Лабораторная работа 4
yt — товары (исходный ряд)
xt — счёт текущих операций
Оба ряда интегрированные нулевого порядка. Построим для этих рядов восемь типов моделей. В данной работе мы использовали так называемое «грубое правило» для определения значимости t-статистик, дополняя его анализом вероятности prob.
1. Статическая регрессия
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 16:58 | ||||
Sample: 1996:1 2006:1 | ||||
Included observations: 41 | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
X | 0.988640 | 0.041575 | 23.77995 | 0.0000 |
C | -161.8837 | 10.63356 | -15.22385 | 0.0000 |
R-squared | 0.935482 | Mean dependent var | -275.7293 | |
Adjusted R-squared | 0.933828 | S. D. dependent var | 236.3441 | |
S. E. of regression | 60.79692 | Akaike info criterion | 11.10051 | |
Sum squared resid | 144154.4 | Schwarz criterion | 11.18409 | |
Log likelihood | -225.5604 | F-statistic | 565.4859 | |
Durbin-Watson stat | 0.519580 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
y = -161.884 + 0.988 x
Итак, t-статистика обеих переменных по модулю больше 3 (оба Prob = 0.0000), значит, переменные значимы.
Коэффициент детерминации R2 равен 0,93. По F-статистике он значим (Prob = 0.000). Это говорит о том, что связь между переменными есть и модель значима.
Однако статистика Дарбина-Уотсона у этой модели < d1 (d1 ≈ 1,442). Следовательно, модно предположить, что в модели существует положительная автокорреляция.
Судя по LM-тесту, есть автокорреляция второго порядка:
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:14 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
X | 0.010744 | 0.028176 | 0.381329 | 0.7051 |
C | -1.571780 | 7.096793 | -0.221478 | 0.8259 |
RESID(-1) | 0.516125 | 0.158280 | 3.260842 | 0.0024 |
RESID(-2) | 0.353213 | 0.164369 | 2.148906 | 0.0383 |
R-squared | 0.589817 | Mean dependent var | 7.28E-14 | |
Adjusted R-squared | 0.556559 | S. D. dependent var | 60.03215 | |
S. E. of regression | 39.97624 | Akaike info criterion | 10.30692 | |
Sum squared resid | 59129.70 | Schwarz criterion | 10.47409 | |
Log likelihood | -207.2918 | F-statistic | 17.73453 | |
Durbin-Watson stat | 2.020904 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
Таким образом, из-за наличия автокорреляции выводы по t и F-статистикам являются неверными, прогнозные качества модели ухудшаются.
2. Процесс авторегрессии
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:22 | ||||
Sample(adjusted): 1996:1 2005:4 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
YT1 | -0.174713 | 0.158985 | -1.098930 | 0.2787 |
C | -327.3929 | 57.57639 | -5.686236 | 0.0000 |
R-squared | 0.030801 | Mean dependent var | -279.4325 | |
Adjusted R-squared | 0.005296 | S. D. dependent var | 238.1472 | |
S. E. of regression | 237.5157 | Akaike info criterion | 13.82705 | |
Sum squared resid | 2143722. | Schwarz criterion | 13.91150 | |
Log likelihood | -274.5410 | F-statistic | 1.207648 | |
Durbin-Watson stat | 1.963137 | Prob(F-statistic) | 0.278712 |
y = -327.3929 – 0.175 yt-1
t-статистика свободного члена по модулю больше 3 (prob > 0.05), значит, эта переменная незначима.
t-статистика коэффициента при yt-1 значима (prob < 0.05), следовательно, эта переменная значима.
Автокорреляции нет (статистика DW близка к 2).
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.031, по F-статистике он незначим (prob > 0.05), поэтому мы делаем вывод о том, что модель незначима и связи между переменными нет.
3. Модель опережающего показателя
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:27 | ||||
Sample: 1996:1 2006:1 | ||||
Included observations: 41 | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
X | -0.205001 | 0.162475 | -1.261737 | 0.2145 |
C | -300.9804 | 41.74989 | -7.209130 | 0.0000 |
R-squared | 0.039219 | Mean dependent var | -275.7293 | |
Adjusted R-squared | 0.014584 | S. D. dependent var | 236.3441 | |
S. E. of regression | 234.6143 | Akaike info criterion | 13.80131 | |
Sum squared resid | 2146712. | Schwarz criterion | 13.88490 | |
Log likelihood | -280.9269 | F-statistic | 1.591980 | |
Durbin-Watson stat | 2.026010 | Prob(F-statistic) | 0.214538 |
y = - 300.98 – 0.205 xt-1
t-статистика x по модулю меньше 3 (prob > 0.05), значит, переменная незначима.
t-статистика с больше 2 (prob > 0.05), значит, переменная значима.
Автокорреляции нет, так как статистика DW близка к 2.
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.039, по F-статистике он незначим (prob > 0.05), то есть модель вообще не значима.
4. Модель скорости роста
. Ее не строим, так как исследуемые ряды являются интегрированными одного порядка.
5. Модель распределенных запаздываний
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:32 | ||||
Sample: 1996:1 2006:1 | ||||
Included observations: 41 | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
XT | 0.030127 | 0.043590 | 0.691143 | 0.4937 |
X | 0.995578 | 0.043043 | 23.13007 | 0.0000 |
C | -157.3739 | 12.53732 | -12.55244 | 0.0000 |
R-squared | 0.936283 | Mean dependent var | -275.7293 | |
Adjusted R-squared | 0.932930 | S. D. dependent var | 236.3441 | |
S. E. of regression | 61.20818 | Akaike info criterion | 11.13679 | |
Sum squared resid | 142364.8 | Schwarz criterion | 11.26218 | |
Log likelihood | -225.3043 | F-statistic | 279.1950 | |
Durbin-Watson stat | 0.510861 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
y = -157.374 + 0.996 xt + 0.030 xt-1
t-статистики свободного члена и коэффициента при xt больше 3 (prob < 0.05), значит, обе переменные значимы. t-статистика коэффициента при xt-1 близка к нулю (prob > 0.05), значит, эта переменная незначима.
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.936. Это факт в пользу значимости модели. Кроме того, по F-статистике R2 значим.
Статистика Дарбина-Уотсона равна 0.51, что меньше d1 (d1 = 1.391, du = 1.600), то есть присутствует положительная автокорреляция. LM-тест подтверждает наличие автокорреляции второго порядка.
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
F-statistic | 29.30226 | Probability | 0.000000 | |
Obs*R-squared | 25.39821 | Probability | 0.000003 | |
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:35 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
XT | 0.001947 | 0.027704 | 0.070290 | 0.9444 |
X | 0.002670 | 0.028040 | 0.095231 | 0.9247 |
C | -2.439486 | 8.001705 | -0.304871 | 0.7622 |
RESID(-1) | 0.453262 | 0.155891 | 2.907557 | 0.0062 |
RESID(-2) | 0.439440 | 0.162641 | 2.701899 | 0.0104 |
R-squared | 0.619468 | Mean dependent var | 9.70E-14 | |
Adjusted R-squared | 0.577187 | S. D. dependent var | 59.65835 | |
S. E. of regression | 38.79228 | Akaike info criterion | 10.26817 | |
Sum squared resid | 54174.28 | Schwarz criterion | 10.47714 | |
Log likelihood | -205.4975 | F-statistic | 14.65113 | |
Durbin-Watson stat | 1.957686 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
Таким образом, из-за наличия автокорреляции выводы по t и F-статистикам являются неверными, прогнозные качества модели ухудшаются. Также в модели есть незначимая переменная, значит, в целом, модель неадекватна.
6. Модель частичной корректировки
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:36 | ||||
Sample(adjusted): 1996:1 2005:4 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
YT1 | 0.019249 | 0.041221 | 0.466961 | 0.6433 |
X | 1.003436 | 0.042713 | 23.49240 | 0.0000 |
C | -152.5396 | 16.41068 | -9.295141 | 0.0000 |
R-squared | 0.939105 | Mean dependent var | -279.4325 | |
Adjusted R-squared | 0.935814 | S. D. dependent var | 238.1472 | |
S. E. of regression | 60.33456 | Akaike info criterion | 11.10973 | |
Sum squared resid | 134689.6 | Schwarz criterion | 11.23639 | |
Log likelihood | -219.1945 | F-statistic | 285.3039 | |
Durbin-Watson stat | 0.616559 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
у = -152.540 + 0,019 yt-1 + 1.003 xt
t-статистики свободного члена и коэффициента при xt больше 3 (prob = 0.0000), значит, обе переменные значимы. t-статистика коэффициента при yt-1 близка к нулю (prob > 0.05), значит, эта переменная незначима.
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.94. По F-статистике он значим.
Статистика Дарбина-Уотсона равна 0.62, что меньше d1 (d1 = 1.391, du = 1.600), то есть присутствует положительная автокорреляция. LM-тест подтверждает наличие автокорреляции второго порядка.
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
F-statistic | 21.29351 | Probability | 0.000001 | |
Obs*R-squared | 21.95574 | Probability | 0.000017 | |
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:38 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
YT1 | -0.037645 | 0.029354 | -1.282455 | 0.2081 |
X | 0.000684 | 0.030774 | 0.022212 | 0.9824 |
C | -12.80928 | 11.50149 | -1.113706 | 0.2730 |
RESID(-1) | 0.505470 | 0.173231 | 2.917895 | 0.0061 |
RESID(-2) | 0.357100 | 0.169601 | 2.105532 | 0.0425 |
R-squared | 0.548894 | Mean dependent var | 5.83E-14 | |
Adjusted R-squared | 0.497339 | S. D. dependent var | 58.76716 | |
S. E. of regression | 41.66511 | Akaike info criterion | 10.41367 | |
Sum squared resid | 60759.34 | Schwarz criterion | 10.62478 | |
Log likelihood | -203.2735 | F-statistic | 10.64675 | |
Durbin-Watson stat | 1.929271 | Prob(F-statistic) | 0.000009 |
Таким образом, из-за наличия автокорреляции выводы по t и F-статистикам являются неверными, прогнозные качества модели ухудшаются. Также в модели есть незначимая переменная, значит, в целом, модель неадекватна.
7. Фальстарт
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:39 | ||||
Sample(adjusted): 1996:1 2005:4 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
YT1 | -0.200295 | 0.158559 | -1.263219 | 0.2144 |
XT | -0.220243 | 0.165394 | -1.331627 | 0.1911 |
C | -360.5430 | 62.19857 | -5.796644 | 0.0000 |
R-squared | 0.075126 | Mean dependent var | -279.4325 | |
Adjusted R-squared | 0.025133 | S. D. dependent var | 238.1472 | |
S. E. of regression | 235.1355 | Akaike info criterion | 13.83024 | |
Sum squared resid | 2045682. | Schwarz criterion | 13.95691 | |
Log likelihood | -273.6048 | F-statistic | 1.502726 | |
Durbin-Watson stat | 1.596122 | Prob(F-statistic) | 0.235791 |
у = -360.,200 yt-xt-1
t-статистика свободного члена больше 2 (prob< 0.05), значит, переменная значима.
t-статистики коэффициентов при yt-1 и xt-1 меньше 2 (prob > 0.05), значит, эти переменная незначимы.
Статистика Дарбина-Уотсона показывает, что автокорреляция может присутствовать. Данные теста это подтверждают.
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: | ||||
F-statistic | 29.30469 | Probability | 0.000000 | |
Obs*R-squared | 25.04423 | Probability | 0.000004 | |
Test Equation: | ||||
Dependent Variable: RESID | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:41 | ||||
Presample missing value lagged residuals set to zero. | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
YT1 | -0.018215 | 0.101023 | -0.180302 | 0.8580 |
XT | -2.272487 | 0.322822 | -7.039447 | 0.0000 |
C | -284.3771 | 54.19538 | -5.247258 | 0.0000 |
RESID(-1) | 2.462164 | 0.333723 | 7.377876 | 0.0000 |
RESID(-2) | -0.831778 | 0.135313 | -6.147084 | 0.0000 |
R-squared | 0.626106 | Mean dependent var | 1.83E-13 | |
Adjusted R-squared | 0.583375 | S. D. dependent var | 229.0270 | |
S. E. of regression | 147.8289 | Akaike info criterion | 12.94646 | |
Sum squared resid | 764868.6 | Schwarz criterion | 13.15757 | |
Log likelihood | -253.9291 | F-statistic | 14.65234 | |
Durbin-Watson stat | 1.509454 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.075. По F-статистике он незначим. Значит, связи между переменными нет.
В целом, модель неадекватная из-за наличия двух незначимых переменных, автокорреляции и низкого коэффициента детерминации.
8. Авторегрессионные ошибки
Dependent Variable: Y | ||||
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 17:53 | ||||
Sample(adjusted): 1996:1 2005:4 | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
C | -33.96557 | 20.49769 | -1.657044 | 0.1062 |
Yt1 | 0.762097 | 0.114466 | 6.657825 | 0.0000 |
X | 1.020806 | 0.029714 | 34.35482 | 0.0000 |
-Xt | -0.723894 | 0.117436 | 6.164176 | 0.0000 |
R-squared | 0.971755 | Mean dependent var | -274.5100 | |
Adjusted R-squared | 0.969401 | S. D. dependent var | 239.2243 | |
S. E. of regression | 41.84644 | Akaike info criterion | 10.40053 | |
Sum squared resid | 63040.49 | Schwarz criterion | 10.56942 | |
Log likelihood | -204.0106 | F-statistic | 412.8512 | |
Durbin-Watson stat | 2.505084 | Prob(F-statistic) | 0.000000 |
yt = - 33.966 + 1.021 xt + 0.762 yt-1 - 0.723 xt-1
Коэффициенты при переменных значимы, так как их t-статистики больше 3 (prob < 0.05). t-статистика свободного члена незначима (prob > 0.05), значит, его можно отбросить.
Коэффициент детерминации R2 у данной модели равен 0.99. По F-статистике он значим. Значит, связь между переменными есть и модель значима.
Статистика Дарбина-Уотсона равна 2.27, что больше du и меньше (4 – du) (du = 1.600), то есть автокорреляции нет.
Если отбросить свободный член, что получим следующую модель:
Dependent Variable: Y | ||||
Method: Least Squares | ||||
Date: 04/28/07 Time: 18:01 | ||||
Sample(adjusted): 1996:1 2005:4 | ||||
Included observations: 40 after adjusting endpoints | ||||
Variable | Coefficient | Std. Error | t-Statistic | Prob. |
XT | 0.188745 | 0.063906 | 2.953470 | 0.0054 |
YT1 | 0.269455 | 0.046421 | 5.804595 | 0.0000 |
-X | 1.187353 | 0.062552 | 18.98200 | 0.0000 |
R-squared | 0.835655 | Mean dependent var | -279.4325 | |
Adjusted R-squared | 0.826771 | S. D. dependent var | 238.1472 | |
S. E. of regression | 99.11874 | Akaike info criterion | 12.10255 | |
Sum squared resid | 363507.4 | Schwarz criterion | 12.22922 | |
Log likelihood | -239.0511 | Durbin-Watson stat | 1.231392 |
yt = 0.189 xt + 0.269 yt-1 – 1.188 xt-1
У этой модели хорошие качества как по t-статистикам (все значимы), так и по R2 (здесь лишь отсутствует F-статистика, но будем считать, что она высока наподобие модели со свободным членом). LM-тест наличие автокорреляции не подтверждает. Значит, построенную модель можно признать адекватной.
Выводы:
Мы построили восемь моделей. Единственной моделью с удовлетворительными характеристиками является модель «авторегрессионные ошибки»
yt = 0.189 xt + 0.269 yt-1 – 1.188 xt-1
