Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$из $ X$в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$и $ g$и обозначается $ g\circ f$.

http://*****/blok/ris/image130.png

Рис.1.30.Сквозное отображение $ x\mapsto u\mapsto y$из $ X$в $ Y$

Таким образом, $ g\circ f:X\to Y$, $ (g\circ f)(x)=g(f(x))$при всех $ x\in X$. Другое название композиции-- сложная функция (так как сквозное отображение $ g\circ f:x\mapsto u\mapsto y$"сложено" из отображений $ f:x\mapsto u$и $ g:u\mapsto y$).

Пример 1.18 Пусть $ f(x)=\sin x$, $ x\in X=[0;\frac{\pi}{2}]$, и $ g(u)=\sqrt{1-u^2}$, $ u\in U_2=[-1;1]$. Тогда $ \mathcal{E}(f)=[-1;1]=U_2$, и определена композиция

$\displaystyle h(x)=(g\circ f)(x)=\sqrt{1-\sin^2x}=\cos x.$

Упражнение 1.3 Покажите, что если заменить множество $ X$в предыдущем примере на $ X=[-\frac{\pi}{2};0]$, то композиция $ g\circ f$снова будет определена, но равна теперь $ -\cos x$, а не $ \cos x$.

Пример 1.19 Пусть $ f(x)=x+\frac{\pi}{2}$, $ x\in X=\mathbb{R}$, и $ g(u)=\sin u$, $ u\in U_2=\mathbb{R}$. Тогда определена композиция $ g\circ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, заданная формулой $ y=g(f(x))=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. По известной формуле приведения полученная композиция-- это косинус: $ (g\circ f)(x)=\cos x$при всех $ x\in\mathbb{R}$.

Замечание 1.5 Даже если для функций $ f$и $ g$имеют смысл обе композиции $ {h_1=f\circ g}$и $ {h_2=g\circ f}$(что бывает далеко не для любой пары функций $ f$и $ g$), то функции $ h_1$и $ h_2$не обязаны совпадать; как правило, это не так.

Пример 1.20 Пусть $ f(x)=x^2$и $ g(x)=\sin x$, $ X=U_1=U_2=Y=\mathbb{R}$. Тогда $ h_1(x)=f(g(x))=\sin^2x$, а $ h_2(x)=g(f(x))=\sin(x^2)$. Очевидно, что это разные функции: $ \sin^2x\geqslant 0$при всех $ x\in\mathbb{R}$, а $ \sin(x^2)$принимает значение $ -1$, например, при $ x=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}$.

Применяя композицию функций, которые сами могут получаться как композиции, мы можем получать сложные функции вида $ h(g(f(x)))$и более длинные композиции.