О ПРИМЕНЕНИИ ЭНДОХРОННОГО ПОДХОДА В НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

1. Введение. Известно большое количество способов описания деформирования реологически сложных сплошных сред. К основным, наиболее фундаментальным теориям нелинейной вязкоупругости наследственного (интегрального) типа, следует отнести пять: кратно-интегральную концепцию Волтерра-Фреше; моноинтегральный, с нелинейным ядром, подход Больцмана-Персо; базирующуюся на связи функции деформации с напряжением линейным интегральным соотношением теорию Работнова; концепцию Москвитина, являющуюся развитием теории Работнова, основанную на аналогичной связи функции деформации и функции напряжения; эндохронный способ, – с использованием «обобщенного», собственного, внутреннего времени в моноинтегральном представлении.

Обилие подходов может быть объяснено, с одной стороны, незавершенностью решения проблемы описания нелинейного поведения сред, а с другой стороны, – нетривиальным и разнообразным поведением сред, которое приводит к необходимости поиска различных путей. Каждый подход обладает своими достоинствами и недостатками.

Развивающаяся в настоящее время «эндохронная» концепция позволяет унифицировать механические свойства сред при различных физико-химико-механических воздействиях: температуры, радиации, старения, механической нелинейности и т. п. Дает путь модификации других теорий посредством получения параметров эндохронного подхода для них – введения масштабов обобщенного времени в виде «простой» и «сложной» функции, как и функционалов. Предоставляет возможность расширить способы описания. Такой путь делает доступным проведение унифицированного, единообразного сравнения различных теорий по параметрам эндохронной концепции.

В наших работах были получены эндохронные модификации нелинейных уравнений вязкоупругости Больцмана-Персо, технических теорий ползучести с функциями Бейли и Нортона, уравнений вязкоупругости Работнова и Москвитина, уравнения линейной и нелинейной повреждаемости с опорной функцией Журкова, – с надбарьерным и подбарьерным (туннельным) переходами.

2. Теории нелинейной вязкоупругопластичности. Рассмотрим наиболее распространенный подход, когда в шкале (пространстве) обобщенного времени уравнение изотермической нелинейной ползучести (пластичности) имеет вид наследственного квазилинейного интегрального соотношения с «памятью»

, (1)

а «обратное» нелинейное уравнение релаксации также имеет аналогичный квазилинейный вид в шкале обобщенного времени:

. (2)

Здесь , и – лабораторное время, деформация и напряжение, и – операторы ползучести (пластичности) и релаксации, и – их функции; и – обобщенное время.

В случае совпадения времен ползучести (пластичности) и релаксации

(3)

(физически это естественно) уравнения (1) и (2) взаимно обратимы и их функции и могут быть вычислены одна по другой – по любому из линейных соотношений

.

При «простом» механо-временном соответствии (ограничимся рассмотрением напряженно-временного соответствия) обобщенное время

, , (4)

где – масштаб времени по напряжению («простая» функция напряжения). При приложении постоянного напряжения ( – единичная функция Хевисайда, , – предел линейной ползучести (пластичности))

, при .

Простое напряженно-временное соответствие используется для различных сред чаще всего. Наиболее часто применяемые технические теории нелинейной ползучести можно привести к квазилинейному виду (1) с «простым» масштабом времени .

Проведенные в широкой области изменения параметров эксперименты для многих материалов показали, что на самом деле даже при умеренных деформациях среды обладают «сложным» масштабом времени – сложной функцией лабораторного времени и напряжения , даже в режиме нагружения .

В случае немонотонного процесса для соотношения (1) в наших работах введено

, (5)

при или . В случае , т. к. выражение под знаком интеграла становится полным дифференциалом.

Для описания ускоренного или замедленного отклика введены вместо масштаба-функции построенный по иерархическому принципу (через , и т. д.) масштаб-функционал , представляющий собой произведение масштаба и масштаба-функционала , – корректирующий :

, , . (6)

На участках, где , . Функция может зависеть от знака , то есть иметь вид . Для описания ускоренного отклика величина масштаба-функционала должна быть больше единицы, а для замедленного – меньше.

При , .

В случае ступенчатой нагрузки

.

Отметим, что обобщенное время и масштаб-функционал обладают «памятью» (см. (4) и (6)), т. к. учитывают предысторию воздействий на среду.

Степень «сложности» масштаба может быть различной. При сравнении этого масштаба для модифицированных нами по эндохронной концепции теорий Ра­ботнова и Москвитина следует более высокая «сложность» масштаба второй теории. Показано, что при сведении нелинейного уравнения вязкоупругости Больцмана-Воль­терра-Персо к виду с обобщенным временем достаточно применение (5). Что каса­ется масштаба-функционала, то он может базироваться как на линейном функционале (6), так и нелинейном.

Для обобщенного (собственного) времени теории пластичности Валаниса получить его масштаб в явном виде не удается.

По поводу соотношения (3) следует заметить, что оно является дополнительным уравнением, связывающим и . Практика расчетов показала, что это соотношение удобно для практического нахождения (вычисления) масштаба по деформации через масштаб по напряжению и наоборот.

О «простом», «сложном» и «функциональном» масштабировании времени по температуре в неизотермических условиях деформирования упомянуто во введении. Наиболее часто используется первый вид. Нужно отметить, что во втором случае обобщенное время следует определять в неизотермическом процессе по формуле (5), заменив в ней на . В ряде наших работ рассмотрен способ «функционального» масштабирования.

3. Критерии повреждаемости (разрушения, достижения предела текучести и достижения физического (фазового, структурного) перехода. Базирующиеся на интеграле Бейли эндохронного типа критерии прочности и отсутствия текучести в форме повреждаемости, имеют вид

.

Здесь – повреждаемость, – оператор повреждаемости, ( – работа (энергия), – импульс), – кривая длительной прочности () (длительной текучести (пластичности) ()), наступления физического перехода (). Обобщенное время и масштаб могут соответствовать описанным в п. 2 настоящей работы.

Рассмотрена модифицированная путем введения обобщенного времени кинетическая теории прочности Журкова. Численный анализ для различных режимов показал удовлетворительность такого подхода. Масштаб времени по температуре оказался «сложным»: .