Неравенства (стр. 1 )

Глава 5 НЕРАВЕНСТВА

Алгоритмы

А-1 Сравнение чисел

А-2 Сложение и умножение неравенств

А-3 Решение уравнений и неравенств с модулем

А-4 Решение линейных неравенств

А-5 Действия над приближенными значениями чисел

А-6 Вычисление средних значений

А-1 Сравнение чисел

1. Сравнение чисел

Поставьте вместо Ú знак равно, больше или меньше (=, > или <) так, чтобы получилось верное утверждение (равенство или неравенство).

1) 2 × 2 Ú 5

2) –3 Ú –4

3) 0 Ú –1

4) 32 + 42 Ú 52

5) 5! Ú 100

6) Ú

7) Ú

8) Ú –1

9) Ú

10) Ú 0,001

11) 1,234 Ú 1,233

12) –0,012 Ú –0,0012

13) Ú –0,666

14) Ú

15) 0,210 Ú

16) Ú 0,075

17) (–1,1)2 Ú 1,2

18) Ú

19) 0,999 Ú 0,9992

20) Ú 20

2. Определение знака числового выражения

Сравните с нулем значения выражений

1) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6

2) (–0,1)7 + 0,16

3)

4)

5)

6) 34 + 44 – 54

3. Расположение чисел в цепочку

Расположите в порядке возрастания числа

1) 2; –3; 4; –5; 6; –7

2) 0,2; (0,2)2; (–0,2)3; (–0,2)4

3) ; ; ; ; ;

4) –0,66; –; –0,67; –0,667; –0,6666

4. Перебор целых чисел в промежутке

Найдите все целые числа, принадлежащие промежуткам

1) (3,1; 6,9)

2) (–10,1; –7,9)

3) [–2; 3,5)

4) (–3; 4]

5) [–5,5; 4,3]

6) (–1; –0,1)

7) –2 < x < 3

8) –2,9 £ x £ 4,2

9) (–3,1; –1) È [1; 3]

10) [–4; –2,7] È [–1; 2,9]

Найдите наибольшее и наименьшее целое число, принадлежащее промежуткам

11) [–99,9; –0,9]

12) (–12; 13)

13) [–4,9; –4,1]

14) (–¥; –3,1]

15) (5,1; +¥)

 < x < 104

17) [–100; 1] È [3; 10]

18) (–4,5; –1,4) È (–1,9; 0)

19) [–3; 10] È [11; +¥)

20) (–1,1; –0,9)

5. Поиск чисел, удовлетворяющих неравенствам

Найдите следующие числа

1) Целые числа, лежащие между –3,9 и 4,9.

2) Целые числа, отличающиеся от числа 2,2 не больше, чем на 3,9.

3) Целые числа, отличающиеся от числа 3,5 не меньше, чем на 2 и не больше, чем на 5.

4) Натуральные числа, кубы которых меньше 1000.

5) Целые числа, обратные к которым лежат между 0,051 и 0,195.

6) Целые числа, квадраты которых лежат между 500 и 1000.

7) Простые числа, лежащие между 10 и 100.

8) Целые числа, которые, будучи утроенными, лежат между 100 и 130.

9) Несократимые дроби со знаменателями, меньшими 10, которые лежат между 0,6 и 1,2.

10) Тройки целых чисел, сумма обратных к которым меньше 1, но больше 0,93.

А-2 Сложение и умножение неравенств

1. Перенос членов неравенства в одну часть

Приведите неравенства к виду ax + by + c > 0

1) 3x – y + 2 > x + 2y – 3

2) 2x + 3y – 5 < 3x – y

3)

4) y – 2 (x + 3y) < x – 3 (y – x – 1)

5) (x – 1)(x – 2) + (y + 1)(y + 2) > x (x + 3) + y (y – 3)

6) (x + y + 1)(x – y + 1) < (x – 3)(x + 1) – (y – 2)(y + 4)

7) (x + 2)(x – y) > x (x – y + 3)

8) (2x + y)(x – 3y + 1) < (2x + 3y – 1)(x – y) – 6xy

2. Сложение и вычитание неравенств

Даны неравенства для чисел x и y: –1 < x < 2; –2 < y < 3. Выведите из них неравенства для следующих выражений

1) x + y

2) 3x

3) 2x + 3y

4) –y

5) x – y

6)

7)

8) x + 0,1y

9) –4x – 5y

10) x + y + 3

11) –2x + y – 5

12) 6 – x

3. Умножение и деление неравенств

Даны неравенства для чисел x и y: 1 < x < 2; 2 < y < 4. Выведите из них неравенства для следующих выражений.

1) 3x

2) –2y

3) xy

4) 2x2

5)

6)

7) x2 – xy + y2

8)

9)

10)

11)

12)

4. Действия с неравенствами

Даны неравенства для чисел x и y. Укажите, какие из неравенств верны при всех данных значениях x и y.

	x + y > 1	xy > 1		x2 + y2 > 1
1 < x < 2 1 < y < 2
x > 1 0 < y < 1
x < –1 y < –1
x > 2 –1 < y < 0

А-3 Решение уравнений и неравенств с модулем

1. Решение уравнений с модулем

Решите уравнения

1) |x| = 3

2) |–2x| = 4

3) |x – 1| = 0

4) |x + 2| = –1

5) |x + 3| = 7

6) |5 – x| = 1

7) |2x + 3| = 2

8) |2 – 3x| = 4

9) |x – 1| = |x – 3|

10) |x + 5| = |x – 7|

11) |x| + |x – 1| = 2

12) |x| + |x – 1| = 1

2. Решение неравенств с модулем

Решите неравенства

1) |x| < 0,5

2) |3x| > 6

3) |x| £ 0

4) |2x| ³ –1

5) |x – 2| < 4

6) |x + 2| > 1

7) |3 – x| £ 5

8) |–2 + 3x| ³ 6

9) |–x – 3| £ 7

10) |x| ³ |x – 1|

11) |x| + |x + 1| £ 2

12) |x| + |x + 1| < 1

А-4 Решение линейных неравенств

1. Решение линейных неравенств

Решите неравенства

1) x + 3 > 2x – 5

2)

3)

4) 2 (5 – 2x) £ 3 (2 – 3x)

5)

6) 2 (|x| – 1) = 3 |x|

7)

8)

9)

10)

11) x (x + 3) ³ (x – 1)(x + 4)

12) (x + 1)(3x – 2) < (3x – 1)(x + 3)

13)

14)

2. Решение систем линейных неравенств

Решите системы неравенств. Ответ запишите в виде объединения промежутков и изобразите его на числовой оси.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

А-5 Действия над приближенными значениями чисел

1. Стандартная запись числа

Запишите числа в стандартном виде. Укажите их порядки. Округлите их мантиссы до тысячных.

1) 73 513

2) 60,396

3) 0,5638

4) 6 348 000

5) 501,6

6) 357 × 106

7) 1 236 × 1010

8) 0,0239 × 10–3

9) 325 694 × 103

10) 0,0004756

11) 0,0000008

12) 6,0031

2. Действия над приближенными значениями

1) Вычислите с точностью до 0,01 значения выражений x + y, x – y, xy и для значений x и y, указанных в таблице.

x	2,1	6,18	26,4	0,567	1,12 × 10–2	2315,67
y	3,5	2,24	17,3	0,314	6,08 × 10–2	0,23

2) Вычислите приближенно значения выражения A = x2 – xy + y2 при указанных значениях x и y. Ответ запишите в стандартном виде, округлив мантиссу до десятых.

x	6,2 × 106	1,04 × 10–3	5,761 × 102	2,7 × 10–3
y	3,4 × 106	2,16 × 10–3	6,23 × 103	4,6 × 104

А-6 Вычисление средних значений

1. В таблицах указаны ряды статистических данных. Вычислите средние арифметические и медианы для каждого из этих рядов.

1) Распределение числа баллов, набранных учениками класса в игре «Кенгуру»

Число баллов	83	70	71	76	78	80	81	85	92	93	94
Число учеников с этим баллом	4	1	5	7	2	4	1	2	3	0	1

2) Распределение числа учеников, правильно решивших данную задачу. Общее число учеников – 40.

№ задачи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Число учеников	32	24	11	38	6	20	16	31	32	24	8	2	24	8	16	18

2. Перед вами первые 100 знаков после запятой в десятичной записи числа p.

p = 3,

а) Вычислите, сколько раз появляется каждая цифра.

б) Каковы средние значения для частоты четных и нечетных цифр?

3. В таблице приведены среднемесячные температуры воздуха в Петербурге и Бресте (Франция).

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
П	–7	–8	–4	3	10	15	18	17	11	5	–1	–5
Б	7	7	8	11	13	16	18	18	16	13	9	7

а) Изобразите графически изменение среднемесячной температуры в тече­ние года для каждого из указанных пунктов.