Место задач с параметрами в изучении свойств квадратичной функции 
, 
Содержание
1) Квадратичная функция, её место в курсе алгебры 8 класса
2) Что ученик 8 класса знает о квадратичной функции
3) Что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром
4) УМК , базисный уровень, задачи
5) , , Алгебра 8, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений
1. Квадратичная функция, её место в программе
№ п/п | Тема урока | Тип урока | Количество часов | Элементы содержания | Цели урока | Дата |
49 | Как построить график функции | Комбинированный | 1 | Параллельный перенос, параллельный перенос вправо (влево), вспомогательная система координат; алгоритм построения графика функции
| § Актуализировать правила построения графиков квадратичной функции § сформулировать правило построения графика функции § сформировать умение строить графики функций | ||
50 | Как построить график функции | Учебный практикум | 1 | § Закрепить умение строить графики функций § формировать навыки решения примеров различного уровня сложности § развивать самостоятельность учащихся. | |||
51 | Как построить график функции | Комбинированный | 1 | Параллельный перенос, параллельный перенос вверх (вниз), вспомогательная система координат; алгоритм построения графика функции
| § Познакомить учащихся с правилом построения графика функции § сформировать умение строить графики различных функций вида | ||
52 | Как построить график функции | Учебный практикум | 1 | § Продолжить формировать умение строить графики различных функций; § развивать творческий подход у учащихся при самостоятельном выполнении заданий. | |||
53 | Как построить график функции | Комбинированный | 1 | Параллельный перенос, параллельный перенос вправо (влево), параллельный перенос вверх (вниз), вспомогательная система координат; алгоритм построения графика функции
| § Повторить правила построения графиков функций § познакомить учащихся с понятием вспомогательная система координат; § добиться чёткого понимания алгоритмов построения графиков функций | ||
54 | Как построить график функции | Учебный практикум | 1 | § Сформировать умение строить графики функций, используя вспомогательную систему координат; § научить учащихся строить график функции, используя метод выделения полного квадрата; § развивать самостоятельность учащихся. | |||
55 | Функция | Комбинированный | 1 | Функция | § Познакомить учащихся с понятиями квадратный трёхчлен, старший член квадратного трёхчлена, старший коэффициент, квадратичная функция, график квадратичной функции; § сформировать умение строить график функции § познакомить учащихся со свойствами квадратичной функции; § сформировать умение строить график функции | ||
Функция | Комбинированный | 1 | § Продолжить формирование умения строить графики функций § отрабатывать умения описывать свойства квадратичной функции, умение графически решать квадратные уравнения, находить значение функции; § развивать самостоятельность учащихся. | ||||
56 | Функция | Учебный практикум | 1 | § Сформировать умение решать задачи, используя свойства квадратичной функции; § развивать навыки построения графика функции | |||
57 | Функция | Учебный практикум | 1 | § Продолжать формировать умение использовать свойства квадратичной функции при решении различных задач; § развивать умение преодолевать трудности в учении, сводя к минимуму помощь учителя. | |||
58 | Графическое решение квадратных уравнений | Комбинированный | 1 | Квадратное уравнение; несколько способов графического решения квадратного уравнения. | § Сформировать навыки графически решать квадратные уравнения различными способами; § сформировать понимание того, что графический способ решения уравнений не является универсальным; § продолжать формирование навыков умения решать текстовые задачи. | ||
59 | Контрольная работа № 5 по теме «Свойства и график функции | Контроль знаний, умений и навыков | 1 | ||||
60 | Итоговый урок по теме «Квадратичная функция. Функция | Обобщение и систематизация знаний умений и навыков | 1 |
, если известен график функции 
и функции обратной пропорциональности 
;
, если известен график функции 
, если известен график функции 2. Что ученик 8 класса знает о квадратичной функции:
§ Определение: Функцию , где 
- произвольные числа, причём , называют квадратичной функцией.
§ Теорема: Графиком квадратичной функции является парабола, которая получается из параболы 
параллельным переносом, при котором вершина параболы оказывается в точке с координатами 
.
Замечание: В этой теореме присутствуют формулы для вычисления координат вершин параболы 
: (*), 
(**). На практике вместо (**) используют выражение 
.
§ Область определения функции есть множество действительных чисел или интервал 
.
§ - непрерывная функция.
§ Осью симметрии параболы служит прямая 
.
§
Замечание: Ветви параболы направлены вверх. | §
Замечание: Ветви параболы направлены вниз. |
§ Функция убывает при | § Функция возрастает при |
§ Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. | § Функция ограничена сверху и не ограничена снизу. |
§ Область значений функции есть луч | § Область значений функции есть луч |
§ Функция выпукла вверх. | § Функция выпукла вниз. |
;
не существует.
не существует.
.
.
.3. Что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром
Для того чтобы понять, что такое параметр, задача с параметром, допустимое значение параметра и решение задачи с параметром я предлагаю отправиться на страницы книги «Задачи с параметрами. Теория и практика». Там можно найти необходимые определения, следствия из них и сопровождающие комментарии. Если «вырезать» из изложения большинство примеров, приводимых автором, то получается что-то наподобие витаминного коктейля с высокой концентрацией питательных веществ, что, безусловно, полезно, но может вызвать некоторый временный шок. Если Вам следующий текстовый блок будет даваться с трудом, открывайте книгу Мирошина.
Определение: Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе её решения, «управляющая решением» задачи.
Определение: Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия параметр, называется задачей с параметрами.
Следствие 1: Все величины, входящие в аналитическое выражение, задающее условие задачи, подразделяются на две категории: постоянные и переменные.
Определение: Постоянными называются величины, значения которых остаются неизменными в условиях любой задачи, использующей их.
Следствие 2: Объявление тех или иных независимых переменных искомыми или параметрами определяется либо условиями задачи, либо методами, используемыми в ходе её решения.
Следствие 3: Любая переменная, входящая в аналитическое выражение, задающее условие задачи, может быть объявлена неизвестной (аргументом).
Следствие 4: Все оставшиеся переменные объявляются параметрами, которым «присваиваются по умолчанию» некоторые числовые значения, входящие в область определения аналитического выражения, задающего условие задачи.
Определение: Допустимым значением параметра будем называть такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество.
Другими словами: значение параметра считается допустимым, если найдется хотя бы один набор значение других переменных, входящих в условие данной задачи, при подстановке которого совместно с данным значением параметра в аналитическое выражение, задающее условие оно (выражение) имеет смысл.
Пример: В уравнении 
допустимым является любое значение параметра, хотя для каждого из них существует единственное значение переменной, при котором данное уравнение имеет смысл.
Все задачи с параметрами делятся на два класса «по условию». В одном из них ставится условие отыскать решение задачи, а во втором - отыскать некоторое подмножество допустимых значений параметра или параметров, при каждом из которых соответствующие решения задачи обладают указанными свойствами.
Определение: (первый класс задач) Решить задачу с параметрами – это значит, установив множество допустимых значений параметра, решить каждую частную задачу, получающуюся при каждом из таких значений.
Определение: (второй класс задач) Решить задачу с параметрами – это значит найти подмножество допустимых значений параметра, при каждом из которых решение частной задачи отвечает условиям задачи.
4. УМК , базисный уровень, задачи
22.28. Найдите значение коэффициента 
, если известно, что график функции 
пересекает ось ординат в точке 
.
Решение
Задачу можно отнести ко второму классу задач с параметрами. Далее будем коротко обозначать принадлежность данному классу задач следующим образом:
ЗсП_2
Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.
При любом значении графиком данной функции будет некоторая парабола, пересекающая ось ординат в единственной точке (в силу определения функции). Аналитическое задание функции, график которой проходит через точку обращается в верное числовое равенство при подстановке координат данной точки вместо независимой переменной 
и зависимой переменной 
. А выражение - в уравнение относительно :
, откуда следует, что = 2.
Ответ: при = 2 график функции пересекает ось ординат в точке , Рисунок 1.
22.30. Найдите значение коэффициента 
, если известно, что осью симметрии графика функции 
является прямая 
.
Решение
ЗсП_2
Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.
Для решения задачи вспомним, что уравнение оси симметрии параболы выглядит так: . Так как старший коэффициент квадратного трехчлена нам известен (
), то необходимо решить уравнение 
относительно . Получаем, что 
.
Ответ: при осью симметрии графика функции является прямая , Рисунок 2.
22.49. При каком значении коэффициента вершина параболы 
находится на расстоянии 5 от начала координат?
Решение
ЗсП_2
Множество допустимых значений коэффициента , который в нашей задаче является параметром (в силу данного выше определения), совпадает с множеством действительных чисел.
В силу справедливости формул для координат вершины параболы
, , координаты вершины нашей параболы , задаются алгебраическими выражениями, зависящими от параметра : 
, 
.
Расстояние от начала координат до вершины параболы можно рассмотреть как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 
и 
, по теореме Пифагора. Тогда справедливо уравнение относительно параметра : 
. Воспользовавшись свойством модуля
, можно упростить правую часть данного уравнения и свести его к квадратному уравнению вида 
, которое имеет два решения: 
, 
.
Ответ: при 
и при 
параболы находится на расстоянии 5 от начала координат.
22.54. График какой квадратичной функции проходит через точки 
, 
, 
?
Решение
Эта задача может быть переформулирована следующим образом: найдите значения коэффициентов квадратичной функции , график которой проходит через точки , , .
ЗсП_2
Множества допустимых значений коэффициентов и, которые в нашей задаче является параметрами (в силу данного выше определения), совпадают с множеством действительных чисел. А множество допустимых значений коэффициента 
, который в нашей задаче также является параметром (в силу данного выше определения) есть объединение двух открытых лучей: 
.
Так как график функции проходит через точку, то 
, откуда = 1.
С учетом найденного значения параметра и координат еще двух точек графика ( и ) получим систему двух уравнений от двух переменных: и .
, решением которой является пара чисел 
Ответ: график функции 
проходит через точки , , .
5. , , Алгебра 8, задачник для учащихся общеобразовательных учреждений
20.40. При каких значениях параметра функция 
убывает на промежутке 
?
Решение
ЗсП_2
Множество допустимых значений параметра совпадает с множеством действительных чисел.
Так как старший коэффициент положителен, то функция убывает при 
.
Воспользуемся формулой координаты вершины параболы: и значениями коэффициентов нашей квадратичной функции, второй из которых зависит от параметра , тогда . Следовательно функция убывает при 
и при 
промежуток принадлежит промежутку убывания функции.
Ответ: при убывает на промежутке .
20.44. Найдите все значения параметра 
, при которых функция 
принимает равные значения в точках -5 и 3.
Решение
ЗсП_2
Множество допустимых значений параметра совпадает с множеством действительных чисел.
Квадратичная функция принимает равные значения в точках симметричных относительно оси параболы. Точки -5 и 3 симметричны на числовой прямой относительно -1, следовательно 
- уравнение оси параболы и . Воспользуемся формулой координаты вершины параболы: и значениями коэффициентов нашей квадратичной функции, второй из которых зависит от параметра , тогда , то есть 
и 
.
Ответ: при функция принимает равные значения в точках -5 и 3.
20.92. Рассмотрите график функции 
(Рисунок 3). Найдите все такие значения , при которых 
.
Ответ: при 
.
