Надежность систем

ГЛАВА IV. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ

Система - объект, представляющий собой совокупность элементов, взаимодействующих в процессе выполнения определенного круга задач и взаимосвязанных функционально.

Элемент (системы) - объект, представляющий простейшую часть системы, отдельные части которого не представляют самостоятельного интереса в рамках конкретного рассмотрения.

Существуют два класса задач математической надежности систем:

I. Задачи анализа, в которых характеристики надежности систем могут быть определены двумя способами:

a) по априорным сведениям о поведении системы в фазовом пространстве (при этом для описания этого поведения должны анализироваться элементы системы, в противном случае система была бы элементом);

б) по известным характеристикам надежности элементов.

2. Задачи синтеза, в которых определяются условия, обеспечивающие наилучшие значения показателей надежности систем в рамках существующих ограничений.

Также как и при исследовании надежности элемента исходным моментом решения задач надежности в рамках математической теории систем является задание математической модели системы в смысле надежности.

Можно выделить следующие основные этапы построения математических моделей систем:

1 этап. Определение показателя надежности системы.

2 этап. Определение фазового пространства элементов и системы

Если решение задачи надежности осуществляется в рамках способа а),то завершающим будет

3 этап. Определение случайного процесса X( t ) , описывающего поведение системы в фазовом пространстве.

Если решение задачи надежности осуществляется в рамках способа б),то необходимы еще два этапа.

4 этап. Установление связи между отказом системы и отказами элементов.

Сделать это не всегда просто. В дальнейшем будем полагать, что связь между отказами системы и элементов может быть однозначно установлена.

Математически такая связь может быть описана несколькими способами. В зависимости от применяемого способа описания различают следующие методы расчета:

I. С использованием структурных схем надежности, которые подразделяются на:

а) последовательные б) параллельные в) последовательно-параллельные

структурные схемы, приводимые к простейшим

г) структурные схемы, не приводимые к простейшим.

2. С использованием порядковых статистик.

3. С использованием булевых функций.

4. С использованием графа состояний системы.

Наиболее простыми являются I и 2 методы расчета. Однако, они не являются универсальными.

13-й методы применяются для анализа надежности невосстанавливаемых систем. 4-й метод - восстанавливаемых.

Наиболее универсальным является 4-й метод. Но он наиболее громоздкий. Иногда необходимо комбинировать методы.

5 этап. Задание характеристик надежности элементов.

§ 4.1 Надежность невосстанавливаемой системы
с независимыми элементами

Будем полагать, что элементы являются независимыми в смысле надежности, т. е. имеют место независимые отказы элементов.

Систему назовем невосстанавливаемой, если все элементы системы невосстанавливаемые. Если хотя бы один элемент системы восстанавливаемый, то и вся система восстанавливаемая.

Рассмотрим методы расчета, основанные на использование структурных схем надежности. При этом параллельно покажем, как можно использовать аппарат порядковых статистик.

I. Надежность системы с последовательной структурной схемой
(основное соединение)

Будем говорить, что система состоит из последовательно соединенных в смысле надежности элементов, если отказ любого элемента вызывает отказ всей системы. Структурная схема в случае последовательного соединения изображается следующим образом

Отметим, что структурная схема системы, определенная в смысле надежности, в общем случае не связана однозначно со структурной схемой, определенной в обычном смысле.

Например

а) Пусть система представляет собой параллельное соединение резисторов . Если отказ системы есть событие, состоящее в том, что , то при отказе типа «короткое замыкание» или «обрыв» любого из резисторов наступит отказ системы. Т. е. имеет место последовательная структурная схема надежности системы.

б) Пусть система представляет собой параллельное соединение индуктивности L и емкости C. Если отказ системы есть событие, состоящее в том, что полное сопротивление Z контура L-C на частоте f Z, то при отказе типа «короткое замыкание» или «обрыв» индуктивности или емкости наступит отказ системы. Т. е. имеет место последовательная структурная схема надежности.

I. Определим функцию надежности системы с последовательно соединенными элементами.

Обозначим:

- событие, состоящее в том, что система работоспособна на [ 0,t ]

- событие, состоящее в том, что n-ый элемент системы работоспособен на [ 0,t ]

Из определения системы с последовательно соединенными элементами следует, что для безотказной работы системы на [ 0,t ] необходимо, чтобы на [0,t ] все элементы проработали безотказно.

Функция надежности системы

(4.1)

где и - соответственно функция надежности и функция распределения времени до отказа n - го элемента. Из (4.1) следует, что при последовательном соединении надежность системы меньше надежности любого входящего в нее элемента и уменьшается с ростом N (при естественном предположении , n =; т. к. если бы для какого-либо n , то этот бы элемент отсутствовал бы на структурной схеме)

2. Функция ненадежности системы

(4.2)

где - функция распределения времени до отказа T системы, - функция ненадежности n - го элемента.

3. Частота отказов системы

(4.3)

где - частота отказов n -ого элемента

4. Интенсивность отказов системы

из (2.14) следует, что (4.4)

где - интенсивность отказов n - ого элемента. Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим

(4.5)

Отсюда следует, что интенсивность отказов системы при последовательном соединении элементов больше интенсивности отказов любого входящего в нее элемента.

5. Среднее время до отказа системы из (2.15)

(4.6)

Если все элементы системы равнонадежны, т. е.

, , ,

то (4.1)(4.6) преобразуется к виду

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Проиллюстрируем применение аппарата порядковых статистик на примере определения функции ненадежности системы (рис. 25) с равнонадежными элементами.

Пусть из генеральной совокупности, определяемой случайной величиной X с функцией распределения , в результате N независимых опытов получена выборка объема N

(4.12)

т. е. априори это последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин . Упорядоченная по величине последовательность выборочных значений

(4.13) называется вариационным рядом. Члены вариационного ряда называются порядковыми статистиками. Пусть

Тогда задача определения функции ненадежности системы с последовательной структурной схемой и N независимыми элементами с функцией ненадежности в терминах порядковых статистик может быть сформулирован следующим образом: найти функцию распределения наименьшей порядковой статистики . Известно, что

что совпадает с (4.8).

Рассмотрим случай, когда элементы имеют экспоненциальный закон надежности и . Тогда из (4.4)

(4.14)

где интенсивность отказов системы (4.15) Т. е. при экспоненциальном законе надежности элементов система с последовательно соединенными элементами будет также экспоненциально надежной.

Тогда из (4.6)

(4.16)

где - среднее время до отказа n -го элемента

2. Надежность системы с параллельной структурной схемой

Рассмотрим теперь второй простейший случай соединения элементов в системе. Будем говорить, что система состоит из параллельного соединенных в смысле надежности элементов, если отказ системы наступает только тогда, когда отказывают все входящие в систему элементы.

Структурная схема в случае параллельного соединения элементов изображается следующем образом

Пример: 2-е ЭЦВМ решающие одну и ту же задачу.

Отказ системы ‑ задача не будет решена ни на одной ЭВМ.

Отказ элемента (ЭВМ) ‑ задача не будет решена на данной ЭВМ.

I.  Функция ненадежности системы (рис.26)

Обозначим:

-событие, состоящее в том, что откажет система на

- событие, состоящее в том, что откажет n -ый элемент на

Согласно определению системы с параллельно соединенными элементами функция ненадежности

(4.17) где и - соответственно функция надежности и ненадежности n - ого элемента.

рис.28

рис.29

1 2 N

 

рис.25

1

2

N

рис.26

2. Функция надежности.

(4.18)

Из определения (4.17) следует, что при параллельном соединении вероятность отказа системы меньше вероятности отказа любого входящего в нее элемента, а, следовательно, с учетом (4.18) надежность системы - выше. Если все элементы равнонадежны, т. е. , то из (4.17), (4.18)

(4.19)

(4.20)

Проиллюстрируем применение аппарата порядковых статистик на примере определения функции ненадежности системы рис.26 с равнонадежными элементами, имеющими функцию ненадежности . Эта задача может быть сформулирована следующим образом: найти функцию распределения наибольшей порядковой статистики вариационного ряда (4.13). Известно, что

что совпадает с (4.19)

Если к тому же справедлив экспоненциальный закон надежности, то из (4.19), (4.20)

(4.21)

(4.22) т. е. при параллельном соединении элементов с экспоненциальным законом надежности надежность системы не будет подчиняться экспоненциальному закону надежности

(4.23)

3. Надежность системы с последовательно-параллельной структурной схемой

Будем говорить, что система имеет последовательно-параллельную структурную схему, если в ней любая группа элементов, в том числе и вся система, может рассматривается как последовательное или параллельное соединение элементов или других групп элементов.

Пример: система коллективного пользования. рис.27

 

Общее
ВЗУ

Мощная Межмашинный Мощная

ЭЦВМ1 адаптер ЭЦВМ2

Коллективный

адаптер

M M M

Линии связи

M M M

Периферийные ЦВМ

а) Структурная схема системы.

 

ЭЦВМ1

Коллект. ВЗУ

адаптер

ЭЦВМ2

б) Структурная схема надежности ЦВК

(межмашинный адаптер абсолютно надежный).

рис.27

Рассмотрим два примера расчета надежности систем, с параллельно-последовательной структурной схемой.

Пусть структурная схема содержит M параллельных групп, каждая из которых состоит из N одинаковых (в смысле надежности) элементов с функцией надежности

Надежность каждой группы из (4.7)

(4.25)

При увеличении числа M параллельных групп надежность возрастает и в пределе при . При увеличении числа элементов N в группе надежность уменьшается и при .

Пусть структурная схема содержит N последовательно соединенных групп, каждая из которых состоит из M параллельных элементов.

Надежность группы из (4.20)

(4.26)

Надежность системы из (4.7)

(4.27) При . При .

В значительном числе случаев структурная схема система может быть разделена на совокупность последовательных и параллельных ветвей различной степени сложности и поэтому расчет надежности может быть проведен аналогичными способами.

В произвольном случае метод расчета последовательно-параллельной структурной схемы состоит в следующем:

1) В структурной схеме выделяют фрагменты, представляющие собой последовательное или параллельное соединение элементов

2) Определяется надежность фрагментов в соответствии с разделами п.4.1.1 и 4.1.2.

3) Итерационно повторяются расчеты в соответствии с п.4.1.1 и 4.1.2.

Пример: Система коллективного пользования (см. рисунок)

Пусть система представляет собой вычислительную систему коллективного пользования и включает в себя ЦВК - центральный вычислительный комплекс и N периферийных ЭВМ для пользователей.

ЦВК содержит 2 мощные ЭВМ1 и ЭВМ2 с общим полем памяти (ЗУ).

МА - межмашинный адаптер (абсолютно надежен КА (МПФ) - мультиплексор ) передачи данных (коллективный адаптер)

М - модем (устройство согласования с радио или телефонным каналом )

Пользователи имеют в своем распоряжении маломощные ЭВМ.

ЭВМ1 и ЭВМ2 функционируют в 2-х режимах

1) параллельный (обмен данными через МА)

2) автономный

Т. к. существует 2 - ой режим, следовательно, при отказе одной ЭВМ всю нагрузку берет на себя вторая ЭВМ. Представим структурную схему надежности

ЗУ, МПД (КА) - включено последовательно

ЭВМ1, ЭВМ2 - между собой параллельно, в общей схеме последовательно.

4. Надежность систем со структурной схемой, не приводимой к простейшей.

а) Надежность системы с мостиковой структурной схемой.

Пусть система состоит из двухпроцессорной ЭЦВМ с общим полем памяти, состоящей из 2 - х ЗУ. Положим, что обмен данными между двумя процессорами Пр1 и Пр2 может осуществляться следующими путями

I. ЛСI®ЗУI®ЛС3

2. ЛС2®ЗУ2®ЛС4

3. ЛСI® ЗУI®ЛС5®ЗУ2®ЛС-4

4. ЛС2®ЗУ2®ЛС5®ЗУI®ЛС-3

Пусть требуется определить надежность передачи данных из ПРI в ПР2. Отказ системы может произойти, если произошли одни из следующих групп отказов (считаем, что в ЗУ I и 2 потеря или сбой данных исключен, т. е. они абсолютно надежны):

I. ЛСI и ЛС2 3. ЛСI, ЛС5, ЛС4 2.ЛС3 и ЛС4 4. ЛС2, ЛС5, ЛС3

Метод особого элемента

Структурная схема надежности может быть представлена следующим образом (рис.31). Она является не приводимой к простейшей.

 

ЛС1 ЗУ1 ЛС3

Пр 1 ЛС 5 Пр 2

ЛС 2 ЗУ 2 ЛС4

рис.30

ЛС 1 ЛС 3

ЛС 5

ЛС 2 ЛС 4

рис.31

 

ЛС 1 ЛС 3

ЛС 2 ЛС 4

рис.32

ЛС 1 ЛС 3

ЛС 2 ЛС 4

рис.33

Определим функцию надежности такой системы. Обозначим - вероятность безотказной работы ЛС, n=I, ... ,5 на интервале [0, t]. А - работоспособна система, - работоспособен n - й элемент.

Для определения воспользуемся формулой полной вероятности, для чего выделим два возможных состояния ЛС5: работоспособное и неработоспособное (метод разложения относительно особого элемента ЛС-5)

(4.28)

Если ЛС5 работоспособна, то структурная схема рис.31 преобразуется в структурную схема рис.32

Тогда:

(4.29) Если ЛС5 неработоспособна, то структурная схема рис.25 преобразуется к структурной схеме рис.33.

Тогда:

(4.30)

Представляя (4.29),(4.30) в (4.28) с учетом

, получим

Вместо ЛС5 в качестве особого элемента может быть взят любой другой.

б) Надежность системы с сетевой структурной схемой.

Найдем функцию надежности сети рис.36, приняв в качестве ее вероятность наличия связи между вершинами I и 3 .

1 3

6 7

5 8

4

рис. 34

5 8

4

рис. 35

2

1 2

6

5

8

4 3

4

рис. 36

Обозначим: - функция надежности n - ого элемента =

- функция ненадежности n - ого элемента = Выделим следующие восемь возможных состояний группы элементов I, 5, 4 и приведем для них структурные схемы надежности (p - работоспособное, н -неработоспособное)

Найдем теперь функцию надежности сети рис.36, приняв в качестве ее вероятность наличия связи между вершинами I и 4

N состояния i	состояние элементов	структурная схема
	1	5	4
1	р	р	р	2 1,2,5,4 7 3 3	6 2,4,5 8 петлей можно пренебречь
2	н	р	р	1,5,4 3 6 2 7 3

3	р	н	р	2 6 7 8 3
4	р	р	н	2 7 8 3
5	н	н	р	6 2 8 7 3
6	н	р	н	6 2 7 8 3
7	р	н	н	2 6 7 8 3
8	н	н	н

Выделим два состояния 2 - го элемента

Если 2 элемент работоспособен, то структурная схема

Если 2 элемент неработоспособен, то структурная схема

1 способ - лобовой (с выделением 3 - х особенных элементов).

Будем считать, что в каждой из вершин находятся вычислительные мощности, которые сообщаются по линиям связи.

Необходимо передать информацию из узла 1 в узел 3, в качестве функции надежности вероятность безошибочной передачи данных, ошибки могут быть только в линиях связи.

Формула полной вероятности

2 способ - в более рациональном выборе особого элемента.

8 - ой элемент особый - элемент работоспособен

1 2 2 6 4 4 3

1 2 5 6 7 4 3

- элемент неработоспособен

1 2

1 5 3

 

4 3

Метод «условного» элемента

Данный метод состоит в расчете функции надежности по структурной схеме последовательно-параллельного типа.

Суть подхода в том, что выделяются все ситуации, приводящие к отказу системы. Каждой ситуации ставится в соответствие условный элемент. Поскольку отказ системы наступает в каждой из выделенных ситуаций, то “условные” элементы соединены последовательно. Даже каждый условный элемент структурно определяется через элементы системы на основании установленной взаимосвязи между отказами.

Смотрите мостиковую структурную схему надежности.

Усл 1. ЛС1®ЗУ1®ЛС2

Усл 2. ЛС3®ЗУ2®ЛС4

Усл 3. ЛС1®ЗУ1®ЛС5®ЗУ2®ЛС4

Усл 4. ЛС3®ЗУ2®ЛС5®ЗУ1®ЛС2

Из получаем, что существует 4 ситуации, которые приводят к отказу, следовательно, на первом этапе структурная схема системы будет состоять из 4 - х условных элементов

усл.1 усл.2 усл.3 усл.4

Преобразуем эту схему, учитывая, что только отказ системы наступает только при одновременном отказе элементов системы, входящих в условные элементы, следовательно они соединены в смысле надежности параллельно.

1 2

1 3

5 5

рис.4

Задание 1(самостоятельно) Рассчитать функцию надежности по рис. ..., показать, тождественность результатов с полученными ранее.

Замечание: Для целого ряда структурных схем надежности, не приводимым к простейшим, определение показателей надежности могут быть громоздким (особенно в случае большого количества “особых” элементов). Поэтому ограничиваются получением оценок (нижней и верхней).

При построении оценок используют 2 утверждения:

1. Исключение из структурной схемы для каждого элемента с заменой его на абсолютнонадежный всегда повышает надежность всей системы в целом;

2. Исключение из структурной схемы для каждого элемента с заменой его на абсолютно ненадежный всегда снижает надежность всей системы.

Указанные выше утверждения применяются последовательно для одного или нескольких ОЭ, причем при получении нижней и верхней оценок эти элементы, в принципе, могут быть разными.

Применим результаты к мостиковой структурной схеме. Выделим 5 ОЭ. Применяя правило, получим:

- оценка сверху следует из рис. ... и определяется соотношением (4. ..)

- оценка снизу следует из рис. 4... и определяется соотношением (4. ...)

Задание 2 (самостоятельно) Показать аналитически, что (4. ..) и (4. ...) являются оценками снизу и сверху. (взять результаты (4. ..) и (4. ...) и сравнить их с безусловной ф. н.) при полной подстановке всех величин.

§ 4.3 Надежность восстанавливаемой системы с независимыми и мгновенно восстанавливаемыми элементами

Задачу исследования надежности систем будем рассматривать при следующих допущениях:

I. Элементы системы взаимно независимы в смысле надежности;

2. После отказа каждый элемент системы восстанавливается мгновенно, причем исходные свойства каждого элемента восстанавливаются полностью;

3. Потоки восстановления каждого из элементов удвлетворяют требованиям введенным в § 3.1.

4. Структурная схема системы, содержащей N элементов, является последовательной.

Если система состоит из последовательно соединенных в смысле надежности элементов, то отказ любого элемента приводит к отказу всей системы. рис.37. Тогда поток восстановлений системы будет равен сумме N потоков восстановлений элементов.

Найдем некоторые характеристики потока восстановления системы.

1. Распределение числа отказов системы , происшедших на [0,t]

Распределение числа отказов системы из N последовательно соединенных элементов

формулу можно упростить лишь для конкретных условий: функция системы и характеристик надежности элементов,

где определяются согласно (3.10).

Функция распределения момента первого отказа системы

, при К ³ 2 могут быть найдены по известным , к =I,2, ... и из выражений (последовательно)

, n =1, 2, ...

Хинчин показал, что при , поток восстановления системы переходит в простейший.

2. Функция восстановления системы равна среднему числу отказов системы на интервале (0,t). Очевидно, что

(4.33)

где - функция восстановления n - ого элемента на интервале (0,t). Осредняя (4.33), получим

(4.34)

где - функция восстановления n - ого элемента.

3. Плотность восстановления системы

(4.35)

где - плотность восстановления n - ого элемента.

4. Вероятность безотказной работы на произвольном интервале

(4.36)

где - вероятность безотказной работы n - ого элемента на интервале .

Пусть закон надежности каждого элемента системы - экспоненциальный, т. е. в соответствии с (3.16)

Тогда

(4.37)

т. е. поток восстановления системы является пуассоновским, как и для каждого элемента, и, следовательно, для системы справедливы результаты §3.3 с учетом (4.37).

Асимптотические свойства потока восстановления системы полностью определяются асимптотическими свойствами потоков восстановления каждого из элементов. Т. е. можно сформулировать асимптотические свойства по аналогии с приведенными в §3.4 для МВ7. Например,

(4.38)

т. е поток восстановления системы, как и для МВ7. с течением времени переходит в стационарный.

§ 4.4 Надежность восстанавливаемой системы с независимыми ЭКВВ

Допустим:

I. Система состоит из N последовательно соединенных независимых в смысле надежности элементов.

2. Потоки отказов каждого элемента удовлетворяют ограничениям, введенным в § 3.5.

Можно указать различные варианты осуществления восстановления.

Рассмотрим 2 примера.

Пример I. Дополнительно положим, что во время восстановления любого элемента остальные продолжают работать.

Из рис.38 следует, что поток восстановления системы не равен сумме потоков восстановления элементов. Поэтому здесь исключена возможность определения показателей надежности системы по аналогии с § 4.3.

В частности,

Определим . Обозначим

А - событие, состоящее в том, что система работоспособна в момент времени t.

- событие, состоящее в том, что n - ый элемент работоспособен в момент времени t .

По определению:

(4.39)

где , и - соответственно коэффициент готовности, функция надежности и функция восстановления n -ого элемента.

Определим .

(4.40)

где , , - соответственно коэффициент готовности, среднее время работы до отказа и среднее время восстановления n-ого элемента. С другой стороны, по аналогии с (3.47)

где и - соответственно среднее время работы до отказа и среднее время восстановления системы.

Из (4.40), (4.41) получаем тождество

которое позволяет определить одну из величин по другим, например:

Пример 2. Теперь положим, что при восстановлении вся система заменяется новой. Это соответствует, например, случаю, когда с целью уменьшения времени восстановления не ищут неисправный элемент. Пусть время восстановления системы распределено по закону со средним .

Найдем функцию распределения времен , n =1,2,... на основании (4.2)

(4.42)

тоесть образованая, функция (4.42) не зависит от № отказавшего элемента, а только от количества элементов, т. е. функция распределения - стационарна и одинакова для различных номеров отказов.

Поток восстановления системы будет аналогичен потоку восстановления для ЭКВВ. Тогда здесь можно использовать все результаты, полученные в § 3.5 с учетом (4.42), в том числе и асимптотические свойства.