Дифференциальные уравнения

Московский государственный институт электроники и математики

Факультет прикладной математики

УТВЕРЖДАЮ

_______________________

"_____"__________________200__ г.

ПРИМЕРНАЯ ПРОГРАММА

Наименование дисциплины Дифференциальные уравнения_____________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей))

231300 Прикладная математика __________________________________

Квалификации (степени) выпускника Бакалавр_________

1. Цели и задачи дисциплины

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает подготовку по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся важным инструментом исследования многих задач естествознания и техники. В процессе освоения дисциплины студенты осваивают методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, методы решения линейных уравнений порядка n, а также методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. Содержание дисциплины имеет многочисленные приложения и является одним из фундаментов будущей практической и научной деятельности специалиста.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

При изучении дисциплины "Дифференциальные уравнения" используются понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, высшей алгебры, а также элементы теории функций комплексного переменного и функционального анализа. Предложенные в курсе методы решения дифференциальных уравнений находят широкое применение в курсах теории вероятностей и математической статистики, физики и других науках.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению Прикладная математика:

а) общекультурных (ОК):

– владеть культурой мышления, иметь способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

– уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);

– стремиться к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);

– использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-12);

– использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности (ОК-11);

– быть способным оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы (ОК-14);

– уметь создавать и редактировать тексты профессионального назначения (ОК-15);

– быть способным использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ОК-16);

б) профессиональных (ПК):

– быть готовым к самостоятельной работе (ПК-1);

– быть способным использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования (ПК-2);

– быть способным использовать стандартные пакеты прикладных программ для решения практических задач на ЭВМ, отлаживать, тестировать прикладное программное обеспечение (ПК-3);

– быть готовым применять на практике базовые общепрофессиональные знания теории и методов полевых геологических исследований (ПК-9);

– быть способным применять на практике методы сбора полевой геологической, информации (ПК-10);

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: понятие дифференциального уравнения, поля направлений, элементарные приемы интегрирования, задачу Коши, теоремы существования и единственности, общую теорию линейные систем, системы с постоянными коэффициентами, устойчивость по Ляпунову, особые точки.

Уметь: определять возможности применения теоретических положений и методов дифференциальных уравнений для постановки и решения конкретных прикладных задач; уметь определять тип и находить решение основных типов дифференциальных уравнений и систем.

Владеть: стандартными методами теории дифференциальных уравнений и их применением к решению прикладных задач.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3
Аудиторные занятия (всего)	72			72
В том числе:
Лекции				36
Практические занятия (ПЗ)				36
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	36			36
В том числе:
Курсовая работа
Самостоятельная подготовка	36			36
Виды текущего контроля успеваемости	6			6
Коллоквиум	2			2
Контрольные работы письменные	4			4
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость часы зачетные единицы
4			4

5. Содержание дисциплины и виды занятий

5.1 Содержание

1. Задача Коши для нормального уравнения 1-го порядка. Типы уравнений, решаемых в квадратурах.

Основные определения для уравнения 1-го порядка (интегральная кривая, интеграл, общее решение, общий интеграл, задача Коши, особая точка, цикл, исключительное направление, изоклина, сепаратриса, нарушение единственности решения, неограниченная продолжаемость решения.) Геометрический смысл нормального уравнения 1-го порядка и задачи Коши для него.

Исследование поведения интегральных кривых уравнений с разделяющимися переменными в окрестности вертикальных и горизонтальных интегральных прямых. Исследование поведения интегральных кривых однородного уравнения в окрестности изолированного инвариантного луча.

2. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной. Понижение порядка.

Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. Следствия из теоремы о неявной функции. Дискриминантная кривая. Методы введения параметра (на упражнениях). Уравнения Клеро и Лагранжа. Задача Коши для нормального уравнения порядка . Уравнение порядка , не разрешенное относительно старшей производной. Следствия из теоремы о неявной функции. Случаи понижения порядка (на упражнениях).

3. Теорема Коши‑Липшица. Непродолжаемые решения.

Теорема Коши‑Липшица для нормального уравнения 1-го порядка. Непродолжаемые решения: существование и единственность. Теорема Винтнера (признак отсутствия решений с конечным временем определения). Теорема Коши-Липшица для нормальной системы. Следствия из теорем Коши-Липшица и Винтнера для линейных уравнений и систем. Понятия производной в силу системы и первого интеграла системы. Пример системы, имеющей первый интеграл (консервативная система с одной степенью свободы). Пример неавтономной системы, имеющей автономный первый интеграл.

4. Линейные уравнения порядка n.

Однородное уравнение, пространство его (вещественнозначных) решений, теорема о его размерности, фундаментальная система решений. Вронскиан, его свойства, дифференцирование определителя из функций. Комплекснозначные решения, теорема Коши и теорема о размерности пространства решений однородного уравнения. Построение фундаментальной системы решений в случае постоянных коэффициентов. Теорема о необходимом условии приводимости линейного уравнения n - порядка к уравнению с постоянными коэффициентами. Приводимость уравнений Эйлера и Чебышева. Неоднородное уравнение, его общее решение. Метод вариации произвольных постоянных и ядро Коши. Метод подбора в случае постоянных коэффициентов и специальных правых частей.

5. Нормальные линейные системы 1-го порядка.

Однородная система, пространство ее решений, теорема о его размерности (два варианта: вещественнозначные и комплекснозначные решения), фундаментальная система решений. Вронскиан, его свойства, теорема Лиувилля о вронскиане системы решений. Фундаментальная матрица, ее общий вид. Теорема о приведении матрицы к жордановой форме (формулировка), собственные и присоединенные векторы. Построение фундаментальной системы решений однородной системы с постоянными коэффициентами 1) при помощи собственных и присоединенных векторов, 2) методом неопределенных коэффициентов, 3) методом исключения. Матричная экспонента, ее построение при помощи интерполяционного многочлена для экспоненты. Неоднородная система, ее общее решение, метод вариации произвольных постоянных, матрица Коши. Метод подбора в случае постоянных коэффициентов и специальных правых частей (формулировка). Необходимые условия устойчивости и асимптотической устойчивой линейной системы в терминах следа матрицы системы. Простейшие классы устойчивых линейных систем. Критерий Гурвица.

6. Автономные нормальные системы 1-го порядка. Устойчивость положений

равновесия.

Автономная нормальная система 1-го порядка. Траектории, их свойства, циклы, положения равновесия. Случай скалярного уравнения. Устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость положения равновесия. Их признаки в случае однородной системы с постоянными коэффициентами. Фазовая плоскость однородной системы с постоянными коэффициентами и двумя неизвестными функциями. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости положения равновесия.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми

(последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8	…

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№№ пп	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	ПЗ
1	Задача Коши для нормального уравнения 1-го порядка. Типы уравнений, решаемых в квадратурах	4	12
2	Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной. Понижение порядка	4	4
3	Теоремы Коши и Коши‑Липшица. Непродолжаемые решения	8	6
4	Линейные уравнения порядка n	8	12
5	Нормальные линейные системы 1-го порядка	8	12
6	Автономные нормальные системы 1-го порядка. Устойчивость положений равновесия	4	8
ВСЕГО:		36	54

7. Примерная тематика курсовых проектов (работ) курсовые работы не предполагаются___________________________________________________________________________

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература

. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. . Курс дифференциальных уравнений. А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Наука, 1985. . Лекции по математической теории устойчивости.

б) дополнительная литература

1. . Линейные дифференциальные уравнения второго порядка (асимптотическое поведение устойчивости решений).

2. . Задачи и теоремы из обыкновенных дифференциальных уравнений

( в трех частях).

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

В учебном процессе, во время чтения лекций, которые составляют 44% аудиторных занятий, используется мультимедийный проектор, при помощи которого на экране демонстрируются чертежи и анимационные видеоклипы, иллюстрирующие изучаемы понятия.

Во время практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины, защита курсовых работ, сдача коллоквиума, во время студенты привыкают говорить и мыслить на языке математики). В сочетании с внеаудиторной работой это способствует формированию и развитию профессиональных навыков обучающихся.

10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций.

– проведение практических занятий с обсуждением лекционного материала и решением задач.

Для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации по дисциплине могут использоваться: устный опрос (УО) в виде коллоквиума, теста; письменные работы (ПР) в виде контрольных работ (КР); зачет и экзамен. Оценка на экзамене может быть выставлена с учетом всех перечисленных форм контроля и промежуточной аттестации.

Для текущей и промежуточной аттестации студентов в выполняется 3 письменных контрольных работы. Кроме того, сдается один коллоквиум.

Типовые варианты контрольных работ.

Контрольная работа №1

Найти общие решения уравнений:

1. ; 2. ; 3.

4. Построить картину интегральных кривых уравнения

5. Решить задачу Коши:

Контрольная работа №2

1.  Решить уравнение Эйлера

2.  Найти ядро Коши, решить уравнение (частное решение написать с неопределенными коэффициентами)

3.  Записать общий вид решения уравнения (частное решение написать с неопределенными коэффициентами)

4.  Найти ядро Коши, записать общее решение системы

5. Решить систему

Контрольная работа №3

Построить фазовый портрет консервативных систем:

1. , 2.

3. Построить картину интегральных кривых уравнения

4. Найти ядро Коши, записать формулу для решения уравнения

5. Уничтожить член с первой производной, решить уравнение

6. Найти матрицу Коши для системы: где