Б. Рысбайулы, д. ф.-м. н.,
Казахстанско-Британский Технический университет
(Казахстан, Алматы, ул. Толе би, 59
тел.(8-7, Е-mail: b. *****@***ru )
, соискатель
Костанайский госуниверситет
(Казахстан, 7,
тел.(8-71, Е-mail: *****@***ru )
Определения коэффициента теплопроводности промерзающего многослойного грунта
Аннотация. В работе для коэффициентной обратной задачи промерзаний многослойного грунта предлагается итерационный метод. Полечены априорные оценки разностной задачи, на основе которых доказывается сходимость итерационного процесса.
1. Постановка задачи.
В настоящей работе рассматривается кондуктивное распространения тепла в промерзающем многослойном грунте. В основу деления промерзающих грунтов на зоны был положен температурный признак. Это нашло свое отражение, в том, что границами зон является изотермы 
и 
1. Теплообмен между зонами происходит только на их границах, а внутри зон механизм распространения тепла остается таким же, как при отсутствии других зон. Поэтому можно сразу же написать систему уравнений теплопроводности:
(1)
Здесь индекс «т» показывает, что данная величина относится к талой зоне, «ф» - к зоне фазовых переходов, «м» - к зоне мерзлого грунта. Положение изотерм и 1 в пространстве не остается постоянным, так как температурное поле грунта меняется. Поэтому если обозначить через 
координату z изотермы , а через 1 — изотермы 1 то, вообще говоря , и 1 будут функциями времени 
.
Взаимное тепловое влияние зон друг на друга заключается в том, что на подвижных границах 
и 
обязательно должны выполняться условия непрерывности поля температуры:
(2)
и условия сохранения энергии:
где 
. (3)
Уравнения образуют полную систему уравнений так называемой обобщенной задачи Стефана, с помощью которой описывается процесс распространения тепла в промерзающих и протаивающих тонкодисперсных грунтах.
Начальные условия задачи при 
(4)
Считаем, что на поверхности земли происходит обмен температуры с окружающей средой. Математически это условие записывается так:
где 
и 
соответственно коэффициент теплоотдачи в окружающую среду и температура окружающей среды. В данном случае в качестве окружающей среды взято воздух.
Для решения обратной задачи считаем, что нам известно значения температуры грунта на поверхности земли. То есть 
С учетом этого равенство граничное условие на поверхности грунта записывается так
(5)
Экспериментально установлено, что на некоторой глубине (от поверхности земли) температура земли постоянная величина. Учитывая, это на глубине Н температура считается постоянной т. е.
(6)
В итоге у нас получено задача Данная задача решается в неоднородной среде. Поэтому при решении задачи на изотермах ставится внутренние краевые условия на границах перехода от одной среды на другую, т. е.
(7)
где 
количество слоев неоднородного грунта, 
скачок функций в точках 
. Следует отметить, что пространственное положение внутренних граничных условий (3) меняется в зависимости от времени, а пространственные положение условий (7) остается постоянной.
Постановка задачи распространения тепла и некоторые экспериментальные данные хорошо описаны в работах / 1-2/. Математические свойства приближенного решения прямой задачи исследованы в работах /3-4/. Методы решения обратных задач математической физики досконально изучена в работе /5/. Некоторые обратные задачи промерзающего однородного грунта исследовано в работах /6-7/.
Требуется определить коэффициент теплопроводности 
многослойного промерзающего грунта.
2. Разностная схема.
В сеточной области решается система
(8)
(9)
(10)
Где, 
является разностный аналог температуры 
. Причем 
соответственно шаги по пространственным координатам и по времени. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями 
. Задача (8)-(10) изучается в сеточной области
В этой работе рассмотрим случай, когда 
. То есть рассматривается замерзание неоднородного грунта. Сначала задается начальное приближение 
. Следующие приближение 
будем вычислять методом простых итераций:
,
здесь 
- достаточно малое число. Цель нашей работы является нахождение градиента 
- на разностном уровне. Ясно, что 
и 
удовлетворяют системе (9) – (10). Введем обозначения
, 
.
Тогда получается разностная задача
(11)
, 
,
.
3. Сопряженная задача
Умножим (11) на 
и суммируем по всем внутренним узлам сеточной области 
. После несложных преобразований получим сопряженную задачу:
(12)
, 
(13)
Следующее приближение 
определяется из минимума функционала
.
Используя сопряженную задачу, выводим что
.
Отсюда получаем следующий градиент функционала:
.
4. Алгоритм решения задачи
1) Пусть приближение 
известно
2) Решается прямая задача (8)-(10) и определяется 
и 
.
3) Решается сопряженная задача (12)-(13) и определяется 
и 
.
4) Вычисляется градиент функционала
.
5) Следующее приближение коэффициента теплопроводности определяется по формуле:
, 
5. Априорные оценки и доказанные утверждения
В работе доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Для решение задачи (8)-(10) и (11)-(13) справедливы оценки
.
Теорема 2. Разностные задачи (8)-(10) и (12)-(13) являются устойчивыми по начальным данным.
Теорема 3. Решение разностной задачи (8)-(10) сходится к решению (1)-(7) при 
и справедливо оценка
На основе теоремы 1-3 доказывается:
Теорема 4. Последовательность 
сходится и ограничено сверху и снизу положительной константой.
Список литературы
1 Мартынов - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геокрилогии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. . гл. VI стр. 153-192.
2 Чудновский в дисперсных средах. – М. Гостехиздат, 1954, 444 с
3 Адамов протаивания грунта // Доклады НАН РК. -2007. -№1. - С. 16-19.
4 , Рысбайұлы Б. Алгоритм численного решения задачи переноса тепла и влаги // Евразийский математический журнал. 2007, -№3. –С.19-25.
5 , , Нурсейтова методы решения обратных некорректных задач с данными на части границы.- Алматы-Новосибирск: Типография «TST-company»,426 с.
6 Исмайлов коэффициента теплопроводности однородного грунта в процессе промерзаний// Доклады НАН РК. -2008. -№2. - С. 26-28.
7 , Исмайлов метод определение коэффициента теплопроводности грунта в процессе промерзаний// Вестник НАН РК. 2008. -№2. - С. 7-9.
