МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. П. ОГАРЁВА»
ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ
Кафедра «АВТОМАТИКА»
М. В. ИЛЬИН
с. с. КАПИТОНОВ
Б. И. ПЕТРОВ |
Прохождение сигналов
различной формы
через линейные RC-цепи
Лабораторный практикум
по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника»
САРАНСК
2012
УДК 621.391.3.011.71(076)
ББК Б534
Рецензент:
, доктор технических наук, профессор кафедры системотехники Саратовского государственного технического университета им.
|
Б534
Прохождение сигналов различной формы через линейные RC-цепи: лаборатораторный практикум / Н. Н. Беспалов, М. В. Ильин, , . — Саранск : Ковылк. тип., 2012. — 24 с.
ISBN ___________
Содержатся теоретические сведения и методические указания к выполнению лабораторной работы «Прохождение сигналов различной формы через линейные RC-цепи» по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника». Предназначено для студентов направлений подготовки «Электроника и наноэлектроника», «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Электроэнергетика и электротехника» и «Приборостроение». Однако данным пособием смогут пользоваться студенты и других специальностей связанных с электротехникой, электроникой и радиотехникой.
Печатается по решению научно-методического совета Мордовского государственного университета им. ёва.
УДК 621.391.3.011.71(076)
ББК Б534
ISBN ___________ | © , , 2012 |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий лабораторный практикум содержит описание первой лабораторной работы, которая проводится при изучении студентами дневной и заочной форм обучения импульсных цепей в рамках курса «Электронные цепи и микросхемотехника».
Основной целью данной работы является изучение процессов передачи импульсов различной формы через RC-цепи.
Поскольку выполнение лабораторных работ по изучаемому курсу часто опережает лекционное изложение соответствующих разделов, в описании работы введены теоретические приложения, которые могут служить учебными пособиями к соответствующим разделам курса, а также пособиями по курсовому проектированию и типовым расчетам.
Однако использование для подготовки к лабораторной работе только одного теоретического приложения является недостаточным. Необходимо изучение соответствующих разделов в литературе, приведенной в конце сборника.
При подготовке к очередной работе студент обязан ознакомиться с описанием работы, теоретическим пособием, указанной литературой, а также выполнить предварительное расчетное задание.
Отчёт по работе должен содержать изучаемые схемы, выполненное предварительное расчетное задание и полученные результаты. Отчет должен быть оформлен аккуратно на листах стандартного размера А4, а также представлен в электронном виде.
Порядок прохождения данной лабораторной работы следующий.
1. Группа студентов, приступающая к выполнению лабораторных работ, должна пройти инструктаж по общим правилам поведения в данной лаборатории и по правилам техники безопасности, о чем делается запись в соответствующем журнале с росписью каждого студента.
2. Перед очередным занятием каждый студент сдает коллоквиум по текущей работе. Если студент не готов к работе или не выполнил предварительное расчетное задание, то он к работе не допускается.
3. На следующем занятии после выполнения работы, студент должен предъявить оформленный отчёт по выполненной работе и защитить работу.
Студенты, не защитившие двух работ к моменту выполнения очередной работы, к занятиям не допускаются. Оформление отчёта по работе проводится каждым студентом.
Все лабораторные работы по изучаемому курсу рассчитаны на четырехчасовое занятие в аудитории и четырехчасовую домашнюю подготовку.
1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Линейными цепями называются цепи, состоящие из совокупности линейных элементов, т. е. элементов, номинальные значения которых не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Для всех линейных цепей применим принцип суперпозиции. Например, для описания процессов в линейных цепях можно использовать методы, основанные на применении интеграла Дюамеля, или методы гармонического анализа. Рассматриваемые RC-цепи используются во многих практических схемах в качестве функциональных преобразователей. В зависимости от структуры и соотношения параметров элементов RC-цепи могут использоваться для дифференцирования (фильтр высоких частот) или интегрирования (фильтр низких частот) входных сигналов.
Для анализа переходных процессов в импульсных цепях используются классический, операторный, частотный методы, а также метод интеграла Дюамеля (суперпозиционный метод).
Классический метод. При расчете переходных процессов этим методом входной сигнал представляется в виде функции Uвх(t), а исследуемая RC-цепь описывается дифференциальным уравнением (ДУ), устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями, параметрами элементов схемы и внешним воздействием. При составлении ДУ используют ряд законов и теорем, определяющих связь между напряжениями и токами. Основными из них являются закон Ома, коммутации, Кирхгофа и теорема об эквивалентном генераторе.
Во многих случаях при анализе переходных процессов эквивалентная схема исследуемой цепи описывается ДУ первого порядка с постоянной правой частью:
, (1)
где τ —постоянная времени, характеризующая инерционность цепи; x(t) —искомая величина (ток, напряжение); Z0 — внешнее возмущающее воздействие.
Общее решение уравнения (1) имеет вид:
,
где x1(t) - общее решение однородного уравнения; x2(t) — частное решение ДУ (1).
Решение однородного уравнения имеет вид:
,
где А — постоянная интегрирования (находится из начальных условий); р — корень характеристического уравнения 
, откуда 
.
Таким образом, общее решение ДУ (1) запишется в виде:
. (2)
Так как Z0 = const, то частное решение x2(t) также является постоянной величиной.
Подставляя в (2) значения 
и 
, найдем:
, 
.
Следовательно, решение ДУ (1) можно записать в виде
.
Это решение используется при анализе переходных процессов в цепях, содержащих один реактивный элемент. При большем числе реактивных элементов анализ переходных процессов связан со значительными трудностями из-за вычисления корней характеристического уравнения и нахождения постоянных интегрирования.
Операторный метод. При анализе переходных процессов этим методом переходят от действительного переменного t к комплексному переменному р, используя прямое преобразование Лапласа.
. (3)
Для конкретной RC-цепи определяют операторный коэффициент передачи К(р), затем находят изображение выходного напряжения 
и по функции Uвых(р) определяют оригинал Uвых(t), используя обратное преобразование Лапласа:
.
Если изображение Uвых(р) представляет собой рациональную дробь вида Uвых(р)=F1(p)/F2(p), где F1(p), F2(p) — многочлены, не имеющие общих корней, причем если степень многочлена F2(p) больше степени многочлена F1(p) и все корни рк уравнения F2(p)= 0 различны и ни один из них не равен 0, то оригинал Uвых(t)определяется по формуле:
.
Если изображение Uвых(р) представляет собой рациональную дробь вида Uвых(р)=F1(p)/рF2(p), то оригинал находится из выражения:
.
Если знаменатель изображения Uвых(р) имеет наряду с простыми корнями р1, р2 …, рn корень рn+1 кратности a, т. е. изображение Uвых(р) записывается в виде дроби:
,
то оригиналом Uвых(t)будет функция:
.
Частотный способ. При использовании этого метода входной сигнал Uвх(t)на основании прямого преобразования Фурье представляется в виде частотного спектра Uвх(jw). Затем находится комплексный коэффициент передачи К(jw)исследуемой цепи, после чего определяется спектр выходного сигнала:
Uвых(jw)= Uвх(jw) К(jw).
Переход от спектра к временной зависимости Uвых(t) осуществляется по таблицам или используют обратное преобразование Фурье:
.
Этот метод в основном применяется для приближенного анализа переходных процессов в сложных цепях, особенно в тех случаях, когда амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики цепи легко получаются экспериментальным путем.
Метод интеграла Дюамеля. Этот метод используется при входном сигнале Uвх(t)сложной формы. Выходное напряжение находят из выражения:
,
где Uвх(0) — входное напряжение в начальный момент времени, h(t) — переходная характеристика цепи, t - переменная интегрирования.
Прохождение через RC-цепи ступеньки напряжения. Рассмотрим прохождение ступеньки напряжения с амплитудой Um через RC-цепь (рисунок 1а, б).
Рисунок 1 — Прохождение ступеньки напряжения через RC-цепь.
Входной сигнал можно записать в виде
 |
0 при t < 0
Uвх(t)=Um при t > 0.
При использовании классического метода необходимо составить ДУ RC-цепи. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать:
Uвых(t) = Uc(t) + Uвх(t). (4)
При подаче входного сигнала через ёмкость С протекает ток i(t) и напряжение на ёмкости 
. Умножим и разделим правую часть этого выражения на величину резистора R и подставим полученное значение в выражение (4) получим:
.
Учитывая, что Ri(t) = Uвых(t), и дифференцируя правую и левую части этого уравнения, получим:
.
Обозначив RC через t , запишем последнее уравнение в виде:
.
Подставив в полученное уравнение значение Uвх(t), для выходного напряжения получим:
.
Следовательно, выходной сигнал для данной RC-цепи при подаче на вход ступеньки напряжения будет изменяться по экспоненте с постоянной времени t (см. рисунок 1б).
Напряжение на ёмкости Uс(t) можно определить из следующего выражения:
.
Для нахождения выражения Uвых(t) в данном случае можно воспользоваться уравнением (3), которое запишутся в виде:
,
где 
— выходное напряжение при t = ∞ (после окончания переходного процесса, т. е. при = 0); Uвых(0) — выходное напряжение при t = 0, (в момент коммутации, когда Uвых(0) = Um).
Следовательно, выходное напряжение определится как:
.
При решении этой задачи операторным методом найдем изображение входного сигнала Uвх(р), воспользовавшись прямым преобразованием Лапласа 
. Операторный коэффициент передачи К(р) для данной RC-цепи определится следующим образом:
.
Находим изображение оригинала Uвых(t) воспользуемся обратным преобразованием Лапласа или таблицами и получим .
Прохождение через RC-цепь импульса прямоугольной формы. На рисунке 2а изображена RC-цепь, на вход которой подается прямоугольный импульс с амплитудой Um и длительностью. Входной сигнал можно представить в виде двух разнополярных перепадов напряжения величиной Um , сдвинутых друг относительно друга на время tи (рисунок 2б).
Рисунок 2 — Прохождение через RC-цепь импульса прямоугольной формы.
Для нахождения выходного напряжения операторным способом запишем, используя теорему запаздывания, изображение входного сигнала напряжения:
 |
при 0< t < tи
Uвх(р)=
при t > 0.
Изображение выходного напряжения находим путем умножения операторного коэффициента усиления K(p) на изображение входного сигнала Uвх(р). После преобразований получим:
при 0< t < tи
Uвых(р)= 
при tи > 0,
а затем, используя обратное преобразование Лапласа, находим временную функцию Uвых(t):
при 0< t < tи
Uвых(t)= 
при tи > 0.
Форма выходного импульса зависит от соотношения tи и τ. На рисунке 3а приведена форма выходного сигнала при τ << tи , а на рисунке 3б изображен выходной сигнал при τ >> tи. Из рисунка видно, что в случае, если RC-цепь должна передавать прямоугольный импульс без искажения, то нужно выбирать соотношение τ >> tи. Для оценки искажений вершины импульса используют относительный спад вершины импульса Δ:
.
Рисунок 3 — Форма выходного сигнала для различных t.
Аналогично можно определить форму выходного сигнала для RC-цепи, изображенной на рисунке 4а (интегрирующая RC-цепь). Из рисунка 4б видно, что для передачи импульса с минимальными искажениями фронта необходимо выбирать τ << tи.
Рисунок 4 — Интегрирующая RC-цепь.
Длительность фронта выходного импульса, определяемую для уровней 0,1Um и 0,9 Um, находим из выражения tф = 2,2τ (рисунок 5).
Рисунок 5 — К определению длительности фронта импульса.
Прохождение через RC-цепь линейно-нарастающего напряжения. На рисунке 6 представлена RC-цепь, на вход которой поступает линейно-нарастающее напряжение Uвх(t)=kt, где k=tgα — коэффициент пропорциональности.
Рисунок 6 — Прохождение линейно-нарастающего напряжения через RC-цепь.
Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в этой цепи, имеет вид:
, откуда 
.
Для t<<τ функцию 
можно представить в виде ряда:
Отбросив малые третьего и выше порядка, получим:
.
Отсюда видно, что при малых значениях t (t<<τ) выходное напряжение практически совпадает с входным, т. е. Uвых(t) ≈ kt.
Искажение формы выходного сигнала:
,
где 
- нижняя граничная частота, определяемая при спаде частотной характеристики, равном 3 дб. Например, для передачи напряжения развертки с длительностью 2 мс и отклонением от линейности не более 0,1% из последнего уравнения находим, что необходимо иметь fн < 0,16 Гц или RC = τ > 1с.
При t >> τ выходное напряжение стремится к постоянной величине kτ. Напряжение на ёмкости С может быть найдено следующим образом:
.
Для нахождения формы выходного сигнала при подаче входного сигнала сложной формы последний представляют в виде суммы простейших сигналов и находят реакцию RC-цепи на каждый из них — такой подход называют принципом суперпозиции. Например, на рисунке 7 показано, как можно представить входной сигнал трапецеидальной формы в виде четырех линейно нарастающих напряжений разной полярности, начало которых определяется точками перегиба входного сигнала.
Рисунок 7 — Представление напряжения трапециидальной формы в виде четырех линейно-нарастающих сигналов.
Резисторные делители с несколькими входами. Пример схемы многовходового делителя приведён на рисунке 8.
Рисунок 8 — Схема многовходового делителя.
В соответствии с методом узловых напряжений:
,
где 
; 
.
В частном случае, когда 
, из формулы следует:
,
а при 
:
.
Из полученных выражений видно, что величина выходного напряжения определяется суммой входных напряжений, взятых с некоторыми весомыми (масштабными) коэффициентами; уровень выходного напряжения зависит не только от уровней входных напряжений 
, но и от числа слагаемых напряжений, соотношения величин сопротивлений связи 
и сопротивления нагрузки 
.
Резисторные делители с ёмкостной нагрузкой. Во многих импульсных устройствах резисторный делитель оказывается нагруженным ёмкостью С (рисунок 9); в частности, эта ёмкость может быть входной паразитной ёмкостью нагрузки (усилителя, ключевого каскада и т. п.).
а. б.
Рисунок 9 — Резисторный делитель, нагруженный ёмкостью C.
При передаче импульса через такой делитель происходит растягивание его фронтов, обусловленное процессами заряда и разряда конденсатора С, и уменьшение его амплитуды, обусловленное наличием делителя (
). Так, при подаче на вход делителя прямоугольного импульса на выходе получим импульс с фронтами, длительность которых равна:
и амплитудой:
,
где Е — амплитуда входного импульса.
Последние соотношения становятся очевидными, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генераторе и преобразовать часть схемы (рисунок 9, а) левее точек p и q к виду, показанному на рисунке 9, б.
Здесь:
; 
.
Резисторно-ёмкостные делители. В ряде случаев для передачи перепадов входного напряжения выход резистора 
шунтируется конденсатором достаточно большой ёмкости; соответствующий резисторно-ёмкостный делитель изображён на рисунке 10, а, иллюстрирующие временные диаграммы — на рисунке 10, б.
а. б.
Рисунок 9 — Прохождение прямоугольного импульса через резисторно-ёмкостной делитель.
Пусть на вход такого делителя подан прямоугольный импульс напряжения с амплитудой Е, причём будем считать, что источник входных импульсов — идеальный, лишённый внутреннего сопротивления, и, следовательно, способный развивать бесконечно большую мощность.
В момент коммутации (t = 0) происходит бесконечно большой скачок тока через ёмкости 
и 
, и в результате на ёмкостях получаются мгновенные конечные скачки напряжения 
и 
.
Действительно, для любого момента времени t ≥ 0:
,
где 
и 
— заряды на конденсаторах и в момент t. При t = 0 
= 
, так как при t = 0 ток проходит только через ёмкости и то:
.
Следовательно, при t = 0:
,
откуда 
.
Поэтому:
; 
.
Несмотря на наличие в цепи делителя двух ёмкостей, она является цепью 1-ого порядка, в чём нетрудно убедиться, если преобразовать её в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе и учесть, что внутренне сопротивление входного идеального генератора равно нулю.
Постоянная времени делителя τ = (
) (
). При 0 < t < 
напряжения 
и 
стремятся к установившимся уровням:
; 
.
Законы изменения и имеют вид:
,
.
Заметим, что начальный скачок выходного напряжения тем больше, чем сильнее неравенство 
; при 
, т. е. перепад входного напряжения почти без потерь передаётся через ёмкость 
на выход. При 
начальный скачок 
и при t > 0 после начального скачка 
будет убывать. При 
, т. е. , 
и процесс устанавливается скачком; в последнем случае делитель называется уравновешенным (компенсированным).
По окончании входного импульса в схеме делителя происходит процесс восстановления исходного состояния, т. е. разряд ёмкостей и до начальных (при t > 0) уровней напряжения.
В некоторых устройствах (например, в мультивибраторах) в резисторно-ёмкостном делителе резистор 
отсутствует; очевидно, что все полученные выше соотношения остаются справедливыми и в этом случае, если в них положить 
.
На практике используются и резисторно-ёмкостные делители с несколькими входами.
2 РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ
Цель работы: Исследование влияния параметров RC-цепей на искажение формы передаваемых импульсов.
1. По заданию преподавателя для одной из представленных на рисунке 10 схем и выбранных величин параметров элементов рассчитать относительный спад вершины и длительности фронта выходного сигнала при подаче на вход однополярного прямоугольного импульса.
2. Для выбранной RC-цепи и параметров ее элементов рассчитать искажение формы выходного сигнала при подаче на вход линейно-нарастающего напряжения (пилообразного импульса).
3. Для выбранной схемы создать модель в Multisim. Экспериментально с помощью виртуального осциллографа определить величины параметров выходных импульсов, приведённых в пунктах 1 и 2, и сравнить их с расчётными величинами. Сохранить в виде графических файлов осциллограммы входных и выходных импульсов для последующего формирования отчёта.
4. В созданной в пункте 3 модели заменить источник входного сигнала на источник сигнала сложной формы. Варианты сложных сигналов приведены на рисунке 11. Форма сигнала задаётся преподавателем. Результаты моделирования привести в отчёте в виде осциллограмм входного и выходного сигнала.
Рисунок 10 — Схемы исследуемых RC-цепей.
Рисунок 11 — Входные сигналы различной формы.
3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте основные принципы классического метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
2. Сформулируйте основные принципы операторного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
3. Сформулируйте основные принципы частотного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.
4. Какие цепи называют линейными?
5. В чем заключается принцип суперпозиции при анализе сигналов сложной формы?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Улахович теории линейных электрических цепей / . — СПб. : БХВ-Петербург, 2009. — 816 с.
2. Белецкий линейных электрических цепей. Издание 2 / — М. : Лань, 2011. — 544 с.
3. Колонтаевский : Учеб. пособие для СПТУ / . — М. : Высш. шк., 1988. —304 с.
4 Радиотехника: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , , . — М. : Просвещение, 1986. —319 с.
5. Гольденберг устройства / . М. : Радио и связь, 1981. — 221 с.
6. Гоноровский цепи и сигналы: Учебник для вузов. 4-изд., пераб. и доп. / . М. : Радио и связь, 1988. —512 с.
СОДЕРЖАНИЕ
предисловие ………………………………………………………. | 3 | |
1 | Краткие теоретические сведения ………………………………… | 4 |
2 | Рабочее задание …………………………………………………… | 19 |
3 | Контрольные вопросы …………………………………………… | 22 |
Библиографический список ……………………………………… | 22 |
ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ
РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ RC-ЦЕПИ
Лабораторный практикум
по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника»
Учебное издание
|
С. С. КАПИТОНОВ, .
Печатается в соответствии с предоставленным
оригинал-макетом
Сдано в набор __.11.2012. Подписано в печать __.12.2012.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 0,00 Усл. печ. л. ___. Тираж 100 экз.
Заказ
Мордовский государственный университет им. ёва
430005 8
Отпечатано в Ковылкинской типографии Министерства печати и информации Республики Мордовия
431350 б.
