5 класс

5 класс

5.1. Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, написанными в указанном порядке, поставьте знаки сложения и умножения так, чтобы поученное выражение имело значение 100. (Использовать скобки нельзя. Между любыми двумя соседними цифрами должен стоять знак «+» или «×».

5.2. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Таким образом, получается ряд цифр: … Определите, какая цифра стоит на 2889-м месте.

5.3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

5.4. Вовочка собрал в коробку жуков и пауков – всего 8 штук. Если всего в коробке 54 ноги, сколько там пауков? (У жуков 6 ног, у паука 8.)

5.5. Витя Выложил из карточек пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?

5 класс

5.1. Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, написанными в указанном порядке, поставьте знаки сложения и умножения так, чтобы поученное выражение имело значение 100. (использовать скобки нельзя. Между любыми двумя соседними цифрами должен стоять знак «+» или «×».

5.2. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Таким образом, получается ряд цифр: … Определите, какая цифра стоит на 2889-м месте.

5.3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

5.4. Вовочка собрал в коробку жуков и пауков – всего 8 штук. Если всего в коробке 54 ноги, сколько там пауков? (У жуков 6 ног, у паука 8.)

5.5. Витя Выложил из карточек пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?

Решения задач

5 класс

5.1.

5.2. Ответ: цифра 9.

5.3. Ответ: 15.

5.4. Ответ: 3 паука.

Если все 8 жуки, то ног 6×8=48. Чем отличается паук от жука? У паука на 2 ноги больше! Значит, заменяя жука на паука, мы увеличиваем число ног на две и таких замен надо произвести (54-48):2=3.

5.5. Начнем проверять пример. В разряде единиц, а также в разряде десятков все сходится. В разряде сотен 1+8≠7. Значит, хотя бы одна из этих цифр была переставлена с цифрой более старшего разряда. Если это цифра 1, то вместо нее должна стоять 9. Тогда не сойдется сумма в разряде тысяч. Если это цифра, то вместо нее нужна цифра 6, которой вообще нет в примере. Следовательно, надо заменять цифру 7. Поскольку 1+8=9, а цифра 9 в старших разрядах только одна, то единственный вариант – поменять цифры 7 и 9. После этой перестановки все сходится: 314159+271828=585987.

- -

6 класс

6.1. В следующих записях некоторые цифры заменены звездочками. Восстановите записи.

6.2. Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли, то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, грабель, метел?

6.3. Сколькими нулями оканчивается число «27!»?

Указание: n!=1×2×3×…× (n-1) ×n.

6.4. Дописать к 523… три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.

6.5. Пастух пас стадо из 100 голов. За это ему заплатили 200 рублей. За каждого быка заплатили 20 рублей, за корову – 10 рублей, а за теленка – 1 рубль. Сколько в стаде быков, сколько коров и сколько телят?

- -

6 класс

6.1. В следующих записях некоторые цифры заменены звездочками. Восстановите записи.

6.2. Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли, то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, грабель, метел?

6.3. Сколькими нулями оканчивается число «27!»?

Указание: n!=1×2×3×…× (n-1) ×n.

6.4. Дописать к 523… три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.

6.5. Пастух пас стадо из 100 голов. За это ему заплатили 200 рублей. За каждого быка заплатили 20 рублей, за корову – 10 рублей, а за теленка – 1 рубль. Сколько в стаде быков, сколько коров и сколько телят?

- -

Решения задач

6 класс

6.1.

6.2. Ответ: 24 дворника, 24 метлы, 14 грабель.

Дворники получили по одному предмету, и осталось 14 метел. Если бы было еще 10 грабель, то всех 24 предметов хватило для раздачи еще по одному предмету каждому дворнику. Значит дворников было 24. Так как при второй раздаче каждому дворнику хватило бы по метле (а метел не осталось бы), то метел было столько же, сколько и дворников. Тогда грабель было 24 – 10 = 14.

6.3. Ответ: шестью нулями.

Число оканчивается таким количеством нулей, сколько в нем можно выделить множителей 10. В числе n! Каждый второй множитель четный, т. е. содержит 2 в разложении на простые множители, а каждый пятый множитель кратен 5, т. е. содержит 5 в разложении на простые множители. Поэтому в n! Можно выделить столько 10, сколько в нем пятерок, т. к. количество 5 меньше количества 2. Отсюда 27! Оканчивается шестью нулями (входят 5, 10, 15, 20, 25; последний множитель содержит две пятерки: 25=5×5).

6.4. Ответ: 523152 и 523656.

Указание: Разделите 524000 на 504=7×8×9 с остатком.

6.5. Ответ: 1 бык, 9 коров и 90 телят.

20б+10к+т=200 (*)

б+к+т=100 (**)

(* ) - (**) получаем 19б +9к = 100, а это возможно в случае б=1 и к=9. Отсюда т=100-(1+9)=90.

7 класс

7.1. Найдите значение дроби: . (Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения).

7.2. Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького – 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до Астрахани?

7.3. Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?

7.4. Сколько есть шестизначных чисел без повторения цифр, в которых вторая и четвертая цифры нечетны?

7.5. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Таким образом, получается ряд цифр: … Определите, какая цифра стоит на 38890-м месте.

7 класс

7.1. Найдите значение дроби: . (Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения).

7.2. Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького – 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до Астрахани?

7.3. Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?

7.4. Сколько есть шестизначных чисел без повторения цифр, в которых вторая и четвертая цифры нечетны?

7.5. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Таким образом, получается ряд цифр: … Определите, какая цифра стоит на 38890-м месте.

7 класс

7.1. Найдите значение дроби: . (Разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения).

7.2. Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького – 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до Астрахани?

7.3. Один сапфир и два топаза ценней, чем изумруд, в три раза. А семь сапфиров и топаз его ценнее в восемь раз. Определить прошу я вас, сапфир ценнее иль топаз?

7.4. Сколько есть шестизначных чисел без повторения цифр, в которых вторая и четвертая цифры нечетны?

7.5. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Таким образом, получается ряд цифр: … Определите, какая цифра стоит на 38890-м месте.

Решения задач

7 класс

7.1. Ответ: 0.

Поскольку в этом ребусе 10 различных букв, то встречаются все цифры, включая нуль. На нуль делить нельзя, поэтому множитель 0 – в числителе.

7.2. Ответ: 35 суток.

5(п+т)=7(п-т); 12т=2п; 6т=п, отсюда 5(п+т)=5(6т+т)=35т.

7.3. Ответ: одинаково ценны.

8 сапфиров и 16 топазов стоят столько же, сколько 24 изумруда. Столько же стоят 21 сапфир вместе с тремя топазами. Следовательно, 21-8=13 сапфиров равноценны 16-3=13 топазам.

с+2т=3и (умножим на 8) получили 8с+16т=24и;

7с+т=8и (умножим на 3) получили 21с+3т=24и; отсюда 8с+16т=21с+3т, т. е. 16т=16с.

7.4. Ответ: 29400 чисел.

Выберем такой порядок заполнения мест в комбинации: второе, четвертое, первое, третье, пятое, шестое; количество вариантов будет 5×4×7×7×6×5=29400 чисел с заданными свойствами.

7.5. Ответ: 1.

8 класс

8.1. Решите уравнение: .

8.2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 минут после выхода из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

8.3. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды это же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.

8.4. Графики трех линейных функций расположены так, как показано на рисунке. Существуют ли такие числа a, b и c, что одна из этих функций задается формулой y=ax+b, другая – формулой y=bx+c, а третья – формулой y=cx+a?

8.5. Разложите на множители: .

8 класс

8.1. Решите уравнение: .

8.2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно вышли два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого. Лыжник, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 минут после выхода из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

8.3. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды это же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.

8.4. Графики трех линейных функций расположены так, как показано на рисунке. Существуют ли такие числа a, b и c, что одна из этих функций задается формулой y=ax+b, другая – формулой y=bx+c, а третья – формулой y=cx+a?

8.5. Разложите на множители: .

Решения задач

8 класс

8.1. Ответ: нет решений.

.

8.2. Ответ: 1,5км.

Решение: х км/ч – скорость 1 лыжника

(х+4) км/ч – скорость 2 лыжника

0,75х км – путь 1 лыжника

0,75(х+4) км – путь 2 лыжника

Уравнение: 0,75х+0,75(х+4)=16; 1,5х=13; х=26/3

Расстояние, пройденное 1 лыжником, 0,75×26/3=6,5 км, расстояние до пункта В равно 8-6,5=1,5км.

8.3. Дано: АВ – диаметр;

CD – хорда;

Е – середина CD.

Доказать: АВ^CD.

Доказательство:

Утверждение	Обоснование
1.  CO=DO 2.  DCOD – равнобедренный 3.  OE – медиана 4.  OE – высота 5.  АВ^CD	как радиусы по определению по определению по свойству медианы равнобедренного треугольника по определению высоты

ч. т.д.

8.4. Ответ: не существуют.

Очевидно, что a<b<c и a>b>g. Из последнего следует, что tga>tgb>tgg. Отсюда a>b>c, то есть получили противоречие.

8.5. Ответ: .

9класс

9.1. Проходят ли прямые , и через одну точку?

9.2. Постройте график функции .

9.3. Вычислите: .

9.4. В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы AE и DF. Точки E и F принадлежат стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если CD=21см и BE:EF=7:2.

9.5. За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал 48ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10ч, а второму – 15ч.

9класс

9.1. Проходят ли прямые , и через одну точку?

9.2. Постройте график функции .

9.3. Вычислите: .

9.4. В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы AE и DF. Точки E и F принадлежат стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если CD=21см и BE:EF=7:2.

9.5. За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал 48ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10ч, а второму – 15ч.

Решения задач

9 класс

9.1. Ответ: да.

9.2.

Заметим, что х¹0 и у<1. Следовательно график не пересекает ось ординат и прямую у=1. Так же можно заметить, что график расположен ниже последней прямой. Составим и заполним таблицу:

x	-4	-2	-1	-0,5	0,5	1	2	4
y	0,75	-1	-3	-15	-15	-3	-1	0,75

9.3. Ответ: 9.

Домножим числитель и знаменатель каждой дроби, стоящей, на выражения, сопряженные знаменателям. В итоге получаем:

9.4 Ответ: 138см или 114 см.

Дано: ABCD – параллелограмм, CD=21см, BE:EF=7:2,

AE и DF – биссектрисы ÐBAD и ÐCDA.

Найти: РABCD.

Решение:

1) AB=CD=21см – по свойству противолежащих сторон параллелограмма;

2) DABE и DCDF – равнобедренные по свойству биссектрисы угла параллелограмма;

3) х – одна часть, CD=CF=АВ=BE=7х=21см, отсюда х=3 и EF=2х=6см.

Рассмотрим 2 случая: Е лежит между F и B; F лежит между Е и B.

В первом случае ВС=ВЕ+EF+FC=21+6+21=48, отсюда РABCD=2(21+48)=138см. Во втором случае ВС=ВЕ–EF+FC=21–6+21=36, отсюда РABCD=2(21+36)=114см.

9.5. Ответ: 50ч, 75ч, 60ч.

Решение: А –вся работа, х1 – производительность 1 рабочего, х2 – производительность 2 рабочего. Тогда по условию производительность 3 рабочего равна (х1+х2):2 и 10х1=15х2, т. е. х1=1,5х2, х2=2/3х1. Заметим, что А=48(х1+х2):2+10х1=24(х1+х2)+10х1. С другой стороны А=48(х1+х2):2+15х2=24(х1+х2)+15х2.

Первый рабочий может выполнить всю работу за А/х1, а второй за А/х2. Получаем (24(х1+2/3х1)+10х1)/х1=50ч и (24(1,5х2+х2)+15х2)/х2=75ч. Третий рабочий выполнит всю работу за А/х3=А/((х1+х2):2)=2А/(х1+х2)=2А/(А/50+А/75)=60ч

- -

10 класс

10.1. Покажите, что делится на26460 без остатка.

10.2. Вычислите: .

10.3. Упростите выражение: .

10.4. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет АС равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причем CD=3. Найдите радиус окружности.

10.5. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В, катер сразу же развернулся и пошел назад. Какую часть пути от А до В проплывет плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

- -

10 класс

10.1. Покажите, что делится на26460 без остатка.

10.2. Вычислите: .

10.3. Упростите выражение: .

10.4. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет АС равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причем CD=3. Найдите радиус окружности.

10.5. Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта А вышел катер. Дойдя до В, катер сразу же развернулся и пошел назад. Какую часть пути от А до В проплывет плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде втрое больше скорости течения реки?

- -

Решения задач

10 класс

10.1. 26460=22×33×5×72

Исходное выражение делится на 5×72 и 22×33, так как

10.2. Ответ: 1.

.

10.3. Ответ: .

10.4. Ответ: 2.

Решение: В прямоугольном DАВС катет ВС равен .

В прямоугольном DBCD гипотенуза BD равна .

В треугольнике ABD: AD2=AB2+BD2, так как , то ÐВ=90°.

DАBD – прямоугольный, следовательно, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Радиус равен 2.

10.5. Ответ: 0,5.

Решение: х км/ч – скорость течения и плота;

3х+х=4х км/ч – скорость катера по течению;

3х-х=2х км/ч – скорость катера против течения.

S/4x ч – время движения катера до В; за это время плот проплыл х×S/4x= S/4 км.

2х+х=3х км/ч – скорость сближения катера и плота;

3S/4:3х=S/4х ч – время сближения, за это время плот проплывет х×S/4x= S/4 км.

Всего плот проплывет S/4+S/4=S/2 км, где S – расстояние между А и В.

- -

11 класс

11.1. Решите систему: (2 балла)

11.2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ=, SC=13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер SA и ВС. (2балла)

11.3. Решите неравенство >. (3 балла)

11.4. В DАВС: АВ=10, ВС=5, СА=6. Точка D лежит на прямой ВС так, что ВD:DС=1:2. Окружности, вписанные в каждый из треугольников АDС и АDВ, касаются стороны АD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. (3 балла)

11.5. Найдите все значения а, при каждом из которых функция имеет хотя бы одну точку максимума. (4 балла)

11.6. Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? (4 балла)

- -

11 класс

11.1. Решите систему: (2 балла)

11.2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ=, SC=13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер SA и ВС. (2балла)

11.3. Решите неравенство >. (3 балла)

11.4. В DАВС: АВ=10, ВС=5, СА=6. Точка D лежит на прямой ВС так, что ВD:DС=1:2. Окружности, вписанные в каждый из треугольников АDС и АDВ, касаются стороны АD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. (3 балла)

11.5. Найдите все значения а, при каждом из которых функция имеет хотя бы одну точку максимума. (4 балла)

11.6. Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? (4 балла)

- -

Решения задач

11 класс

11.1. Ответ:

Решение. Из второго уравнения получаем .

Если у=-1,5, то из первого уравнения sinx=1,5. Уравнение не имеет решений.

Если sinx=1/16, то и из первого уравнения получаем у=-1/16.

11.2. Ответ: .

Решение. M и N – середины ребер AS и BC. AN – проекция прямой AS на плоскость основания. AN – проекция прямой MN. ÐMNM1 – искомый.

MM1||SO, где O – центр описанной окружности. MM1 – средняя линия DASO, следовательно M1 – середина AO(радиуса описанной окружности.

и .

Из прямоугольного DAMM1 находим: .

Из прямоугольного DNMM1 находим: .

11.3. Ответ: .

Решение. Пусть , 0<, тогда неравенство принимает вид:

>.

<0, поэтому <0, то есть 0<<.

Получаем: .

Тогда < Û х2>4 Û .

11.4. Ответ: 9/2 или 17/6.

Решение. Пусть AD=d, BD=x, DC=y.

1) Точка D лежит на отрезке BC (рис.1). Тогда х=5/3, у=10/3, DE=(d+y–6):2, DF=(d+x–10):2. Значит EF=(4+y–x):2=17/6.

2) Точка D лежит вне отрезке BC (рис.2). Тогда х=5, у=х+5=10, DE=(d+y–6):2, DF=(d+x–10):2. Значит EF=(4+y–x):2=9/6.

11.5. Ответ: –2<а<–; <а<2.

Решение. 1) Функция f имеет вид:

а) при : , поэтому её график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=4;

б) при : , поэтому её график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=2.

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

2) Ни одна из квадратичных функций, описанных в пунктах а и б, не имеет точек максимума. Графики обеих функций проходят через точку .

3) Единственной точкой максимума может быть точка х=а2 (рис.1), причем она действительно является таковой тогда и только тогда, когда 2<а2<4 Û <|а|<2.

11.6. Ответ: 1 и 1045.

Решение. 1) Если все числа взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

.

2)Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней – нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечетной, а значит, не будет равна 0.

3) Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел: .