фотонная, фононная и рекомбинация Оже могут протекать по-разному в зависимости от механизма перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону.

Если частицы рекомбинируют в результате непосредственной встречи электрона и дырки, то такая рекомбинация называется

8 (1) РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА (Шалимова, с.221)

7.1. РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА

Рассмотрим донорный полупроводник, находящийся в состоя­нии термодинамического равновесия. В результате тепловой ге­нерации электроны с донорной примеси переходят в зону проводи­мости.

При достаточно высоких температурах будет существенным переброс электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводи­мости. На рис. 7-1 стрелками пока­заны переходы электронов при теп­ловом возбуждении.

Свободные носи­тели заряда, возникающие в резуль­тате термической генерации и находящиеся в тепловом равновесии, с кристаллической решеткой, назы­ваются равновесными.

На рис.7-1 изображены плотность квантовых состояний N(Е) в зоне проводимости и валентной зоне, функция распределения Ферми–Ди­рака f0(Е) и концентрация равновес­ных электронов n0 и дырок p0, кото­рые занимают состояния вблизи краев соответствующих зон (заштрихован­ные области).

Одновременно с генерацией сво­бодных носителей заряда идет про­цесс рекомбинации: электроны возвращаются в свободные состоя­ния в валентной зоне, в результате чего исчезают свободный элек­трон и свободная дырка. В условиях термодинамического равнове­сия эти процессы полностью взаимно уравновешиваются. Обозна­чим через G0 число генерируемых, а через R0 – число рекомбини­рующих электронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду. Вероятность рекомбинации пропорциональна произведению концентраций свободных носителей заряда, поэтому

R0 = gr×n0×p0. (7-1)

Здесь gк – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициентом рекомбинации.

Для равновесного со­стояния полупроводника справедливо равенство

G0 = R0, (7-2)

которое является выражением принципа детального равновесия.

Помимо тепловой генерации имеются другие механизмы, при­водящие к возникновению свободных носителей заряда. Напри­мер, они могут образоваться при облучении полупроводника све­том, за счет разрыва валентных связей в сильных электрических полях или в результате инжекции с помощью p-п перехода. Во всех этих случаях возникает некоторая концентрация электронов п и дырок p, которая отличается от термодинамически равновесной. Подвижные носители заряда, не находящиеся в термодинамическом равновесии как по концентрации, так и по энергетическому распре­делению, называются неравновесными носителями заряда, а их концентрация п, и p называется неравновесной концентрацией. Из­быток неравновесной концентрации носителей заряда Dп, и Dp в по­лупроводнике по сравнению с равновесной п0, p0 называется избыточ­ной концентрацией носителей заряда.

При генерации, например при поглощении света, носители за­ряда могут иметь кинетическую энергию, значительно превышаю­щую среднюю тепловую энергию равновесных частиц. В резуль­тате рассеяния на дефектах кристаллической решетки носители заряда довольно быстро передают ей свою избыточную энергию.

Пусть энергия генерированных светом электронов была в зоне про­водимости примерно 1эВ. Рассеиваясь на длинноволновых фононах, они за каждое столкнове­ние будут передавать решетке энер­гию порядка 6×10–4 эВ (см. с. 165). Для рассеива­ния своей избы­точной энергии избыточные электроны должны совершить около 1600 столкновений с акустическими фононами. Так как средняя длина свободного пробега электронов порядка 10–6 см, а их тепло­вая скорость при комнатной температуре составляет приблизи­тельно 107 см/с, при этом среднее время между двумя столкнове­ниями равно t » 10–13 с, то уже через 1,6×10–10 с избыточные электроны приобретут температуру кристаллической решетки и не будут отличаться от равновесных носителей заряда. Поэтому рас­пределение по энергиям неравновесных и равновесных носителей заряда будет одинаковым. Этот процесс сводится к тому, что не­равновесные электроны, рассеивая свою избыточную энергию, как бы «опускаются» к нижнему краю зоны проводимости, а неравно­весные дырки, рассеивая избыточную энергию, «поднимаются» к верхнему краю валентной зоны. Если при этом концентрация неравновесных носителей заряда мало отличается от равновесной, можно считать, что энергия кристалла практически не изменяется, а значит, не меняется температура кристалла и, следовательно, не меняется концентрация равновесных носителей заряда. В этом слу­чае общее количество электронов и дырок будет равно соответст­венно:

n = n0 + Dn;

p = p0 + Dp. (7-3)

Стационарную концентрацию неравновесных электронов п можно выразить с помощью формулы, аналогичной (4-40),

n = n0 + Dn = Ecò¥Pe(E)N(E)dE, (7-4)

где Pe(E) – функция распределения для неравновесных электро­нов, отличная от равновесной функции распределения f0(E) и стремящаяся к ней при прибли­же­нии неравновесной системы к со­стоянию термодинамического равновесия. Это выражение можно представить в виде, аналогичном соотношению (4-42), введя ква­зиуровень Ферми для электронов в неравновесном со­стоянии Fn так, чтобы выполнялось условие

n = Nc×F1/2(hn) (7-5)

где

hn = (Fn – Ec)/kT (7-6)

есть приведенный квазиуровень Ферми для электронов.

Концентрацию неравновесных электронов в невырожденном по­лупроводнике с учетом равенств (4-65), (4-66) и (4-69) можно пред­ставить в виде

n = Nc×exp(hn) = n0×exp(hn – h) = n0×exp(hn – hi). (7-7)

Аналогично концентрацию неравновесных дырок можно выра­зить следующим образом:

p = p0 + Dp = –¥òEvPh(E)N(E)dE, (7-8)

где

hp = (Fp – Ev)/kT (7-9)

есть приведенный квазиуровень Ферми для дырок.

При отсутствии вырождения, учитывая формулы (4-67) и (4-69), можно написать:

p = Nv×exp(–hp – ei) = p0×exp(h – hp) = ni×exp(hi – hp). (7-10)

Таким образом, в неравновесном состоянии уровень Ферми как бы расщепляется на два квазиуровня – для электронов Fn и для дырок Fp (рис. 7-2).

Произведение концентраций электронов и дырок для неравно­весного состояния отличается теперь от его значения для равновес­ного состояния:

n×p = n0×p0×exp(hn – hp) = ni2×(hn – hp). (7-11)

Расстояние между приведенными уровнями Ферми (Fn – Fp) характеризует отклонение системы от состояния термодинамического равновесия:

np/n0p0 = np/ni2 = exp(hn – hp) (7-12)

Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок неравновесном состоянии. При этом, чем сильнее различаются квазиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произведение концентраций неравновесных носителей заряда от произведения равновесных концентраций.

________________________________________________________________

Не могу не вставить здесь еще и Киреева.

Раздел: § 65. МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ. ЛИНЕЙНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ

Неравновесное состояние свободных носителей заряда может быть описано некоторой функцией распределения f(r, k,t), вид которой был найден в четвертой главе для случая, когда отклонение от равно­весного состояния вызывается полями E и B, градиентами хими­ческого потенциала F (энергии Ферми) и температуры.

Неравновес­ная часть функции распределения f(1) описывает перераспределе­ние частиц по состояниям в зоне Бриллюэна при сохранении числа частиц. При втором типе неравновесных состояний, когда концентра­ция частиц меняется, характер изменения функции распределения должен быть другим. Предположим, что для описания неравновес­ных состояний можно воспользоваться функцией Ферми-Ди­рака с другими значениями входящих в нее параметров.

Системы, в которых вероятность нахождения частиц в верхних состояниях больше, чем в нижних, называют системами с инверсной населенностью. Для их описания необходимо считать температуру величиной отрицательной. Системы с отрицательными температу­рами используются для создания квантовых генераторов и усили­телей.

Для неравновесных систем с нормальным распределением частиц по состояниям используется функция Ферми–Дирака (или функция Больцмана), в которой энергия Ферми F заменяется некоторой вели­чиной F*, называемой квазиуровнем Ферми. Квазиуровень Ферми F* можно ввести как величину, определяющую нормальное распределение частиц по состояниям в системах с неравновесной концентрацией носителей заряда. Величину F* можно определить из условия нор­мировки аналогично тому, как это было проделано для уровня Ферми:

n = (2Nc/p1/2)Ф1/2(x*), x* = (F* – Ec)/kT; (65.1)

n = (2Nv/p1/2)Ф1/2(h*), h* = (Ev – F*)/kT; (65.2)

Для невырожденных полупроводников можем записать

n = Ncexp(Fn* – Ec); p = Nvexp(Ev – Fp*) (65.3)

и

np = NcNvexp(–DE0/kT)×exp[(Fn* – Fp*)/kT] = ni2×exp[(Fn* – Fp*)/kT]. (65.4)

Как видно из (65.4), квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновесных системах различны§). Чем сильнее различаются ква­зиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произ­ведение неравновесных концентраций от произведения равновесных концентраций.

______________

§) Прошу обратить внимание на столь любимую студен­тами формулировочку:

«Как видно из формулы (в данном случае из 65.4) квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновес­ных системах различны».

Заметили, что это стало известно именно из формулы?!

Сначала он ввел два разных уровня Ферми с потолка «из условия нормировки», а именно: Fn* – уровень Ферми для электронов и Fp* – уровень Ферми для дырок, вставил это в формулы безо всякого объяснения и обоснования, после чего из этих же формул делает мудрый вывод, что уровни Ферми различны.

Здорово, правда?

Шалимова, правда, тоже себя не утруждает объяснением, почему уровни различны. Но она и не говорит, что разницу выудила “из формул”. В.Г.

НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА

Неравновесные носители заряда (Бонч-Бруевич, с.244)

… При наличии внешних воздействий на полупроводник к тепловым перехо­дам v12 добавляются переходы v12' нетеп­ловой природы, и при этом частота обрат­ных переходов v21 тоже изменяется. Со­стояние полупроводника в таких усло­виях мы будем называть термодинами­чески неравновесным. При этом принцип детального равновесия, вообще говоря, уже не выполняется.

При нарушении термодинамического равновесия концентрации электронов и дырок в зонах n и p изменяются по сравнению с их равновесными значениями n0 и p0, то есть в зонах появляются неравновесные носители заряда с концентрациями

dn[2]) = n – n0 и dp = p – p0.

При этом изменяются и концентрации связанных носителей nt и pt.

Сказанное справедливо, конечно, и для металлов. Однако кон­центрация электронов в металлах гораздо больше, чем в полупро­водниках, и ее относительное изменение обычно ничтожно мало.

Отметим, что уже в гл. VI мы имели дело, по существу, с иерав­новесными состояниями, так как наличие тока нарушает термоди­намическое равновесие (ср. §VI.3). Однако там можно было счи­тать, что по отношению к концентрации носителей заряда равнове­сие сохраняется. Это значит, что для данного полупроводника при заданной температуре установившаяся концентрация электронов определяется только значением электростатического потенциала (ср., например, §VI.12). Теперь мы рассмотрим явления, в которых нарушается равновесие и по концентрациям. Именно такие состоя­ния мы будем называть в дальнейшем неравновесными.

§ 2. Время жизни неравновесных носителей заряда

В настоящей главе мы будем рассматривать поведение неравиовес­ных носителей заряда только в объеме полупроводника, отвлекаясь от возможного влияния его поверхности. Это можно сделать, если отношение поверхности к объему образца достаточно мало (строго говоря, для бесконечно протяженного полупроводника). Однако основные понятия и соотношения, вводимые в настоящей главе. сохраняются и в тех случаях, когда процессами генерации и реком­бинации на самой поверхности пренебрегать нельзя. Влияние по­верхности на неравновесные состояния будет рассмотрено дополни­тельно в гл. X, где будут выяснены и условия, при которых этим влиянием можно пренебречь.

Положим, что под влиянием внешнего воздействия в каждой единице объема полупроводника в единицу времени возникает gn электронов проводимости и, соответственно, gp дырок в валентной зоне. Темпы генерации gn и gp будем считать сначала одинаковыми по всему объему, хотя и не обязательно равными друг другу. Пусть, далее, Rn есть темп обратного процесса исчезновения свободных электродов вследствие процессов рекомбинации с дырками (свобод­ными и связанными на локальных уровнях энергии) и, соответст­венно, Rp — темп рекомбинации свободных дырок. Если в полу­проводнике нет электрического тока, то изменение во времени неравновеспых концентраций электронов и дырок в зонах определя­ется уравнениями

ddn/dt = gn — Rn, ddp/dt = gp — Rp (2.1)

Подчеркнем, что gn и gp обозначают генерацию, обусловленную только внешними воздействиями, и не включают переходы, вызван­ные тепловвым движением. Последние мы учитываем в величинах Rn и Rp, которые поэтому представляют результирующие темпы рекомбинации, то есть разности между темпом захвата носителей из соответствующей зоны и темпом обратной тепловой генерацией носи­телей в зону:

Rn = rn — gnT, Rp = rp — gpnT. (2.2)

Для количественного описания кинетики неравновесных элек­тронных процессов широко применяют понятия среднего времени жизни неравновесных электронов в зоне проводимости tn и. соот­ветственно, дырок в валентной зоне tp, которые определяются формулами

Rn = (n — n0)/tn, Rn = (p —p0)/tp. (2.3)

Или иначе: 1/tn есть вероятность исчезновения одного избыточного электрона из зоны проводимости в единицу времени вследствие рекомбинации (со свободными и связанными дырками). Аналогично, 1/tp есть вероятность рекомбинации одной избыточной дырки, тоже за единицу времени.

Так как tn и tp в формулах (2.2) по физическому смыслу не могут иметь слагаемых, не зависящих от n и, соответственно, p, то из

сравнения формул (2.2) и (2.3) следует, что

gn = n0/r^ g^=.p0/ (2.4)

Следовательно, времена Тд и Тр определяют не только темп суммарной рекомбинации, но и темп тепловой генерации электронов и дырок. Пользуясь понятиями времен жизни, уравнения кинетики (2.2) для однородного образца без тока можно записать в виде

d^n 6п dbp 6р

•dT-en-^ w-gp-^ <2-5)

Стационарные концентрации неравновесных носителей заряда. устанавливающиеся после длительного воздействия внешней гене­рации, равны

(6^=g^, (6p)s-gp^. (2.6)

Величины Хп и Гр зависят от физических особенностей элементар­ных актов рекомбинации электронов и дырок. При этом Тл и т^, вообще говоря, могут сами зависеть от неравновесных концентраций 6д и 6р, а также от температуры. Поэтому Тд и Гр не являются харак­теристиками данного полупроводника, но зависят еще от условий опыта. Эти вопросы будут подробнее рассмотрены в гл. IX (см. также § XVI 1.9). Сейчас же мы будем считать т^ и Гр заданными феноменологическими величинами, определяющими кинетику элек­тронных процессов.

В простейшем случае, когда Тд и т^ не зависят от п и р, интегри­рование уравнений (2.5) дает

6п = gntn — С ехр (— thn)

и такое же выражение для концентрации неравновесных дырок бр. Здесь С—постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Так, если вначале полупроводник находился в термо­динамическом равновесии и затем в момент времени / == 0 было включено внешнее воздействие, мы имеем / ==- 0, бп = 0. Это дает

С - gn^n - (6п)„ 6п = (6п), [1 » ехр (~ //т,)]. (2.7а)

Если в некоторый момент времени t == /i генерация выключается, то для / ^ /I, gn == 0, а начальное условие есть / =- /i, 6п = (6/?)i. Тогда

С^ — (6n)i ехр /1, 6п - (6n)i ехр (- (/ - ^)/т„). (2.76)

-rt

При постоянном Тд установление избыточной концентрации элек­тронов и ее исчезновение описываются экспоненциальным законом, а среднее время жизни т„ есть время, в течение которого концентра­ция неравновесных электронов изменяется в e раз. То же справедли­во и для неравновесных дырок.

В общем случае Хп и Гр, изменяющихся вместе с п и р, соотноше­ния (2.3) определяют мгновенное времена жизни. Величины 1/т/г и 1/Тр в этом случае дают вероятности рекомбинации одной частицы в единицу времени при данных значениях п и /?, а Тд и Гр определяют времена, за которые неравновесные концентрации электронов или, соответственно, дырок изменились бы в e раз, если бы вероятность их рекомбинации сохранялась постоянной и равной данному мгно­венному значению.

7 (1) Подвижность носителей m(T)

Рассмотрим самым примитивным образом

роль заряженных центров и фононов.

Неупругое рассеяние происходит на оптических фононах благодаря межэлектронному взаимодействию.

Упругое рассеяние происходит на дефектах и акустических фононах.

Поскольку m = (e/2m)×<t>, то для определения температурной зависимости подвижности m, надо искать, как зависит от температуры <t> – среднее время свободного побега.

В свою очередь, <t> обусловлено <v> – средней скоростью электронов и <l> – средней длиной их свободного пробега:

<t> = <l>/<v>

Согласно примитивной модели Друде, все электроны имеют одинаковую скорость, то есть, <v> = v = Const. Поскольку в металлах дрейфовая скорость не может быть соизмеримой с тепловой скоростью, то можно принять: v = vT + vD » vT ~ T1/2 (из: eэлектронов ~ v2 ~ T).

Итак, v ~ T1/2

Остается оценить <l> при рассеянии на фононах и заряженных центрах рассеяния.

Рассеяние на фононах.

Число столкновений электронов на колеблющихся атомах, обозначим его через Z, пропорционально квадрату амплитуды их колебаний A2:

Z ~ A2.

В свою очередь, амплитуда колебаний A пропорциональна квадратному корню от температуры:

A ~ T1/2.

Стало быть: Z ~ T.

Поскольку, чем больше центров рассеяния, тем короче свободный пробег, то:

<l>Ф ~ 1/Z ~ 1/T.

Окончательно для рассеяния на фононах <t>Ф = <l>Ф/v имеем:

<t>Ф ~ T–3/2

Рассеяние на заряженных центрах.

Будем для упрощения считать, что число заряженных центров в металле от температуры не зависит.

Согласно результатам опытов Резерфорда по рассеянию a-частиц (отклонение в электростатическом поле) длина свободного пробега пропорциональна четвертой степени скорости частиц:

<l> ~ <v>4

Значит, для рассеяния на заряженных центрах (ионах) имеем:

<t>И = <l>И/v ~ <v>4/v ~ <v>3 ~ T3/2

<t>И ~ T3/2

1 (2) СИММЕТРИЯ (Жданов, с.133)

Глава V

СИММЕТРИЯ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ

§ 1. СИММЕТРИЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ ФИГУР

Симметрия[3]). Операции симметрии.

Волновые функции атома водорода и образуемые из них гибридные вол­новые функции и распределения электронной плотности в атомах обладают симметрией. Симметрия атомов и образуемых ими связей приводит к опре­деленной симметричной структуре молекул и кристаллов. Знание основ учения о симметрии и способов изображения симметрии существенно для понимания и описания структуры молекул и кристаллов и анализа их свойств.

Симметрия какого-либо тела заключается в его свойстве самосовме­щаться в различных своих положениях. Это свойство проявляется в повто­рении частей тела в пространстве.

Симметрия расширяет понятие равенства фигур (). Равными можно назвать фигуры, в которых расстояния между соответст­вующими точками одинаковы. Это условие необходимо, но недостаточно для обычного равенства, когда фигуры совмещаются при наложении. Это условие соблюдается также и для правых и левых фигур, которые не сов­мещаются друге другом при наложении (например, правая и левая перчатки, правая и левая молекулы винной кислоты, правый и левый кварц). Подоб­ные фигуры совмещаются только после зеркального отражения, переводя­щего правую фигуру в левую и наоборот. Различие правых нулевых форм молекул и кристаллов проявляется как в структуре, так и в некоторых физи­ческих свойствах и может быть установлено, например, по вращению плос­кости поляризации.

Совмещение разных тел или самосовмещение одного тела

осуществ­ляется с помощью:

Ø  отражений;

Ø  поворотов;

Ø  инверсий;

Ø  параллельных переносов;

называемых операциями симмет­рии

или

симметрическими преобразованиями.

Симметрические преобразо­вания являются преобразованиями координат (x, y, z) – (x', y', z') без рас­тяжений, сжатий и сдвигов, то есть такими, при которых расстояния между точками до и после преобразования не изменяются.

Симметрию кристаллов можно описывать двояко. Во-первых, кристаллы представляют собой конечные тела, обладающие анизотропией свойств, что часто проявляется в правильной их форме. В этом случае кристаллы можно заменить многогранниками, имеющими одинаковую с ними симметрию, и описывать их симметрию (с некоторыми ограничениями, рас­сматриваемыми далее) аналогично симметрии атомов и молекул и вообще конечных фигур.

Во-вторых, кристаллы обладают правильными периодиче­скими структурами и их можно рассматривать, как бесконечные тела, само­совмещающиеся при параллельных переносах, кратных периодам структуры.

В этом случае операцией симметрии является параллельный перенос (трансляция), отсутствующий у конечных фигур.

Представление о кристаллах, как о телах, имеющих правильную периодическую структуру, зародилось уже давно и первоначально было получено путем дедукции на основании данных о макроскопических свойствах кристаллов.

Достаточно строгое обос­нование теории решетчатого строения дало изучение симметрии и в первую очередь фе­номенологически установленный закон симметрии кристаллов (стр. 142).

Задолго до по­явления тонких методов исследования и наблюдения атомно-молекулярной структуры вещества (1890) была создана теория пространственных групп, описы­вающая симметрию атомных структур кристаллов, Веским, но все же косвенным аргументом в пользу решетчатого строения явилось открытие Лауэ (1912) дифракции рентге­новых лучей в кристаллах. Развитие новых микроскопических методов в последнее время позволило наблюдать молекулярную и атомную структуру и увидеть пространственную решетку.

Операции поворота и параллельного переноса, который можно рас­сматривать как поворот на бесконечно малый угол около бесконечно уда­ленной оси, не меняют типа фигуры. Правая фигура при этих операциях остается правой фигурой. Отражение и инверсия изменяют тип фигуры, превращая правую фигуру в левую. Соответственно операции симметрии можно разделить на две группы: операции I и II рода, не изменяющие и изменяющие тип фигуры.

Простейшей операцией симметрии является отражение. Все другие операции симметрии можно свести к отражениям в ряде зеркал. Поворот на угол a эквивалентен отражениям в двух пересекающихся на оси поворота плоскостях, образующих между собой угол ½a. При отражениях в калей­доскопе, состоящем из пересекающихся зеркал т1 и т2 (рис. 68, а), обра­зуется ряд точек B1, B2, B3, ... , расположенных по кругу и повернутых друг к другу под углами, равными a.

Параллельный перенос, определяемый вектором a, эквивалентен отра­жениям в двух плоскостях, перпендикулярных к вектору переноса и уда­ленных друг от друга на ½a. При последовательных отражениях в калейдо­скопе, состоящем из параллельных зеркал, образуется прямолинейный пери­одический ряд точек A1, A2, A3, ... (рис. 68, б).

Инверсия в центре симметрии эквивалентна отражениям в трех взаим­но-перпендикулярных зеркалах, проходящих через центр симметрии. Слож­ные операции симметрии образуются сочетанием отражений, поворотов и инверсий, поэтому любые операции симметрии I и II рода можно заменить соответственно четным или нечетным числом отражений.

Симметрию любого тела можно описать с помощью одних операций отражения. Это было выполнено в применении к симметрии кристаллических форм известным русским кристаллографом . Однако для большей наглядности удобнее описывать симметрию, пользуясь сложными операциями симметрии.

Элементы симметрии (с.136)

Операции симметрии выполняются с помощью геометрических элемен­тов. называемых элементами симметрии. В трехмерном пространстве такими элементами являются плоскость, прямая, точка, вектор переноса, а также более сложные элементы симметрии, возникающие в результате сочетания указанных элементов. Понятие «элемент симметрии», так же как и «элемен­тарная частица», является условным. Все «элементы» симметрии, кроме зеркальной плоскости, являются сложными. Система единиц (элементов) в учении о симметрии строится по принципу объединения единиц низшего порядка в единицы высшего порядка, на котором основана десятичная и подобные ей системы счета. В табл.21 приведены наиболее употребительные элементы симметрии, указаны их обозначения, даны координаты групп равнозначных точек, возникающих при выполнении операций симметрии, предписываемых элементом симметрии, и кратности. Кратность равна числу равнозначных точек, образуемых элементом симметрии.

Элементарный угол поворота an для оси симметрии n-го порядка Cn определяется из условия цикличности

an= 2p/n, n = 1,2.3... (V,1)

Любая прямая является осью симметрии 1-го порядка C1. Наличие в теле только таких элементов симметрии говорит об отсутствии симметрии. Зеркально-поворотные оси соответствуют повороту около оси и отражению в перпендикулярной плоскости. В осях четного порядка S2n, как видно на примере кристалла пентаэритрита (рис. 69), имеющего ось S4, нет ни от­дельно существующей поворотной оси C4 ни перпендикулярной к ней плос­кости симметрии.

Поворотная ось симметрии вырождается в ось Cn с вдвое пониженной кратностью. Нечетные зеркально-поворотные оси распадаются на поворотную ось и перпендикулярную к ней плоскость S2n+1 = C2n+1+ m. Поэтому как самостоятельные элементы симметрии рассматриваются только четные зеркально-поворотные оси S2n. Группа инверсионных осей эквива­лентна группе зеркально-поворотных осей: Si = 1 = i; S4 = 4; S4= 3.

Отражение и поворот оставляют на месте точки, лежащие соответственно на плоскости и на прямой. Инверсия и операции, с ней связанные (инвер­сионные и зеркально-поворотные оси), оставляют на месте точку тела.

Таблица 21 Операции симметрии, элементы симметрии и их обозначения (с.137)

Операция симметрии	Элемент симметрии	Обозначение	Координаты равнозначных (сим­метричных) точек	Кратность (число равно­значных точек)
по Шенфлису	между­народ­ное
Отражение в плоскости	плоскость симметрии	Cs	т	xyz; xỹz (плоскость т перпендикулярна оси Y)	2
Отражение в плоскости	плоскость симметрии	Cs	m	x y z; x `y z (плоскость m перпендикулярна оси Y)	n
Поворот около оси на угол an	ось симметрии	Cп	п	x y z; `x`y z (ось C3 совпадает с осью Z)	n
Инверсия в точке	центр сим­метрии	Ci	i =`1	xyz; `x `y `z (центр симметрии в на­ чале координат)	2
Поворот около оси и отражение в перпен­дикулярной плоскости	зеркально- поворотная ось	S2n
Поворот около оси и ин­ версия в центре сим­метрии, лежащем на оси	инверсионная ось		`n		п
Параллельный перенос	вектор переноса (трансляция) `a,`b,`c			x = та; y = па, z = pa; т, n, p – целые числа	¥
Отражение в плоскости и перенос параллель­но плоскости	плоскость скольжения		a, b, c п, d		¥
Поворот около оси и перенос параллельно оси	винтовая ось		nт m =1, 2, ... , n		¥

Перечисленные операции и элементы симметрии, оставляющие на месте по крайней мере одну точку тела, возможны как в конечных, так и в беско­нечных телах. Кратности этих элементов конечны.

Кратности операций симметрии, связанных с параллельным переносом, равны бесконечности.

Эти операции симметрии не оставляют на месте ни одной точки тела и возможны только в бесконечных телах с периоди­ческой структурой. Последователь­ное применение параллельного пере­носа а к исходной точке, которую на­зовем узлом, приводит к образованию бесконечного, прямолинейного и периодического ряда узлов, положение которых определяется вектором линейной решетки р = та, где а –длина осевого масштаба, а m – любые целые числа, координаты узлов ряда.

Сочетание двух векторов переноса приводит к образованию двухмерной периодической сетки. Положение узлов плоской сетки определяется бинар­ной линейной формой p = та + `n`b. Сочетание трех некомпланарных век­торов переноса a, b, c приводит к образованию трехмерной бесконечной и периодической сетки, называемой пространственной решет­кой.

Координаты узлов пространствен­ной решетки определяются трехчленной линейной формой

р = та + nb + pc, (V,2)

где [[m, n, p]] – целочисленные коорди­наты узлов.

Сочетание плоскости симметрии с пер­пендикулярным к ней переносом an приво­дит к трансляционному размножению пло­скостей симметрии и образованию калейдо­скопа из параллельных зеркал, в котором зеркально-симметричный узел размножается в периодический ряд. При соче­тании отражения с параллельным переносом а возникает новый элемент симме­трии – плоскость скольжения.

На рис. 70 ab – след плоскости скольжения; направление сдвига параллельно плоскости чертежа. Плоскость скольжения приводит к образованию периодического ряда A1, A2, A3, A4, ... в виде «елочки» с периодом вдоль плоскости скольжения 2ai. Сочетание поворота со сдвигом, параллельным оси поворота, дает винтовое движение, которому отвечает новый элемент симметрии – винтовая ось. Сдвиги вдоль винтовой оси n-го порядка ai = (m/n)a, где т = 1 , 2, ... , п. Полный набор винтовых осей n-го порядка равен п, включая поворотную ось, для которой т = 0 (m = п). На рис.71 изображена группа винтовых осей симметрии 4-го порядка. Оси 41 и 43 – зеркально-симметричные право - и лево - винтовые оси. Ось 42 содержит поворотную ось 2.

6 (13) ОБЛАСТЬ ПРИМЕСНОЙ ПРОВОДИМОСТИ (Стильбанс, с.231)

Область примесной проводимости

Предположим, что температура недостаточно высока для того, чтобы в заметном количестве наблюдались пере­бросы электронов из заполненной зоны, то есть что электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет пере­ходов с примесных уровней, а числом дырок в заполненной зоне мы можем пренебречь. Тогда уравнение (4.39) заме­няется более простым:

n + nd = Nd (4.41)

или согласно (4.35) и (4.38)

[2×(2pmnkT)3/2/h3]´e–m/kT + Nd/[e– (De1+m)/kT + 1] (4.42)

Уравнение (4.42) – уже квадратное уравнение относи­тельно е–m/kT . Решая его, получаем

m = – De1 + kT×ln{J} (4.43)

где {J} = 1/2 {[1 + 2eDe1/kTNdh3/(2pmnkT)3/2]1/2 – 1}

Выражение (4.43) все еще слишком сложно для его непосредственной интерпретации, поэтому рассмотрим его предельные значения в различных интервалах температур.

Область низких температур:

eDe1/kT >> [2×(2pmnkT)3/2/h3]em/kT (4.44)

Пренебрегая единицами под знаком логарифма, полу­чаем

m » –De1/2 + kTln[Ndh3/2×(2pmnkT)3/2]1/2 (4.45)

Выражение (4.45) показывает, что при абсолютном нуле температуры уровень химического потенциала проходит строго посредине между дном запрещенной зоны и донор­ными уровнями.

Второй член в (4.45) при низких температуpax [то есть пока (2pmnkT)3/2 < Ndh3] положительный, а при более высоких становится отрицательным. Поэтому уро­вень химического потенциала сначала поднимается, а затем начинает опускаться (рис. 4.1).

Подставляя (4.45) в (4.35), получаем концентрацию свободных электронов:

n = (2Nd)1/2[(2pmnkT)3/4/h3/2]´e–De1/2kT = A´e–De1/2kT, (4.46)

где А = (2Nd)1/2[(2pmnkT)3/4/h3] – величина, слабо зависящая от температуры (по сравнению со вторым экспоненциальным множителем). Выражение (4.46) показывает, что (в этом интервале температур) концентрация электронов в зоне проводимости растет экспоненциально с ростом температуры. Прологарифмировав (4.46), получим

lnn = lnA – De1/2k´(1/T). (4.47)

Следовательно, если мы будем на графике отклады­вать по оси ординат In л, а по оси абсцисс – обратную температуру (1/T), то мы получим прямую с накло­ном De1/2k.

Область «высоких» температур:

eDe1/kT << [2×(2pmnkT)3/2/h3]em/kT

Термин «высокие температуры» здесь следует прини­мать лишь в смысле выполнения неравенства (4.48), но мы по-прежнему будем предполагать, что собствен­ная проводимость еще не играет существенной роли. Учитывая (4.48) и разлагая радикал в выражении (4.43) в ряд, получаем

m » kTln[Ndh3/2×(2pmnkT)3/2] (4.49)

Согласно (4.48) и (4.49) в этом интервале температур уровень химического потенциала уже спустился ниже донорных уровней, и, следовательно, почти все они должны быть пусты.

Действительно, подставляя (4.49) в (4.35), получаем

n = Nd,

то есть все (или точнее почти все, так как мы все время поль­зуемся приближенными формулами) электроны перешли в зону проводимости. Концентрация электронов проводи­мости в этом интервале температур будет оставаться постоян­ной, что соответствует горизонтальному участку кривой рис. 1.7.

Заметим в заключение, что совершенно аналогичные выводы можно получить для примесного дырочного полу­проводника. В этом случае в области низких температур

m' » De1/2 – kTln[Nah3/2×(2pmpkT)3/2] (4.50)

где De2 – энергия, необходимая для заброса электрона из заполненной зоны на акцепторный уровень, то есть уро­вень химического потенциала проходит примерно посре­дине между верхним краем валентной зоны и акцепторным уровнем (рис. 4.2). При этом концентрация дырок меняется экспоненциально:

p = (2Na)1/2[(2pmpkT)3/4/h3/2]´e–De2/2kT = B´e–De2/2kT, (4.51)

В области более высоких температур уровень химиче­ского потенциала поднимается выше акцепторных уровней, и все они в силу этого оказываются забитыми электронами, а число дырок в заполненной зоне становится постоянным:

p = Na.

При дальнейшем подъеме температур и в случае элек­тронного и в случае дырочного полупроводника основную роль начинает играть собственная проводимость.

6 (3) ЗОННАЯ ТЕОРИЯ (ФЭС, т.2, с.86-93)

6 (9) БРИЛЛЮЭНА ЗОНЫ (ФЭС, т.1, с.210)

БРИЛЛЮЭНА ЗОНЫ – области k- пространства, внутри которых энергия электрона в кристаллической ре­шетке может изменяться квазинепрерывно; на граниwах зоны Бриллюэна. энергия электрона претерпевает разрыв. Ко­ординатами k-пространства kx, ky, kz являются компо­ненты волнового вектора k, характеризующего стацио­нарные одноэлектронные волновые ф-ции в кристалле:

yk(r) = u k(r)eikr, Hyk = e(k)yk,

где i – мнимая единица;

H и e – оператор Гамиль­тона и собственное значение энергии электрона в кристалле;

r – радиус-вектор электрона.

Форма концентрических многогранников, служащих границами зоны Бриллюэна, определяется симметрией кристал­лической решетки и тесно связана с условиями дифрак­ционных максимумов рентгеновых лучей в кристалле (уравнением Вульфа – Брэгга).

См. Зонная теория

ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА

(Бонч-Бруевич и Калашников, Физика полупроводников, М.1977, страницы 94¸100)

Этот материал полезен тем, кого привлекает академический способ изложе­ния и вообще теория. А еще интереснее оказался бы , Введение в теорию полупроводников, М.,1962.

Что же касается тех, кому милее экспериментальная физика, тоже может успешно воспользоваться этим материалом, а именно: если вдруг одолеет смертельная бессонница и никакие транквилизаторы не помогают уснуть, то нет в мире лучшего снотворного, чем это чтиво. В. Г.

§ 3. Зоны Бриллюэна

Введенный в предыдущем параграфе вектор квазиимпульса определяется равенствами (2.14)[4]) и (2.17)[5]). Комбинируя их, мы полу­чаем

y(r + an) = y (r)×exp[(i/h)pan]. (3.1)

Таким образом, вектор p (или k = p/h) характеризует закон преобразования волновой функции электрона при сдвиге ее аргумента на какой-либо вектор решетки. Разным собственным функ­циям соответствуют, вообще говоря, различные значения квази­импульса (квазиволнового вектора). Поэтому компоненты его (как и компоненты импульса в случае свободного электрона) следует рассматривать как квантовые числа, характеризующие данное ста­ционарное состояние. Однако, в отличие от компонент импульса и от квантовых чисел, встречающихся в теории атома, квазиимпульс определяется в принципе неоднозначно. Действительно, обозначим через с вектор, скалярное произведение которого на an есть целое кратное 2ph:

anc = 2ph ´ (целое число). (3.2)

Очевидно, векторы p и p + c, будучи подставлены в правую часть (3.1), дают один и тот же результат. Но равенство (3.1) есть единст­венное условие, определяющее квазиимпульс. Следовательно, век­торы p и p + c физически эквива­лентны: оба они определяют одно и то же преобразование волновой функции.

Нетрудно найти явный вид вектора p. Для этого следует лишь ввести понятие обратной решетки. Основные векторы последней b1, b2, b3, определяются равенствами

b1 = 2p[a2xa3]/V0, b1 = 2p[a3xa1]/V0, b1 = 2p[a1xa2]/V0, (3.3)

где V0 = |(a1[a2´a3]| есть объем параллелепипеда, построенного на векторах a1, a2, a3 (объем элементарной ячейки). В частности, в простой кубической решетке, когда a1 = a1 = a2 = aз = а и b1 = b2 = b3 = b, мы имеем

b = 2p/a. (3.3')

Очевидно, векторы b1, b2, b3 имеют размерность обратной длины. На основных векторах b1, b2, b3 можно построить периодическую решетку. Она и называется обратной (по отношению к прямой ре­шетке данного кристалла).

Произвольный вектор обратной решетки имеет вид

bт = m1b1 + m2b2 + m3b3, (3.4)

где m1, m2, m3 – положительные или отрицательные целые числа или нули (при этомm1, m2, m3 не равны нулю одновременно), т = {m1, m2, m3}.

Элементарная ячейка обратной решетки представляет собой параллелепипед, построенный на векторах b1, b2, b3.

«Объем» этого параллелепипеда равен |(b1[b2´b3])| (разумеется, он имеет размерность обратного объема). Подставляя сюда формулы (3.3) для b1, b2, b3 и раскрывая получающееся произведение, находим

|(b1[b2´b3])| = (2p)3/V0. (3.5)

Как и в случае прямой решетки, выбор элементарной ячейки в обратной решетке неоднозначен и определяется соображениями удобства.

Другой способ построения элементарной ячейки состоит в сле­дующем. Какой-то узел обратной решетки выбирают в качестве начала координат и соединяют его прямыми линиями с ближайшими к нему узлами. Через середины этих линий перпендикулярно к ним проводят плоскости. В качестве элементарной ячейки обратной решетки можно выбрать наименьший многогранник, ограниченный так построенными плоскостями и содержащий внутри себя начало координат. Этот многогранник называется ячейкой Вигнера – Зейтца.

Такие многогранники можно построить около любого узла ре­шетки; при этом они не перекрываются и совокупность их заполняет все обратное пространство. Отсюда следует, что объем одного много­гранника действительно равен (2p)3/V0. как это и должно быть.

В отличие от параллелепипеда, построенного на векторах b1, b2, b3, элементарная ячейка» выбранная указанным только что образом» обладает всеми свойствами симметрии обратной решетки. Из определения (3.3) вытекают равенства

a1b1= a2b2= a3b3 = 2p,

aabb = 0, a ¹ b (a, b = 1,2,3).

Умножим теперь произвольный вектор решетки (II.1.1) на век­тор обратной решетки (3.4). Пользуясь соотношениями (3.6), мы получаем

anbm = (n1m1 + n2m2 + n3m3)×2p.

В скобках в правой части этого равенства стоит целое число, и, сле­довательно, вектор c, удовлетворяющий условию (3.2), можно записать в виде

c = hbm. (3.7)

Итак, квазиимпульс определен лишь с точностью до вектора обратной решетки, умноженного на h. Это обстоятельство позволяет ограничить изменение компонент квазиимпульса конечной областью, исчерпывающей все физически неэквивалентные их значения. Такая область – совокупность всех физически неэквивалентных значений квазиимпульса – называется зоной Бриллюэна. В силу произвольности вектора bт в (3.7) выбор ее неоднозначен. Так, можно выбрать в качестве зоны Бриллюэна область, определяемую неравенствами

– ph < pa1 £ ph,

– ph < pa2 £ ph, (3.8)

– ph < pa3 £ ph,

Эти неравенства определяют некоторый параллелепипед в p-пространстве, содержащий в себе начало координат. Его называют первой зоной Бриллюэна.

Можно определить первую зону Бриллюэна и для компонент квазиволнового вектора k: надо лишь заменить p на k в неравен­ствах (3.8), опустив множители h. Квазиимпульс (или квазиволно­вой вектор), изменяющийся в пределах первой зоны Бриллюэна, называется приведенным. В частности, в простой кубической ре­шетке векторы a1, a2, a3 одинаковы по величине (равной постоянной решетки a) и направлены по трем взаимно перпендикулярным осям куба. Выбирая эти оси в качестве координатных, получаем из (3.8) для данного частного случая

– ph/a < pa £ ph/a, a = x, y, z. (3.8')

Первая зона Бриллюэна здесь представляет собой куб объема

(2ph)3/V0 = (2ph)3/a3.

в k-пространстве соответствующий объем равен (2ph)3/V0.

Полученное только что выражение для объема первой зоны Бриллюэна справедливо и для произвольной решетки. Действительно, интересующий нас объем дается интегралом

J = òdpxdpydpz,

взятым по области, определяемой неравенствами (3.8). Для вычисления этого интеграла удобно ввести переменные

j1 = (1/h)(pa1), j2 = (1/h)(pa2), j3 = (1/h)(pa3).

Якобиан перехода от переменных j1, j2, j3 к переменным px, py, pz пред­став­ляет собой детерминант [1]

dj1/dpx dj2/dpx dj3/dpx	=	a1x a2x a3x	=	(a1[a2´a3]) ¾¾¾¾ h3	= V0/h3
dj1/dpy dj2/dpy dj3/dpy	a1y a2y a3y
dj1/dpz dj2/dpz dj3/dpz	a1z a2z a3z

dj1dj2 dj3 = (V0/h3)×dpxdpуdpz.

и, следовательно,

J = (h3/V0)×–pò+pdj1–pò+pdj1–pò+pdj1 = (2ph)3/V0.

Выбирая другие периоды px, py, pz, мы получим вторую, третью и т. д. зоны Бриллюэна. Можно доказать [М6], что объемы их всех одинаковы и равны (2ph)3/V0.

Вспоминая теперь равенство (3.5), видим, что объем зоны Брил-люэна равен объему элементарной ячейки в обратной решетке (умноженному на h3, если речь идет о p-пространстве).

Как и элементарную ячейку, первую зону Бриллюэна можно выбрать и другим способом. Действительно, по определению она должна обладать следующими свойствами:

а) внутри нее должна содержаться точка k = 0;

б) любые два вектора k, входящие в нее, могут отличаться друг от друга не более чем на (b1 + b2 + b3), и в) объем ее равен (2p)3/V0.

Этими свойствами обладает ячейка Вигнера – Зейтца. Она и представляет собой первую зону Бриллюэна. В дальнейшем мы будем пользоваться этим определением.

Таким образом, зона Бриллюэ­на есть чисто геометрическое по­нятие: форма ее зависит только от структуры решетки, но не от природы действующих в ней сил. Более того, как видно из предыду­щего, зона Бриллюэна определяет­ся только основными векторами решетки. Следовательно, она одна и та же как для простых, так и для базисных решеток одной и той же сингонии, например для простой гранецентрированной ре­шетки и для решетки типа алмаза.

На рис.3.1 изображена первая зона Бриллюэна для решеток типа алмаза и цинковой обманки. Некоторые точки в ней представляют особый интерес при исследовании поведения электронов и дырок. Это – «точки симметрии», обладающие тем свойством, что они переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии, допускаемых в данной решетке. К числу названных точек отно­сятся центр первой зоны Бриллюэна (то есть начало координат в k-про­странстве), центры ее граней или ребер, точки на осях – линиях, соединяющих центр зоны с центрами граней или ребер, и т. д.

Их принято обозначать большими греческими или латинскими буквами, которые и указаны на рисунках. Так, точка Г есть не что иное, как центр первой зоны Бриллюэна, и т. д.

Неоднозначность квазиимпульса есть специфическое свойство электрона, движущегося в периодическом поле.

Она составляет наиболее резкое различие между квазиимпульсом и импульсом: последний определен однозначно, и компоненты его px, py, pz изме­няются в пределах от – ¥ до + ¥. Заметим, что мы можем фор­мально убедиться в этом, требуя, как и в конце предыдущего пара­графа, инвариантности системы относительно сдвига на любой вектор. Действительно, в этом случае точки, бесконечно близкие друг к другу, также являются эквивалентными, т. е. «постоянная решетки» a сколь угодно мала. Устремляя a к нулю, видим из (3.8'), что компоненты px, py, pz изменяются в пределах от – ¥ до + ¥. Объем «зоны Бриллюэна» при этом также оказывается бесконечным: она представляет собой просто все импульсное пространство.

Неравенства (3.8) определяют пределы изменения компонент квазиимпульса, но ничего не говорят о физически дозволенных их значениях. Таковые определяются граничными условиями, накладываемыми на волновую функцию y. Строго говоря, гранич­ные условия призваны отражать физическую ситуацию на поверх­ности образца. Эта ситуация определяется характером сил, дейст­вующих на электроны. Однако все силы взаимодействия, с которыми мы имеем дело, более или менее быстро убывают с расстоянием. Следовательно, условия на поверхности не могут сколько-нибудь заметно влиять на поведение электронов в глубине кристалла, если размеры его достаточно велики. Поэтому для определения возможных значений квазиимпульса в большом образце нет необхо­димости рассматривать истинную (далеко не простую) картину поверхностных явлений, а можно воспользоваться следующим искусственным приемом. Выделим прежде всего «внутреннюю область» кристалла, определив ее как объем, в котором не сказы­ваются специфические эффекты, связанные с наличием поверхности. Внутреннюю область разобьем на ряд достаточно больших частей, например кубов со стороной L. Длина L должна значительно пре­вышать все «физические» длины, фигурирующие в задаче, – посто­янную решетки, длину волны электрона, длину свободного про­бега и т. д.; в остальном значение L произвольно. Поскольку раз­личные кубы ничем не выделены, естественно потребовать, чтобы значения волновой функции в соответственных (отстоящих друг от друга на расстояние L) точках соседних кубов были одинако­выми:

y (x, y, z) = y (x+L, y, z) = ... = y (x+L, y+L, z+L). (3.9)

Равенства (3.9) позволяют ограничиться изучением движения элек­тронов в пределах только одного куба, рассматривая его как «крис­талл»; все, что в нем происходит, будет повторяться и в других кубах. Таким образом, оказывается возможным формально ввести в задачу «размеры кристалла», не интересуясь в то же время явле­ниями на его поверхности[6]).

Условия (3.9) означают, что волновая функция должна быть периодична с периодом L. Соответственно и сами условия (3.9) называются условиями периодичности (или условиями Кармана – Борна). Сам куб со стороной L называется кубом периодичности (употребляют также названия «фундаментальный объем», «основной объем» или «основная область»).

Поскольку длина L сколь угодно велика, мы вправе считать L целым кратным a, где a — постоянная решетки по соответствующему направлению.

Поэтому, накладывая условия (3.9) на функцию (2.15) и принимая во внимание свойство периодичности uk(r) (2.16), мы получаем

exp[i(kxx + kyy + kzz)]×uk(x, y, z) =

= exp[ikx(x + L) + iky (y + L) + ikz(z + L)]×uk[(x+L), (y+L), (z+L)] =

= exp[ikx(x + L) + iky (y + L) + ikz(z + L)]×uk(x, y, z).

Отсюда

kx = (2p/L)×nx, kx = (2p/L)×ny, kx = (2p/L)×nz, (3.10)

где nx, ny, nz — положительные или отрицательные целые числа (ограниченные условиями (3.8)) или нули.

Соответственно

px = (2ph/L)×nx, py = (2ph/L)×ny, pz = (2ph/L)×nz. (3.10’)

Таким образом, значения компонент квазиволнового вектора (или квазиимпульса) образуют дискретную совокупность. Разно­сти между соседними значениями их, однако, весьма малы (равны соответственно 2p/L и 2ph/L . По этой причине указанная, дискрет­ность не проявляется в наблюдаемых на опыте электрических и оптических явлениях. Спектр такого типа называется квазинепре­рывным.

[1]) Согласно Киттелю (с.253, формула 7.5), выражение (2) выглядит несколько иначе:

e = (h2/2m)×(p/L)2×i2 (2*),

а согласно Блейкмору (с.211, формула 3.42) и Ашкрофту с Мерминым (с.47, формула 2.16), выражение такое же, как и у нас.

[2]) Прошу обратить внимание на разноголосицу в обозначении неравновесных носителей! А именно, здесь (у Бонч-Бруевича) концентрация неравновесных носителей обозначается через dn = n – n0. То есть та величина, которая у других авторов обозначается как n = n0 + dn (или n = n0 + Dn), а под dn º Dx понимается избыточная концентрация. В.Г.

[3]) Симметри’я – Соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположе­ние по обе стороны от середины, центра. Ожегов – Словарь русского языка. В.Г.

[4]) cn = eikan (2.14)

[5]) k = p/h (2.17)

[6]) Можно показать [2], что при достаточно большой длине L распределение собственных значений компонент p с точностью до величин порядка L–1 не за­висит от граничных условий.