Лекция 7. Тема: Кинетические явления

Лекция 7

Тема: Кинетические явления

План: 1. Средняя длина пробега молекул.

2. Явления переноса в газах. Уравнения переноса.

3. Явление диффузии. Закон Фика.

4. Теплопроводность. Закон Фурье.

5. Внутреннее трение. Закон Ньютона.

Введение

На прошлой лекции мы рассмотрели некоторые явления, связанные с молекулярно-кинетической природой физических процессов, протекающих в идеальном газе.

В частности, мы получили основные уравнения молекулярно - кинетической теории идеального газа, а также распределение молекул по кинетическим и потенциальным энергиям Максвелла и Больцмана. Однако, мы не затронули ряд практических и теоретических явлений, таких, например, как диффузия, теплопроводность и внутреннее трение, напрямую связанных с молекулярно-кинетическими свойствами физических объектов. Рассмотрим их в нашей лекции. Тема, план.

1.1.1. Мы уже отметили, что молекулы идеального газа находятся в непрерывном хаотическом движении, постоянно испытывая упругие столкновения. Ясно, что между двумя исследованными столкновениями молекулы пробегает путь l1 ,l2,...ln., средняя величина которого <l> может быть названа "средней длиной свободного пробега". Среднее время между двумя последовательными столкновениями молекул <t> может быть названо временем (средним) свободного пробега. Тогда средняя частота столкновений между молекулами

<z>= (7.1),

а средняя скорость молекулы

(7.2).

Откуда (7.3).

1.1.2. Попытаемся определить <z>. Естественно, что у реальных газов (впрочем подчиняющихся законам идеальных газов) размеры молекул имеют конечную величину и представляются в форме шаров для одноатомного газа.

Не трудно представить, что если диаметр такого шара d0=r0, то столкнутся все те молекулы, которые имеют геометрические центры, лежащие внутри ломаного цилиндра радиусом d0 (рис.1). Заметим, что молекула, двигаясь хаотически (броуново движение), как бы "топчется" около своего первоначального положения (рис.1.а). Поэтому при вычислении <z> можно для простоты считать, что все молекулы, кроме одной, неподвижны, а та, которая имеет среднюю скорость <u>, движется внутри цилиндра, образующая которого является прямой линией, вместо ломаной. Тогда число столкновений в единицу времени (частота столкновений):

(7.4)

С учетом того, что и остальные молекулы движутся со средними скоростями <u>, необходимо ввести поправочный коэффициент, равный (7.4')

Отсюда, с учетом (7.3):

(7.5)

Учитывая, что , получим : чем больше давление, тем меньше средняя длина свободного пробега молекулы.

Поскольку , то (7.6)

и =<l> (7.7).

Однако, опыт показывает, что имеет несколько иной вид, а именно:

- формула Сезерленда (7.8),

где <l0> вычислено согласно (7.5), а С - постоянная, определяемая опытным путем. Т. к. n0~r, то .

2.2.1. Т. к. молекулы движутся хаотически, то газ непрерывно перемешивается, что ведет к выравниванию физических характеристик этого газа. Процесс установления статистического и термодинамического равновесия в физической системе, состоящей из большого числа частиц называют релаксацией. А время установления такого равновесия - временем релаксации tр. Когда отклонение системы от равновесного состояния невелико, то релаксация некоторого параметра "y" обычно подчиняется уравнению , где у0 - начальное значение параметра у, tp - время релаксации, т. е. время, за которое отклонение параметра системы от равновесного уменьшается в е раз (е - основание натурального логарифма).

2.2. Рассмотрим, каков механизм выравнивания физических параметров у газа. Для чего, исходя из представлений молекулярно-кинетической теории, рассмотрим процесс переноса молекулами некоторой физической величины вдоль оси Х (рис.2) через площадку DS. Будем считать, что координаты Х1 и Х2, которым соответствуют физические величины j1 и j2, расположены относительно DS (рис.2) на расстоянии средней длины свободного пробега молекул. Как отмечалось в прошлой лекции, вдоль оси Х движется N'=N молекул. Тогда по и против направления отсчета Х движется по молекул, а так как на расстоянии <l> они не испытывают столкновения между собой, то ни (n0j1), ни (n0j2) не претерпевают изменений на отрезке <l> до площадки DS (рис.2). Следовательно, по направлению Х будет двигаться по молекул, число которых пройдет DS за время Dt:

(7.6)

Такое же число частиц пересечет DS за то же время в обратном направлении. Однако, перенесенная этими молекулами через DS физическая величина j в противоположном направлении будет различна и составит соответственно:

и (7.6*).

Тогда, (7.7).

Определим, как изменяется (n0j) от Х1 до Х2. Для этого умножим и разделим правую часть (7.7) на 2< l >, получим:

- уравнение переноса (7.8)

где , а - градиент вдоль Х. Заметим, что знак минус показывает, что перенос физической величины происходит в направлении, противоположном градиенту этой физической величины.

3.3.1. Диффузия. Пусть плотность газа r убывает вдоль оси 0Х (рис.2), т. е. r1>r2. Так как , где m0 - масса молекулы, то r1=m0no1, а r2=m0n02, т. е. n01>n02 - концентрация убывает вдоль ОХ, вместе с r. Используя (7.8), будем считать j=m0, тогда:

-уравнение диффузии (Фика).

3.2. Масса, переносимая через площадку DS^ОХ благодаря диффузии, пропорциональна Dr¤DХ, DS и Dt, D=Dm при , DS=1 и Dt=1.

(7.10).

3.1. Т. к. < l >~1/P, а <u>~, то (7.10) показывает, что D зависит от вида газа (m) и его состояния (Р и Т).

4.4.1. Теплопроводность. Пусть вдоль оси ОХ убывает Т

(кинетическая энергия молекулы). Тогда, т. к. , можно считать j=Wk. Подставляя Wk (его значения) вместо j в (7.8), получим: ; (7.11)

;

; ; ; (7.12),

так как , то

; (7.13)

;

- уравнение Фурье - теплопроводности (7.14).

5 .Внутреннее трение

Пусть вдоль ОХ уменьшается импульс молекул (m0V0), , связанный с их упорядоченным (переносным) движением ^ОХ (вдоль DS). Тогда, заменяя в (7.8) j на m0u0, получим: , (7.15)

; (7.16)

- уравнение Ньютона для внутреннего трения.

, т. к. r~P, а , то c не зависит от Р до тех пор, пока размеры сосуда . При c~Р, т. е. чем меньше Р, тем меньше c , что используется в сосудах Дьюара. Теплопроводность пористых веществ мала, двойные рамы - понижение теплопроводности.

; (7.18)

; .