Применение интеграла в науке и технике

Центр образования № 000

Применение интеграла в науке и технике 11 класс

Москва 2006

Составитель: учитель высшей категории, Соросовский учитель - .

Для заметок

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача. Из цилиндрического бака нужно выкачать воду, наполняющую бак до края. Какая работа при этом совершается, если радиус основания бака R=0,6 м, а высота его Н=3 м?

Если бы мы поднимали на некоторую высоту бак вместе с водой, то работу, необходимую для этого, нашли бы легко простым умножением веса груза на высоту подъема. Но работа, совершаемая при выкачивании жидкости, определяется сложнее, так как жидкость в этом случае поднимается не вся сразу, а по частям, слоями, причем высота подъема у разных слоев жидкости разная.

Чтобы выкачать воду, находящуюся в рассматриваемом слое, ее нужно поднять до края бака, т. е. на высоту xk. Работа Рk, совершаемая при этом, выразится так Рk= 1000πR2 ·xk·(Н – 0)/n.

Работа же, необходимая для поднятия всех слоев воды выразится в виде:

.

Что является интегральной суммой

Чтобы найти искомую работу, необходимо неограниченно уменьшать толщина слоя (т. е. неограниченно увеличивать n), и тогда вся работа

А значит, по определению интеграла работа равна

Р=500π·0,36·6=1620π(Дж).

Задача. Прямоугольная пластина с размерами 20 см × 30 см погружена в воду так, что меньшая сторона ее лежит на поверхности воды, а большая занимает вертикальное положение. Найдите давление воды на пластину.

Пусть данная пластина расположена, как указано на рисунке, где MN – поверхность воды. Если бы эта пластинка находится в горизонтальном положении, то давление воды на нее было бы равно весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластинку, а высотой - глубину ее расположения от поверхности жидкости. Но по такому закону нельзя рассчитать давление воды на вертикальную площадку, так как давление на единицу площади изменяется с глубиной.

При решении данной задачи необходимо ввести ось координат, разбить отрезок [O;30] на n равных частей. Обозначим точки деления x0, x1, …. xn так, что x0= О, а xn =30. Проведем через точки деления, прямые, параллельные MN. Рассмотрим полоску между прямыми, проходящими, через точки xk и xk+1. Ее ширина равна (xk+1 – xk), а площадь Sk=20(xk+1 – xk).

Горизонтальная площадка 1 см2 на глубине xk испытывает давление, равное весу столба воды, имеющего основание 1 см2 и высоту xk, т. е. давление равное xk (высота – в сантиметрах, давление в граммах).

По закону Паскаля давление жидкости передается во все стороны с одинаковой силой, поэтому давление на 1 см2 вертикально расположенной полоски будет приближенно равно тоже xk. Давление на всю полоску выразится так:

Рk= xk·20(xk+1 – xk).

Давление же воды на всю пластинку будет приближено равно

Будем неограниченно увеличивать число делений пластинки, тогда искомая величина давления :

16. Найдите дневную выработку W за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

.

17. Найдите стоимость перевозки М т груза по железной дороге на расстояние 100 км при условии, что тариф y перевозки одной тонны убывает на a руб. на каждом последующем километре.

18. Мощность y потребляемой городом электроэнергии выражается формулой

где t – текущее время суток. Найдите суточное потребление электроэнергии при a=15000 кВт, b=12000 кВт.
Упражнения:

1. Найти давление воды, наполняющей аквариум, на одну из его стенок, имеющую длину 60 см и высоту 20 см.

2. Найти давление воды на боковые стенки аквариума, напол­ненного водой до высоты 0,5 м, если дно имеет размеры 1,2м × 1,3м.

3. Найти давление воды на вертикально стоящую прямоуголь­ную пластинку с размерами 3 м × 2 м, если ее большая сторона вертикальна, а меньшая на 1,5 м ниже поверхности воды.

4. В боковой стенке резервуара имеется прямоугольное отвер­стие с размерами 60 см × 40 см. С какой силой вода прижимает клапан, закрывающий отверстие, если большая сторона прямоуголь­ника горизонтальна и расположена на 2 м ниже поверхности воды?

5. Круглый иллюминатор диаметром 30 см на вертикальном борту судна наполовину погружен в воду. Найти давление воды на погруженную часть иллюминатора.

6. Горизонтально лежащая труба, поперечным сечением кото­рой является круг диаметром 6 м, наполовину наполнена водой. Найти давление воды на вертикальную заслонку, закрывающую трубу.

7. Резервуар конической формы с вершиной, обращенной книзу, наполнен водой. Какую работу нужно совершить, чтобы выкачать из него всю воду, если радиус основания конуса R = 50 см, а вы­сота Н = 1 м.

8. Из шахты глубины l=100 м надо поднять клеть весом Q = 1000 кг, которая висит на канате, намотанном на барабан. Вычислить работу, необходимую для поднятия клети, если вес одного погонного метра каната q = 2 кг.

9. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из кот­ла, имеющего форму полушара, радиус которого R = 3 м.

10. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.

11. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 т на 1 см. Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации.)

12. В цилиндре заключен атмосферный воздух, объем которого равен 0,3 м3. Цилиндр помещен в среду меньшей плотности, бла­годаря чему воздух расширяется, выталкивая поршень. Вычислить работу, произведенную воздухом при расширении его до объема 0,9 м3. (Температура воздуха поддерживается постоянной.)

13. Вычислите кинетическую энергию однородного диска массой т и радиуса R , вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

14. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m под­нять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h?

15. Определить работу, произведенную при адиабатном рас­ширении воздуха, имеющего начальные объем V0 = 1 м3 и давление pQ = 1 Па, до объема V1 = 10 м3 .

Задача. Найдите дневную выработку Р за рабочий день с 8 до 14 часов, если производительность труда задана эмпирической формулой (Эта формула отражает процесс работы, при котором производительность растет на протяжении первых двух часов, а затем падает.)

Объем вырабатываемой продукции, при постоянной производительности труда, равен произведению производительности на время работ. В данном случае простым умножением производительности труда на время работы задачу решить нельзя, так как производительность постоянно меняется с течением времени.

Для решения нашей задачи рассмотрим функцию производительности на отрезке[8;14], разобьем указанный промежуток на n равных частей, и будем считать, что в пределах каждого временного промежутка производительность остается постоянной и меняется скачком в конце каждого промежутка. При таком допущении выработка продукции в каждый промежуток времени может быть посчитана по формуле

Тогда сумма выработок на всех временных отрезках (интегральная сумма):

Искомая выработка за рабочий день может быть посчитана при неограниченном уменьшении рассматриваемых временных отрезков (при неограниченном увеличении n):

Итак, в указанный промежуток времени произведено 54 единицы продукции.

Задача. Два электрических заряда q0 = 1 Кл и q2 = 2 Кл находятся на оси ОХ соответственно в точках х0 = 0 и х1 = 1 см2. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку х2 = 10 см?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача. Задана функция предельных издержек М(x)=3x2-40x+125,

x Є[0; 30]. Вычислите издержки при производстве 20 единиц продукции.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________