Вычисление производных

Вычисление производных

1. Закон движения точки по прямой задается формулой , где — время (в секундах), — отклонение точки в момент времени (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки от момента времени  с до момента:

а)  с; в)  с;

б)  с; г)  с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент  с.

2. Закон движения точки по прямой задается формулой , где — время (в секундах), — отклонение точки в момент времени (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки от момента времени  с до момента:

а)  с; в)  с;

б)  с; г)  с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент  с.

3. Закон движения точки по прямой задается формулой , где — время (в секундах), — отклонение точки в момент времени (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки от момента времени  с до момента:

а)  с; в)  с;

б)  с; г)  с.

Вычислите мгновенную скорость точки в момент  с.

4. Закон движения точки по прямой задается формулой , где — время (в секундах), — отклонение точки в момент времени (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если:

а) ; в) ;

б) ; г) .

5. Закон движения точки по прямой задается формулой , где — время (в секундах), — отклонение точки в момент времени (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени , если:

а)  с; в)  с;

б)  с; г)  с.

6. Найдите производную функции:

1) ; 4) ; 7) ; 10) ;

2) ; 5) ; 8) ; 11) ;

3) ; 6) ; 9) ; 12) .

7. Найдите производную функции:

1) ; 4) ; 7) ; 10) ;

2) ; 5) ; 8); 11) ;

3) ; 6) ; 9) ; 12) .

8. Найдите производную функции:

1) ; 5) ; 9) ;

2) ; 6) ; 10) ;

3) 7) ; 11)

4) ; 8) ; 12) .

9. Найдите производную функции:

1) ; 9) ;

2) ; 10) ;

3) ; 11) ;

4) ; 12) ;

5) ; 13) ;

6) ; 14) ;

7) ; 15) ;

8) ; 16) .

10. Найдите производную функции:

1) ; 9) ;

2) ; 10) ;

3) ; 11) ;

4) ; 12) ;

5) ; 13) ;

6) ; 14) ;

7) ; 15) ;

8) ; 16) .

11. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных:

1) , ; 3) , , , .

2) , ; 4) , , , .

12. При каких значениях параметров и функция

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

13. При каких значениях параметров и функция

а) непрерывна на всей числовой прямой;

б) дифференцируема на всей числовой прямой?

14. Строится мост параболической формы, соединяющий точки А и В, расстояние между которыми 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, направленными к горизонту под углом a = 15°. Указанные участки должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной на рисунке системе координат.

15. а) При каких значениях параметра касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью , образуют между собой угол 60°?

б) При каких значениях параметра касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью , образуют между собой угол 45°?