Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона

Учитель идентификатор

Приложение 1 к уроку «Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона».

Алгебра 7 класс.

Рис.1

Прочитайте выражения:

1.  (х +2у)2,

2.  (а- b)3,

3.  (c - d)2,

4.  (а+1)3,

5.  (с+3а)4,

6.  (х -2)5.

Что общего в заданных выражениях?

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена.

Рис.2.

1.  (х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2

2.  (а - 2)3 = а3 - 3а2 ∙2 +3а ∙22 – 23= а3 - 6а2+12а –8.

3.  (c – 0,1d)2 = с2 – 0,2cd + 0,01d2.

4.  (а+2у)3 = а3 + 3а2∙ 2у +3а∙ (2у)2 +(2у)3= а3 + 6а2у +12а∙у2 +8у3.

5.  (с+а)4 = (с+а)2 ∙ (с+а)2 = (с2 +2са + а2) ∙ (с2 +2са +а2) =

= с4 + 2ас3 +а2с2 + 2ас3 +4а2с2 +2а3с +а2с2 +2а3с +а4 =

= с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4.

6. (х -2)5 = (х -2)3∙ (х -2)2 = (х3 – 6х2 +12х – 8) ∙ (х2 – 4х+ 4) =

= х5 - 4х4 +4х3 - 6х4 +24х3 – 24х2 +12х3 - 48х2 + 48х – 8х2 +32х -32 = х5 -10х4 + 40х3 – 80х2 +80х -32.

Рис.3

Определение:

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по m (0 ≤ m ≤ n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Определение:

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С, читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С= , где n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ ……. ∙ (n-2)∙(n-1)∙n (читается n–факториал).

Отметим некоторые свойства числа сочетаний:

С= С; С= С= 1; С= С + С , где n, r ≥1

Рис.4

Пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Решение: Данные цифры – это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа – это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С= = =10.

Рис.5

1.  (х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2

2.  (а - 2)3 = а3 - 6а2+12а –8.

3.  (c – 0,1d)2 = с2 – 0,2cd + 0,01d2.

4.  (а+2у)3 = а3 + 6а2у +12а∙у2 +8у3.

5. (с+а)4 = с4+ 4с3а +6с2а2 + 4са3 +а4.

6. (х -2)5 = х5 -10х4 + 40х3 – 80х2 +80х -32.

Рис.6

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии; Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой; Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n – степень двучлена, m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

Рис.7

Определение: Бином Ньютона

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

(a+b)n = Сan+ Сan-1 b + Сan-2 b2 +….+ Сan-r br +….+ Сbn.

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С- биномиальными коэффициентами.

Рис.8

Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:

(х -2)5= Сх5 + Сх4∙(-2)1 + Сх3 (-2)2 + Сх2 (-2)3 +Сх1 (-2)4 +С(-2)5=

(где С= С=1; С= С==5; С= С===10.)

=х5 -5∙х4∙2+ 10х3∙ 22 – 10х2∙ 23 +5х ∙ 24-25= х5 -10х4 + 40х3 – 80х2 +80х -32.

Рис.9

Формула бином Ньютона имеет вид:

(a+b)n = Сan+ Сan-1 b + Сan-2 b2 +….+ Сan-r br +….+ Сbn.

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии; Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой; Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n – степень двучлена, m – переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения. Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Рис.10. Определение:

Треугольник Паскаля - это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.

С

С С

С С С

С С С С

С С С С С

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей (свойство С= С + С, где n, r ≥1 ).

1

1 1

1 2 1

.

Рис.11. Треугольник Паскаля для n от 1 до 10.

n	k1	k2	k3	k4	k5	k6	k7	k8	k9	k10	k11
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	70	70	56	28	8	1
9	1	9	36	126	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	210	210	252	210	120	45	10	1

Рис.12.

2). Дополнительный уровень.

Сверните сумму в степень двучлена, если это возможно:

16a4 + 32a3 +216a2+72a +81.

Решение: 16a4= (2а)4, 81 = 34. Предположим, что данная сумма является ( 2а+3)4.

Тогда второе слагаемое должно быть равно 4∙(2а)3∙3=96а3 ≠ 32a3 , т. е. данная сумма не может быть степенью двучлена. Проверим далее, хотя для ответа в этом уже нет необходимости. Третье слагаемое 6∙(2а)2∙32=216а2 – совпадает, четвёртое слагаемое 4∙2а∙33= 216а ≠ 72а. Итого, допущено две ошибки.

Ответ: данная сумма не может быть степенью двучлена.

Рис 13. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой.

1. Представьте степень двучлена в виде многочлена,

используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:

а) (х+у)6

б) (1- 2а)4

2. Найти значение выражения (С+ С) : С

Рис 14. Решение заданий самостоятельной работы.

1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху5 +у6.

1б) (1- 2а)4 = 1 ∙ 14 ∙(2а)0 – 4∙ 13∙ 2а + 6∙ 12∙ (2а)2 – 4 ∙ 11 ∙ (2а)3 + 1 ∙ 10(2а)4 =

= 1 - 8а + 24а2 – 32а3 + 16а4.

2. (С+ С) : С = = + = = 1.

напомним, что =n; =

Рис15.

Домашнее задание:

Выучить формулу бином Ньютона. Выучить формулы числа сочетаний и их свойства. Представить в виде многочлена:

·  (х - 1)7

·  (2х – ½)4

4. Свернуть сумму в степень двучлена, если это возможно

·  81хх3у + 54х2у2 – 12ху3 + у4.

·  32а5+40a4b +20a3b2 +5a2b3 +5/8ab4 +1/32b5

5. Дополнительный уровень.

Решить уравнение 5 ∙С= С, используя формулу числа сочетаний.