Задача о справедливом дележе земельного участка

Задача о справедливом дележе земельного участка

и Иван Никифорович поссорились из-за участка земли, который имел треугольную форму. Никак они не могли взять в толк, как им построить на этом участке прямолинейный забор так, чтобы дележ был справедливым, чтобы земли им досталось поровну. Задача осложнялась еще и тем, что на границе участка росло единственное тенистое дерево, и каждый из них хотел иметь возможность полежать под ним в солнечный день.

Вот перед ними и возникла задача по геометрии.

Задача ( основная ). Можно ли разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит внутри стороны треугольника? А если можно, то как это сделать?

Гипотеза.

Проведем мысленный эксперимент. Зафиксируем точку внутри стороны треугольника и рассмотрим луч с началом в этой точке. Будем мысленно вращать этот луч. Начальное положение такого луча - в одну из вершин треугольника, принадлежащих данной стороне. Финальное положение - в другую вершину этой же стороны. Недалеко от начального положения площадь части данного треугольника, расположенной левее переменного луча, меньше площади части данного треугольника, расположенной правее переменного луча. Недалеко от финального положения площадь части данного треугольника, расположенной левее переменного луча, больше площади части данного треугольника, расположенной правее переменного луча. Следовательно, при определенном положении переменного луча эти площади равны. Остается вопрос - при каком положении?

Подробнее. Возможность нужного нам разбиения можно обосновать из соображений непрерывности в процессе вращения прямой вокруг выбранной точки K внутри стороны BC треугольника ABC. Сначала через точку K проведем прямую, которая пересекает сторону AC треугольника ABC близко от точки C. Ясно, что при таком положении прямой часть площади исходного треугольника, которая находится левее ее, меньше части площади исходного треугольника, которая находится правее ее ( рис. 1а)

Рисунок. 1а

По мере вращения этой прямой по часовой стрелке "левая площадь" будет увеличиваться, а правая уменьшаться. Когда прямая окажется вблизи вершины B, часть площади исходного треугольника, которая находится левее ее, больше части площади исходного треугольника, которая находится правее ее ( рис. 1б) .

Рисунок 1b.

Значит, в какой-то момент эти площади будут равны.

Компьютерный эксперимент приводит к мысли о том, что это можно сделать всегда. Но вопрос о положении луча остается.

Для начала решим задачи попроще.

Задача 1 ( вспомогательная ). Как разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в вершине треугольника?

Решение

Другим концом такого отрезка является середина стороны, противоположной данной вершине ( рис.2 ) .

Рисунок 2.

Пусть ABC - данный треугольник, вершина A - один из концов данного отрезка. Пусть точка M - середина стороны BC, иначе говоря, AM - медиана треугольника. Для доказательства проведем высоту AH в данном треугольнике. Пусть S1 - площадь треугольника ABM, S2 - площадь треугольникаACM. Тогда имеем:

S1 = 0,5 BM · AH, S2 = 0,5 CM · AH. И так как BM = CM, то S1 = S2.

Задача 2 ( вспомогательная ). Как разделить отрезком треугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в середине стороны треугольника?

Решение

Задача решается аналогично предыдущей. Разница лишь в том, что она имеет не одно, а три решения. Этим решением является медиана данного треугольника, а медиан в треугольнике три.

Задача 3 ( вспомогательная ). Дан отрезок AB. По какой линии движется точка X такая, что треугольник AXB имеет одну и ту же площадь?

Ответ. Искомая траектория - прямая, параллельная прямой AB. Таких прямых две.

Задача 4 ( основная )

Решение

Пусть ABC - данный треугольник, точка K - один из концов данного отрезка. Для доказательства проведем AK, медиану AM, отрезок ML || AK, KL. Пусть отрезки KL и AM пересекаются в точке P ( рис. 3 ).

Рисунок 3.

Теперь докажем, что площадь четырехугольника BALK равна площади треугольника BAM, то есть половине площади исходного треугольника.

Имеем:

S ( BALK ) = S ( BAPK ) + S ( APL ), S ( BAM ) = S ( BAPK ) + S ( KPM ). Теперь достаточно доказать, что S ( APL ) = S ( KPM ). Для этого заметим, что прямые AK и ML параллельны, а потому перпендикуляры, проведенные из точек M и L на прямую AK, равны. Но тогда равны высоты в треугольниках AKL и AKM. А так как у этих треугольников одно и то же основание AK, то их площади равны: S ( AKL ) = S ( AKM ) . Далее имеем:

S ( APL ) = S ( AKL ) - S ( AKP ), S ( KPM ) = S ( AKM ) - S ( AKP ). Вот и получается, что треугольники APL и KPM равновелики.

Доказательство закончено.

Замечание 1. Теперь мы знаем, как разделить площадь треугольника пополам отрезком, один конец которого лежит на стороне треугольника ( в вершине треугольника или внутри стороны ). А как это сделать, если конец отрезка, который делит эту площадь пополам, находится на продолжении стороны треугольника?

Компьютерный эксперимент позволяет убедиться в том, что способ решения, предложенный выше для основной задачи, не проходит.

Однако неформальные соображения непрерывности показывают, что задача должна иметь решение и в этом случае.

Компьютерный эксперимент позволяет убедиться в существовании решения задачи.

Расширение 1. Пусть точка X находится на медиане AM треугольника ABC. Сравните между собой площади треугольников XAC и XAB.

Ответ. Эти площади равны.

Решение

В самом деле,

S ( XAC ) = S (MAC) - S ( MCX ), S ( XAB ) = S (MAB) - S ( MBX ).

Но S (MAC) = S ( MAB ), S ( MCX ) = S ( MBX ) - это следует из задачи 1. Отсюда получается нужное нам равенство площадей.

Рисунок 4.

Расширение 2. Пусть ABC - данный треугольник, а точка X такова, что треугольники XAC и XAB равновелики. Где находятся все такие точки?

( Вариант задачи: по какой траектории движется точка X такая, что

треугольники XAC и XAB равновелики? )

Решение

Множество таких точек - две прямые. Одна из них проходит через медиану AM треугольника ABC за исключением точки А; другая проходит через вершину A и параллельна прямой BC.

Обобщая решение расширения 1, мы можем легко получить, что любая точка X1 или X2 на прямой AM ( кроме точки A ) обладает нужным нам свойством. Это легко видеть из рисунка 5.

Рисунок 5.

Кроме этой прямой, есть еще одна прямая, каждая точка которой

( кроме точки A ) также удовлетворяет условию. Это прямая KL, проходящая через точку A и параллельная прямой BC ( рис. 6 ).

Рисунок 6.

В самом деле, треугольники XBC и XAB равновелики, так как у них общее основание AX и равные высоты - как расстояния между параллельными прямыми.

Осталось доказать, что других точек на плоскости с нужным нам свойством нет.

Для доказательства заметим, что треугольники XAC и XAB имеют общее основание XA, а потому задача сводится к нахождению прямой, равноудаленной от двух данных вершин B, C треугольника ABC. Вообще говоря, эта задача хорошо известна - это как раз две указанные выше прямые, осталось только вспомнить решение этой задачи.

Проведем перпендикуляры из точек B и C на прямую AX. Эти перпендикуляры BB1 и CC1 могут располагаться как с одной стороны от прямой AX, так и с разных сторон от нее. Сообразно этим двум случаям получаем рисунок 7 или рисунок 8.

Рисунок 7.

В первом случае из равенства этих перпендикуляров следует параллельность прямых BC и AX.

Рисунок 8.

Во втором случае из равенства этих перпендикуляров следует равенство прямоугольных треугольников BNB1 и CNC1 ( по катету и острому углу ), откуда и получается равенство отрезков BN и CN, а отсюда уже следует, что точка N - середина стороны BC.

Расширение 3. Как разделить отрезком выпуклый четырехугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит в вершине четырехугольника?

Решение

Пусть данная точка находится в вершине A выпуклого четырехугольника ABCD. Проведем диагональ AC и затем через вершину D проведем прямую, параллельную прямой AC до пересечения ее в точке K с прямой BC ( рис

Рисунок 9.

Теперь проведем отрезок AK ( рис.Треугольники ACD и ACK равновелики, так как AC || DK.

Рисунок 10.

Поэтому S ( ABCD ) = S ( ABC ) + S ( ACD ) = S ( ABC ) + S ( ACK ) = S ( ABK ) .

В треугольнике ABK проведем медиану AM ( рис.Теперь видим, что S ( ABM ) = 0,5 S ( ABK ) = 0,5 S ( ABCD ).

Задача решена.

Рисунок 11.

Расширение 4. Как разделить отрезком выпуклый четырехугольник на две равновеликие ( равные по площади ) части, при том, что один из концов отрезка лежит внутри стороны четырехугольника?

Решение

Пусть данная точка K находится внутри стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD.

Проведем отрезки KB и KC. Затем проведем прямые через точки A и D соответственно параллельные прямым KB и KC. Пусть прямая, проведенная через A пересекает прямую BC в точке A1, а прямая, проведенная через D, пересекает прямую BC в точке D1 ( рис. 12 ).

Рисунок 12.

Соединим теперь точку K с точками A1 и D1 ( рис. 13 ).

Рисунок 13.

Получим треугольник KA1D1, равновеликий данному четырехугольнику ABCD. В самом деле:

S ( ABCD ) = S ( KBC ) + S ( KAB ) + S ( KCD ) = S ( KBC ) +

S ( KBA1 ) + S ( KCD1 ) = S ( KA1D1).

Теперь проводим медиану KM в треугольнике KA1D1 ( рис.Так как она делит пополам площадь треугольника KA1D1, то тем самым она делит пополам и площадь исходного четырехугольника ABCD.

Задача решена.

Рисунок 14.

Замечание 2. В приведенном решении точка M оказалась внутри стороны BC. Обязательно ли это? Может ли она оказаться вне этой стороны?

Компьютерный эксперимент проясняет ситуацию.

Замечание 3. Вместо проведения параллельных отрезков можно проводить отрезки, проходящие через середины сторон четырехугольника: из точки K через середины сторон AB и CD.

Для исследования сюжета подготовлены шаблоны Дележ_участка1, Дележ_участка2, Дележ_участка2. В каждом из них можно провести эксперимент, поискать закономерности, а если не удастся найти решение самостоятельно, воспользоваться подсказками.