«Координатный способ задания движения точки»

Часть 1. «Координатный способ задания движения точки»

Движение точки задано уравнениями

(м), (м).

Определить и построить траекторию. Определить и показать на чертеже положение точки в начальный момент и в момент времени . Для указанных моментов времени найти скорость и ускорение точки. Изобразить на чертеже соответствующие векторы: , и , .

Решение. Для исключения времени выразим его первого из первого уравнения через координату x и подставим во второе уравнение: или .

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы (Рис.1) с вершиной в точке (4; 0). Выясним, вся ли парабола является траекторией точки, или только ее часть. Для этого найдем начальное положение точки , подставив в уравнения движения :

, (м).

Таким образом, точка начинает свое движение из вершины параболы .

Установим направление движения. Для этого, пользуясь заданными уравнениями движения, проанализируем, как изменяются координаты точки при возрастании времени . В нашем случае очевидно, что с течением времени координата возрастает, а координата убывает. Следовательно, точка движется вправо.

Таким образом, траекторией точки является правая ветвь параболы (Рис.1).

Найдем положение точки в момент времени , подставив в уравнения движения :

(м), (м).

Положение точки показано на Рис.2.

Найдем как функции времени проекции скорости на координатные оси, а также ее модуль и направляющие косинусы:

, , ;

, .

В заданные моменты времени получаем:

при , , ,

, ;

при , , ,

, .

Найдем как функции времени проекции ускорения на координатные оси, а также его модуль и направляющие косинусы:

, , ;

, .

Очевидно, что в рассматриваемом движении ни модуль, ни направление вектора ускорения не зависят от времени, поэтому найденные значения справедливы для любого момента времени: . Векторы скорости и ускорения в начальный момент времени и в момент времени показаны на Рис.2 (они могут быть построены либо через модуль и направляющие косинусы, либо через проекции).

Часть 2. «Естественный способ задания движения точки»

Точка М движется по траектории, представляющей собой половину окружности радиуса r, согласно закону

(м). Начало отсчета криволинейной координаты (точка О) и направление ее положительного отсчета указаны на Рис.3.

Определить как функции времени проекцию вектора скорости на орт касательной , а также проекции вектора ускорения на орт касательной и на орт главной нормали . Построить графики зависимостей , , и . Показать положение точки на траектории в начальный момент и в момент времени . Найти и изобразить на чертеже векторы скорости, касательного и нормального ускорений, а также вектор полного ускорения для указанных моментов времени.

Решение.

Определим , и :

; (а)

; (b)

. (c)

Полученные функции (a) и (b), а также заданный закон движения позволяют построить графики , и (Рис.4). Найдем положение точки М в начальный момент и в момент времени , подставив в заданный закон движения и :

(м); (м).

Покажем соответствующие положения точки на траектории. Поскольку длина полной окружности равна , то составляет 1/4 окружности. Откладывая полученную величину в сторону положительного отсчета криволинейной координаты (т. к. ), находим точку (Рис.4). Криволинейная координата отрицательна и по модулю в два раза меньше , поэтому точка отстоит от точки О влево на 1/8 окружности.

Подставив указанные моменты времени в уравнение (а), найдем

; (м/с).

Таким образом, начальная скорость точки равна нулю. Покажем на чертеже вектор . Поскольку его проекция на касательную ось , он направлен в сторону убывания дуговой координаты (Рис.5). (Напомним, что касательная ось всегда направлена в сторону возрастания дуговой координаты).

Аналогичным образом из (b) и (c) найдем:

(м/с2); (м/с2).

; (м/с2).

Векторы нормального, касательного и полного ускорений точки М показаны на Рис.5. Отметим, что направление касательного ускорения, так же как и скорости, определяется знаком его проекции на касательную ось. Нормальное ускорение (если оно отлично от нуля) всегда направлено в сторону вогнутости траектории (его проекция на главную нормаль не может быть отрицательной).

Поскольку , вектор полного ускорения в начальный момент времени совпадает с касательным ускорением. В момент времени вектор определяется как векторная сумма и . Его модуль равен

(м/с2),

а угол, составляемый с направлением главной нормали, определим через тангенс:

.

Часть 3. «Переход от координатного способа задания движения точки к естественному»

Движение точки задано уравнениями:

(м); (м).

Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже. показать на ней начальное положение точки и найти закон движения точки по траектории , приняв за начало отсчета дуговой координаты начальное положение точки и считая, что точка начинает свое движение в сторону возрастания дуговой координаты.

Решение.

Чтобы найти уравнение траектории точки исключим время из уравнений движения. Для этого из первого уравнения выразим , а из второго , затем возведём их в квадрат и сложим:

; ;

; ;

.

Очевидно, что окружность радиуса м с координатами центра включает траекторию движения точки (Рис.6). Необходимо только уточнить, является ли вся окружность траекторией или только её часть представляет эту траекторию.

Для определения начального положения точки на траектории подставим в уравнения движения значение времени . Находим, что точка в начальный момент движения занимает положение , определяемое координатами , , т. е. .

Установим направление движения точки по траектории при возрастании времени от до с. Подставив в уравнения движения найдем, что при этом координаты движущейся точки будут равны: ; , т. е. . Следовательно, точка начинает своё движение по окружности от точки в направлении часовой стрелки.

Легко убедится в том, что при точка занимает положение , а при точка приходит в . Из этого следует, что вся окружность является траекторией движения точки.

Проекции вектора скорости на оси координат равны

Y S M0 V0 A M r Wn Wt V M3 M1 C W O X M2 V1 Рис. 6

, . Модуль этого вектора равен ; при с . Направляющие косинусы вектора являются функцией времени, т. е. направление этого вектора непрерывно изменяется:

при :

Установим закон движения точки вдоль траектории. Начало отсчёта криволинейной координаты (точку ) совместим с начальным положением точки . В качестве положительного направления отсчёта криволинейной координаты выберем направление движения точки. Поскольку точка движется в сторону возрастания криволинейной координаты , то

, ()

После интегрирования этого выражения найдем

.

При , поэтому и закон движения точки вдоль траектории будет следующим: