Л. М. ЕРМАКОВ, В. Н. НИКОЛАЕНКО

КОМПЬЮТЕРНАЯ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ПО ИССЛЕДОВАНИЮ МИРАЖЕЙ

При преподавании физики учителям школ и ВУЗов приходится привлекать разнообразный арсенал средств активизации познавательной деятельности обучающихся. Естественно, что на первое место среди них при преподавании физики следует поставить натурный демонстрационный и лабораторный эксперименты, однако, к сожалению, для подавляющего большинства наиболее интересных физических явлений разработать натурный эксперимент оказывается либо очень дорого, либо невозможно. В этом случае на помощь преподавателю приходят компьютерные технологии, которые оказываются в состоянии решить многие сложные задачи экспериментально физики [1].

Мы в данной статье хотим показать, как можно поставить лабораторную работу по изучению явления оптических миражей с помощью компьютерной модели.

Мираж (фр. mirage – букв. видимость) – оптическое явление в атмосфере: отражение света границей между резко различными по плотности слоями воздуха. Такое отражение для наблюдателя состоит в том, что вместе с отдалённым объектом (или участком неба) видно его мнимое изображение, смещённое относительно предмета. Миражи делят на нижние, видимые под объектом, верхние – над объектом, и боковые.

Нижний (озерный) мираж наблюдается при очень большом вертикальном градиенте температуры (падении её с высотой) над перегретой ровной поверхностью или асфальтированной дорогой. Мнимое изображение неба создаёт при этом иллюзию воды на поверхности. Так, уходящая вдаль дорога в жаркий летний день кажется мокрой.

Верхний миражнаблюдается над холодной земной поверхностью при инверсионном распределении температуры (растет с её высотой).

Боковой мираж. (Фата-моргана. Объёмный мираж).Сложные явления миража с резким искажением вида предметов носят название Фата-моргана. В горах очень редко, при стечении определённых условий, можно увидеть «искажённого себя» на довольно близком расстоянии. Объясняется это явление наличием в воздухе «стоячих» паров воды.

Длятеоретического объяснения перечисленных оптических явлений достаточно рассмотреть задачу о распространении света в среде с неоднороднымпоказателем преломления по одной координате (одномерная неоднородность). Но поставить натурный эксперимент для демонстрации или, тем более, лабораторного изучения данного явления оказывается сложно. В этом случае на помощь приходит компьютерный эксперимент, в основе которого лежатчисленные методы анализа. Рассмотрим технологию разработки компьютерной моделинижнего миража.

Первым шагом при разработке компьютерной модели данного явления является вывод математического уравнения траектории света в слоистой среде (рис.1). При распространении света в такой среде в силу закона преломления справедливо соотношение

(1)

1
 
Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина каждого из них неограниченно убывает. В пределе мы получим неоднородную среду с непрерывно меняющимся показателем преломления. Если показатель преломления меняется мало на протяжении длины световой волны, то можно пренебречь эффектами отражения на границе сред. Лучи света, распространяющиеся в такой среде, имеют форму кривых линий.

Для расчета координат траектории луча света воспользуемся тем, что для любой точки траектории луча, в соответствии с (1), выполняется равенство

Таким образом, уравнение для траектории луча, в соответствии с рис. 1, будет иметь вид:

решая которое найдем форму кривой луча света при задании зависимости и величины C из условия

, (4)

в котором параметры и задаются, то есть являются начальными условиями для угла падения и показателя преломления в известной среде.

Уравнение траектории светового луча (3) выведено для слоистой среды, однако оно справедливы и в общем случае, т. к. небольшой объем любой среды можно рассматривать как часть слоистой.

Для исследования явления нижнего миража к (4) необходимо добавить условие полного внутреннего отражения на границе двух слоев и

(6)

Вторым шагом при компьютерном моделировании является представление дифференциальных уравнений исследуемых процессов в безразмерном виде с помощью критериев подобия. Для этой цели используем методику, изложенную в [2], и преобразуем уравнение (3) к безразмерному виду

где

Параметры и являются константами приведения, определяющими критерий подобия . В наших задачах для упрощения калибровки графиков, одинаковости размерностей по координатам и , а также обеспечения устойчивости алгоритмов вычисления уравнений (7) численными методами целесообразно считать, что и . – это тот слой атмосферы, у которого величина C задана по формуле (4). При таком выборе критерия подобия и коэффициентов привидениядиапазоны изменения приведенных независимых параметров и будут представляться неравенствами

(8)

В дальнейшем мы не будем употреблять индекс ч, имея в виду, что и числа, тогда уравнения (7) примут окончательный вид, готовый для численного решения

Третьим шагом численного (компьютерного) моделирования является представление дифференциального уравнения (7) в конечно-разностном виде. Воспользуемся методом Эйлера численного решения данного уравнения и представим его в виде, готовом для программирования

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В соответствии с методом Эйлера расчет координат и проводится по формуле (9) раз ( изменяется от 1 до ). Шаг в процедуре Эйлера связан с и максимальной высотой неоднородной среды соотношением . Система (9) полностью подготовлена для разработки компьютерной программы, кроме одного, нам необходимо задать зависимость показателя преломления от высоты.

При рассмотрении нижнего миража зависимость показателя преломления от высоты имеет вид, изображенный на рис.2. (Характер такой зависимости показателя преломления от высоты объясняется очень сильным нагревом песчаной почвы у земли или на горячей асфальтовой дороге). Будем считать, что промежуток исчезающе мал по сравнению со всем интервалом высот и нам известны показатели преломления в трех точках и (см. рис.2). В таком случае, на интервале (нижний интервал) показатель преломления можем представить уравнением

(10)

в котором и.

В верхнем интервале поведение показателя преломления будет иметь вид

, (11)

где и

В соответствии с рис. 2выполняются неравенства и .

2
 
Благодаря этим неравенствам в верхней половине пути луч распространяется из оптически менее плотной среды в оптически более плотную, а в нижней половине из более плотной – в менее плотную.

Поэтому в нижней половине (у поверхности Земли) при определенных углах падения можно наблюдать явление нижнего миража, то есть полного внутреннего отражения, когда преломленный луч отсутствует и интенсивность отраженного луча равна интенсивности падающего луча.

Отражение луча света начинается на такой высоте, на которой выполняется условие полного внутреннего отражения

Так как , то полное внутреннее отражение начинается с момента, когда текущее значение сравняется с величиной :

. (12)

Ниже приведена программа построения траектории луча света в среде, у которой экстремум показателя преломления достигается при . В этой программе при достижении условия (12) решения уравнений(9)сшиваются на высоте процедурой

ifz>=z0/2 thenr:=Sqr(n0*exp(c2*(z-z0*0.5)))-A*A

else r:=Sqr(n1*exp(c1*z))-A*A;,

которая обеспечивает переход от формулы (11) к (10), изменением направления отсчета .

Четвертым шагом разработки компьютерной модели хода луча света

при соблюдении условий возникновения явления нижнего миража является составление программы на языке Delphi:

unit Light;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

Edit2: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit3: TEdit;

Label4: TLabel;

Edit4: TEdit;

Label5: TLabel;

Edit5: TEdit;

Chart1: TChart;

Series1: TLineSeries;

Button1: TButton;

Label6: TLabel;

Edit6: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

const

z0=1;

var

x, z,fi, A,dz:real;

n0,n1,n2,c1,c2:real;

M:integer;

H, S:array of real;

H1:real;

function F1:real;

var

r:real;

begin

if z>=h then r:=Sqr(n0*exp(c2*(z-z0*0.5)))-A*A

else r:=Sqr(n1*exp(c1*z))-A*A;

if r>1E-4 then result:=A/sqrt(r)

else begin dz:=-dz;result:=A/(sqrt(abs(r))+0.0001);end;

end;

Procedure Eiler;

begin

x:=x+F1*abs(dz); z:=z+dz;

end;

Procedure FormPaint(Sender:TObject);

var

i, j:integer; l:boolean;

begin

fi:=StrToFloat(Form1.Edit1.Text); //начальныйуголпадения

fi:=fi*Pi/180;

n2:=StrToFloat(Form1.Edit2.Text); { показательпреломлениявначале}

n0:=StrToFloat(Form1.Edit3.Text); { показатель преломления в конце}

dz:=StrToFloat(Form1.Edit4.Text);

M:=StrToInt(Form1.Edit5.Text);

N1:=StrToFloat(Form1.Edit6.Text); { показатель преломления на высоте h1}

H1:=StrToFloat(Form1.Edit7.Text); {высота экстремальной области}

SetLength(S, M);

SetLength(H, M);

Form1.Series1.Clear;

c1:=n2/n0;

c1:=ln(c1);

A:=n1*sin(fi);

c2:=ln(n1/n2);

i:=1;

z:=z0;

x:=0;

l:=true;

while l do

begin

Eiler;

S[i-1]:=x; H[i-1]:=z;

Form1.Series1.AddXY(x, z,'',clRed);

i:=i+1;

if (z<0) or (i>M) then l:=false;

end;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

FormPaint(Sender);

end;

end.

Интерфейс программы приведен на рис. 3. Он состоит из 3 областей:

1. Области ввода параметров.

2. Области «кнопок» запуска программ «экспериментального» графика и графика статистической обработки.

3. Области вывода «экспериментального» графика.

Опишем каждую из них.

1. В первой области Fi, , , – коэффициенты в формулах (10), (11) и (12); dz, М – шаг и число разбиений интервала высот ;

2. В данной области имеются «кнопка» запуска программы.

3. В третьей области при нажатии «кнопки» «Пуск» в правом верхнем углу формы вычерчивается траектория луча света в интервале высот .

Рис.3. Интерфейс программы

Ниже мы сформулировали задания для выполнения лабораторной работы по исследованию явления нижнего миража.

Задание 1. Наблюдая за видом графиков траектории луча света при разных углах падения и разных показателях преломления среды , ,выяснить, как зависит появление внутреннего отражения от этих параметров.

Задание 2. Исследовать явление появления «озерного» миража.

Порядок выполнения работы по заданию 2:

1. Изменяя Fi0 от 0 до max при заданном отношении , зафиксировать значения угла Fi0*, при котором будет наблюдаться эффект полного внутреннего отражения. Изменяя *, построить график зависимости .

2. Изменяя Fi0 от 0 до max при заданном отношении , вычислить, на каком расстоянии S от наблюдателя находится нижний мираж, если наблюдатель имеет фиксированную высоту . Построить график зависимости S от Fi0.

3. Изменяя соотношение при заданном Fi0, вычислить расстояние S от наблюдателя до нижнего миража, если наблюдатель имеет фиксированную высоту . Построить график зависимости S от.

______________________

1.Бутиков моделирования в обучении физике. Компьютерные инструменты в образовании, 2002. – №5. (faculty. *****/butikov/Russian/Role).

2. Гухман в теорию подобия. – М., 1963.