Применение одинарных тригонометрических рядов

5.6. Применение одинарных тригонометрических рядов

Решение Навье пригодно только для расчета пластинок, шарнирно опертых по контуру. Более общим является решение Леви. Оно позволяет выполнить расчет пластинки, шарнирно опертой по двум параллельным сторонам, с произвольными граничными условиями на каждой из двух других сторон.

В прямоугольной пластинке, изображенной на рис. 5.11, (a), шарнирно опертыми являются края, параллельные оси y. Граничные условия на этих краях имеют вид

. (5.43)

 

Рис. 5.11

Очевидно, что каждый член бесконечного тригонометрического ряда

(5.44)

удовлетворяет граничным условиям (5.43). Действительно при x = 0 и x = a прогиб w = 0 поскольку ; вторые частные производные функции прогибов

(5.45)

при x = 0 и x = a также равны нулю, поскольку содержат .

В (5.44) Ym – неизвестная пока функция только аргумента у, которая должна быть выбрана так, чтобы было удовлетворено уравнение (5.18) и граничные условия по сторонам пластинки, параллельным оси x.

Запишем четвертые производные от w, входящие в уравнение (5.18)

(5.46)

Подстановка (5.46) в (5.18) дает

. (5.47)

Умножая обе части полученного уравнения на , интегрируя в пределах от 0 до a и помня, что

,

получаем для определения функции Ym такое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

. (5.48)

Если для сокращения записи обозначить

, (5.49)

уравнение (5.48) примет вид

. (5.50)

Общее решение неоднородного уравнения (5.50), как известно из курса дифференциальных уравнений, имеет вид

Ym (y) = jm (y) + Fm (y), (5.51)

где jm (y) – частное решение неоднородного уравнения (5.50); его вид зависит от правой части уравнения (5.50), т. е., фактически, от вида нагрузки q (x, y);

Fm (y) = Am sh amy + Bm ch amy + y (Cm sh amy + Dm ch amy), (5.52)

общее решение однородного уравнения

. (5.53)

Четыре произвольные постоянные Am , Вm , Cm и Dm должны быть определены из четырех условий закрепления краев пластинки, параллельных оси x.

Если нагрузка, приложенная к пластинке постоянна q (x, y) = q правая часть уравнения (5.50) приобретает вид

(5.54)

При m четном jm (y) = 0; при m нечетном

. (5.55)

Поскольку правая часть уравнения (5.55) постоянна, то постоянна и левая его часть; поэтому все производные jm (y) равны нулю, и

, (5.56)

откуда

, (5.57)

где обозначено: .

Рассмотрим пластинку, защемленную вдоль краев, параллельных оси х (рис. 5.11, (в)).

Граничные условия по краям y = ± b/2

(5.58)

. (5.59)

Вследствие симметрии прогиба пластинки относительно оси Оx, в общем решении (5.52) следует сохранить лишь члены, содержащие четные функции. Поскольку sham y – функция нечетная, а сham y – четная и, при принятом положении оси Ох, y sham y – четно, в у cham y – нечетно, то общий интеграл (5.51) в рассматриваемом случае можно представить так

. (5.60)

Поскольку в (5.44) не зависит от значения аргумента y, вторую пару граничных условий (5.58), (5.59) можно записать в виде:

при :

Ym = 0, (5.61)

Y¢m = = 0. (5.62)

(5.63)

Y¢m = am Bm sham y + Cm sham y + y Cm am cham y =

am Bm sham y + Cm (sham y + y am cham y)

Из (5.60) – (5.63) следует

, (5.64)

. (5.65)

Домножив уравнение (5.64) на , а уравнение (5.65) на , сложив, и помня, что ch2am – sh2am = 1, а sh 2am = 2sham cham получим

. (5.66)

Подстановка (5.66) в уравнение (5.64) позволяет получить Bm

. (5.67)

Функция Ym , с учетом (5.60), (5.66) и (5.67), приобретает вид

. (5.68)

При таком выражении функции Ym., формула (5.44) для определения функции прогибов приобретает вид

(5.69)

Ряд (5.69) быстро сходится. Например, для квадратной пластинки в её центре, т. е. при x = a/2, y = 0

(5.70)

Удержав в (5.70) только один член ряда, т. е. приняв , получим величину прогиба, завышенную менее чем на 2,47%. Учтя, что p 5 = 306,02, найдем = 0,00196 . Отметим, что прогиб центра пластинки, опертой по четырем сторонам, в 2,12 раза больше.

Одинарные тригонометрические ряды в решении Леви сходятся значительно быстрее, чем двойные ряды в решении Навье. Поэтому решение Леви более удобно даже для расчета прямоугольной пластинки, шарнирно-опертой по четырем сторонам.

5.7. Вариационный метод

Широко распространенный вариационный метод В..Ритца – базируется на сформулированном в п. 2 вариационном принципе Лагран-жа.

Рассмотрим этот метод применительно к задаче изгиба пластинок. Представим изогнутую поверхность пластинки в виде ряда

, (5.71)

где fi (x, y) непрерывные координатные функции, каждая из которых должна удовлетворять кинематическим граничным условиям; Ci – неизвестные параметры, определяемые из уравнения Лагранжа. Это уравнение

(5.72)

приводит к системе из n алгебраических уравнений относительно параметров Ci.

В общем случае энергия деформации пластинки состоит из изгибной U и мембранной Um частей

, (5.73)

, (5.74)

где Мх., Мy., Мxy – изгибные усилия; Nх., Ny., Nxy – мембранные усилия. Соответствующая поперечным силам часть энергии невелика и ею можно пренебречь.

Если u, v и w – составляющие действительного перемещения, px., py и pz – составляющие интенсивности поверхностной нагрузки, Рi – сосредоточенная сила, Di соответствующее ей линейное перемещение, Мj – сосредоточенный момент, qj – соответствующий ему угол поворота (рис. 5.12) то потенциальную энергию внешних сил можно представить так:

. (5.75)

Если края пластинки допускают перемещения, то краевые силы vn., mn., mnt (рис. 5.12, (а)) увеличивают потенциал внешних сил

. (5.76)

ds

 

(б)

 

Рис. 5.12

Здесь n и t – нормаль и касательная к элементу края ds.

В декартовых координатах, с учетом известных выражений для усилий и кривизн

, (5.77)

, (5.78)

полная потенциальная энергия Э прямоугольной пластинки размером a ´ b, при действии только вертикальной нагрузки pz

(5.79)

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку с отношением сторон 2a ´ 2b (рис. 5.13).

Пластинка защемлена по контуру и нагружена равномерной нагрузкой

pz = q = const. В этом случае выражение (5.79) для энергии Э упрощается

. (5.80)

Примем для w (x, y) ряд

, (5.81)

который удовлетворяет контурным условиям

.

(б)

 

Рис. 5.13

Удержим только первый член ряда

.

Тогда согласно (5.80)

.

Минимизируя энергию Э согласно (5.72) , найдем

.

В первом приближении функция прогибов такова

.

Прогиб центра квадратной пластинки размером 2а ´ 2а

,

что на 2,5% больше точного решения 0,0202 qa4/D. Отметим, что прогиб центра пластинки, опертой по четырем сторонам, в 3,22 раза больше.

Этот пример иллюстрирует достоинства метода: простоту и возможность получения хорошего результата. Пластинка может иметь различные очертания, переменную толщину. Затруднения в этом методе, как, впрочем, и в других энергетических методах, возникают при выборе подходящих координатных функций.

5.8. Метод ортогонализации

Метод ортогонализации, предложенный и , основан на следующем свойстве ортогональных функций ji., jj

. (5.82)

Примером ортогональных функций на интервале (–p, p) могут служить тригонометрические функции cos nx и sin nx для которых

Если одна из функций, например функция ji (x) тождественно равна нулю, то условие (5.82) выполняется для произвольной функции jj (x).

Для решения задачи об изгибе пластинки уравнение –

можно представить так

, (5.83)

где F – площадь, ограниченная контуром пластинки; jij – функции, задаваемые так, чтобы они удовлетворяли кинематическим и силовым граничным условиям задачи.

Представим приближенное решение уравнения изгиба пластинки (5.18) в виде ряда

. (5.84)

Если бы решение (5.84) было точным, то уравнение (5.83) выполнялось бы тождественно для любой системы координатных функций jij., поскольку в этом случае D Ñ2Ñ2 wn – q = 0. Потребуем, чтобы уравнение D Ñ2Ñ2 wn – q было ортогональным к семейству функций jij, и требование это используем для определения коэффициентов Cij.. Подставляя (5.84) в (5.83) получим

. (5.85)

После выполнения некоторых преобразований получим следующую систему алгебраических уравнений для определения Cij

, (5.86)

где

, (5.87)

причем hij = hji .

Методу Бубнова-Галеркина можно дать следующее толкование. Функция D Ñ2Ñ2 wn – q = 0 является по сути дела уравнением равновесия и представляет собой проекцию внешних и внутренних сил, действующих на малый элемент пластинки в направлении вертикальной оси z. Функция прогибов wn есть перемещение в направлении той же оси, а функции jij можно считать возможными перемещениями. Следовательно, уравнение (5.83) приближенно выражает равенство нулю работы всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях jij.. Таким образом метод Бубнова-Галеркина по сути своей является вариационным.

В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластинку, защемленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой. Размеры пластинки и расположение координатных осей такие же, как на рис. 5.6.

Граничные условия

при x = 0, x = а: w = 0, ,

при y = 0, y = b: w = 0, .

Приближенное выражение для функции прогибов выберем в виде ряда (5.84) где функция jij

удовлетворяет граничным условиям; Cij – искомые коэффициенты. Ограничившись одним членом ряда

,

получим следующее уравнение

После интегрирования

Откуда вычислим коэффициент С11

,

который полностью соответствует коэффициенту С11., полученному методом

В. Ритца – .

В первом приближении функция прогибов такова

.

Максимальный прогиб в центре квадратной пластинки размером а ´ а

.

5.9. Применение метода конечных разностей

Рассмотрим применение метода конечных разностей для прямоугольных пластинок со сложными контурными условиями. Разностный оператор – аналог дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки (5.18), для квадратной сетки, при Dx = Dy = D принимает вид (3.54)

20 wi, j + 8 (wi, j+1 + wi, j–1 + wi–1, j + wi+1, j) + 2 (wi–1, j–1 + wi–1, j+1 +

(5.88)

wi+1, j+1 + wi+1, j–1) + wi, j+2 + wi, j–2 + wi+2, j + wi–2, j = .

Рассмотрим квадратную пластинку размером 2а ´ 2а, на всех краях жестко защемленную, и нагруженную равномерно-распределенной нагрузкой (рис. 5.14, (а))

 

Рис. 5.14

С учетом наличия трех осей симметрии нагружения и деформаций пластинки, можно ограничиться рассмотрением её восьмушки и определять величины прогибов только в узлах 1...10 (рис. 5.14, (б)). На рис. 5.14, (б) представлены сетка и нумерация узлов (D = а/4).

Поскольку края пластинки защемлены, то записав контурные условия (5.25), (5.26) в конечных разностях

получим

(5.89)

Составив уравнения (5.88) для узлов 1...10 с учетом (5.89) получим следующую систему алгебраических уравнений

.

Решив систему уравнений, найдем прогибы

{w}T = {0,42 0,98 1,38 1,52 2,32 3,30 3,66 4,74 5,26 5,83} .

Прогиб в центре пластинки будет наибольшим

.

В случае нагружения квадратной пластинки сосредоточенной силой Р в центре

.

Прогибы пластинки

{w}T={0,008 0,028 0,049 0,058 0,085 0,143 0,171 0,243 0,296 0,367}.

Прогиб в центре пластинки

.

Величины моментов и поперечных сил можно получить при помощи следующих разностных формул

(5.90)

, (5.91)

. (5.92)

На рис. 5.15 представлены эпюры внутренних усилий в защемленной по контуру квадратной пластинке, нагруженной: (а) равномерно-распределенной нагрузкой; (б) сосредоточенной силой в центре. Сравнение рис. 5.15 и рис. 5.8 позволяет сделать вывод о том, что в случае жесткого защемления краев прогибы и моменты в центре пластинки в 2,7 раза меньше, чем при шарнирном опирании. На контуре пластинки возникают отрицательные моменты, по абсолютной величине большие, чем в центре.

Рассмотрим теперь квадратную пластинку, свободно опертую в углах. Контурные условия в этом случае для узла А угла пластинки (рис. 5.14, (б))

wA = 0, VA = R, где R – опорная реакция. Для узлов a, b, с, d краев пластинки, свободных от связей и внешних сил, условия (5.24), необходимо представить в конечных разностях. На рис. 5.16 приведены эпюры внутренних усилий в опертой в углах квадратной пластинке нагруженной: (а) равномерно-распределен-ной нагрузкой; (б) сосредоточенной силой в центре. Прогибы такой пластинки существенно больше (соответственно для нагружения (а) – в 6 раз, (б) – в 3,5 раза) чем в шарнирно опертой пластинке. Отсутствие опирания краев вызывает заметное увеличение моментов, причем в полосах пластинки вдоль краев в случае нагружения (а) изгибающие моменты больше, чем в центре пластинки.

 

Рис. 5.15

 

Рис. 5.16