Материал для подготовки к выполнению заданий обучающего тура (стр. 4 )

Ответ. 1) ; 2) ; 3) .

Пример 3.7. Найдите вероятности того, что при двойном испытании как в предыдущей задаче: а) вынут по крайней мере один черный шар; б) вынут хотя бы один белый шар; в) первым вынут черный шар; г) последним вынут белый шар.

Решение. Для решения воспользуемся таблицей из предыдущей задачи.

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 3.8. Какова вероятность того, что наудачу выбранное четырехзначное число составлено только из нечетных цифр?

Решение. Всего четырехзначных чисел имеется 9000: они идут в натуральном ряду от 1000 до 9999. Так как нечетных цифр имеется 5, то на каждом из мест (разряды тысяч, сотен, десятков и единиц) может стоять любая из 5 цифр. Всего, таким образом, имеется 5´5´5´5 = 625 четырехзначных чисел, составленных только из нечетных цифр. Значит, искомая вероятность равна 625/9000 = 5/72.

Ответ. 5/72.

Пример 3.9. Пусть вы забыли одну цифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятность того, что вам придется сделать не более двух звонков?

Решение. Вероятность того, что первый раз вы наберете правильный номер равна 1/10 , поскольку цифр всего десять; все десять исходов — набор 1, набор 2 и т. д. — равновозможные, а благоприятным является только один из них. Если первый раз забытая цифра была набрана неправильно, то при втором звонке вы будете набирать одну из девяти оставшихся цифр, и вероятность успеха будет равна 1/9. Ровно два звонка будут сделаны с вероятностью 9/10´1/9 = 1/10. Вероятность того, что придется сделать не более двух звонков, равна 1/10 + 1/10 = 0,2.

Ответ. 0,2.

Пример 3.10. В шахматном турнире участвуют 8 игроков. Номера шести игроков распределяются по жребию. Номер определяет положение игрока в турнирной лестнице. Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Второе место занимает проигравший в финале. Какова вероятность того, займет второй по мастерству игрок?

Решение. Второй по мастерству игрок занимает второе место тогда и только тогда, когда он находится в той половине турнирной лестницы (верхней или нижней), в которой нет первого по мастерству игрока, поскольку в противном случае второй проиграет первому ранее финала. Поскольку имеется 7 ступеней турнирной лестницы (кроме ступени, занятой первым по мастерству игроком), которые может занимать второй по мастерству игрок, все эти исходы равновозможные, а 4 из них являются благоприятными для выхода в финал, то искомая вероятность равна 4/7.

Ответ. 4/7.

Зная вероятность события можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Пример 3.11. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Решение. Мы знаем вероятность события (частоту события) «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000. 10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.

Ответ. 120.

4. Статистика

Статистика – это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе (это толкование слова «статистика» из энциклопедического словаря).

В переводе с латинского STATYS означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и её регионов, производство и потребление различных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта и т. п.

Результаты статистических исследований широко используются для практических и научных выводов. Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора информации об изучаемом явлении или процессе.

Для обобщения и систематизации данных, получаемых в результате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы:

Социологический опрос учащихся «Поговорим о статистике».

№	Вопрос	Ответы
Назовите самый любимый школьный предмет.	Математика-2 Чтение-3 Физкультура-2 Русский язык-3
Какие телевизионные передачи нравятся тебе.	Счастливы вместе, Самый умный-2 Мультфильмы -3 Боевики Фильмы Ералаш Солдаты, Возвращение Мухтара.
Какие телевизионные передачи нравятся твоим родителям.	Новости -3 Поле чудес, Как стать миллионером, Советские старинные-2 Фильмы-2 Ключевой предмет К барьеру Кривое зеркало Жди меня Сказки

Очень важным элементом статистики является анализ данных и начальным этапом анализа данных является работа с таблицами и диаграммами.

Начнем рассмотрение таблиц с рассмотрения известных вам таблиц, в частности: страницы классного журнала, расписания уроков и т. п.

Рассмотрим расписание уроков. Из расписания можно узнать, в каком кабинете будет проходить нужный урок, определить количество уроков в день.

Рассмотрим такую ситуацию: Оля – учится в 5-А классе, а ее подружка из соседнего дома в 5-Б классе, нужно узнать, по каким дням они могут вместе возвращаться домой. Имея перед собой расписание, можно быстро определить такие дни.

Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать содержащиеся в ней данные. Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка «Всего» или «Итого», которые содержат полученные суммы.

Пример 4. 1. В таблице 1 представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев.

Погода	Месяцы	Всего
Декабрь	Январь	Февраль	Март
Ясно	5	9	7	10
Пасмурно	19	10	15	10
Переменная облачность	7	12	6	11

Табл. 1.

Заполните последний столбец.

Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы:

1)  В каком месяце было больше всего ясных дней?

2)  В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней?

3)  Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца

4)  Сколько ясных дней было за всю зиму?

5)  Какая погода преобладала в феврале?

Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.

Часто приходится пользоваться не только готовыми таблицами, но и составлять их самим. Рассмотрим следующий пример.

Пример 4.2. Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники. Она опросила всех учащихся и представила данные в виде таблицы (Табл. 2):

Средство передвижения	Подсчет голосов	Число учащихся
Пешком На автобусе На велосипеде	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	12 8 4
	Всего	24

Табл. 2

Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до школы пешком, а треть – на автобусе.

Рассмотрим пример, показывающий практическую ценность сбора и анализа статистических данных.

Пример 4.3. Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос: «Как бы вы хотели провести свободное время классом?» и предложить варианты ответов. Результаты нужно занести в таблицу.

Например, получили следующие результаты:

Сходить в кино	/ / / / /	5
Сходить в поход	/ / / / / / / / / /	10
Устроить дискотеку	/ / / /	4
Сходить в планетарий	/ /	2

Табл. 3.

Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант.

Некоторые таблицы бывают очень простые, но бывают таблицы и посложнее. Например, турнирные таблицы, в которых записывается ход соревнования и его результаты.

Пример 4.4. Рассмотрим турнирную таблицу (Табл. 4), в которой представлены итоги шахматного турнира с четырьмя участниками:

№	Фамилия	1	2	3	4	Очки	Место
1			0	0	1
2		1		½	1
3		1	½		0
4		0	0	1

Табл. 4

За победу участник получает 1 очко, за проигрыш – 0, а за ничью -1/2.

По данной таблице могут быть заданы следующие вопросы:

1) сколько партий сыграл каждый участник

2) как сыграл Поликарпов с каждым из участников

3) заполнить последний столбец, сосчитав, сколько очков набрал каждый участник.

4) определить, используя данные в столбце «Очки», как распределились места между участниками.

Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным является графическое представление данных.

Это различные диаграммы: линейные, столбчатые и круговые. Построим столбчатую диаграмму по таблице 3 (Диаграмма №1). По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь два человека желают посетить планетарий.

Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть следующим образом (Диаграмма №2):

Важно уметь читать диаграммы.

Используя диаграмму №3, ответьте на вопросы:

1)  в каком месяце в селе родилось больше всего детей?

2)  В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле?

3)  В какие месяцы родилось по два ребенка?

4)  Сколько детей родилось в марте?

5)  Сколько детей родилось за первую половину года?

6)  Сколько детей родилось за весь год?

Мода, медиана, размах

При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах.

Определение. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят определить среднее значение для некоторого ряда данных: среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, среднюю выработку одного рабочего бригады за смену и т. п. Заметим, что среднее арифметическое находят только для однородных величин. Не имеет, например, смысла использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем и для однородных величин вычисление среднего арифметического бывает иногда лишено смысла, например нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обуви которую носят учащиеся школы.

Нахождение среднего арифметического далеко не всегда позволяет сделать надежный вывод на основе статистических данных.

Например, на планете Меркурий средняя температура 150С. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако, на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -1500 до +3500С.

Значит, если имеется ряд данных, то для обоснованных выводов и прогнозов на их основе помимо средних значений надо ещё указать, на сколько используемые данные различаются между собой. Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

Определение. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Например, в течение суток отмечали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученного ряда данных полезно не только вычислять среднее арифметическое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебание температуры воздуха в течение этих суток.

Для температуры на Меркурии, например, размах равен 3500 –(-1500)=5000С. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Помимо размаха, во многих случаях важны сами наибольшие или наименьшие значения данных. Например, если посылается спутник для исследования того же Меркурия, необходимо, чтобы приборы работали и при максимальных, и при минимальных возможных там температурах.

При анализе сведений о времени, затраченном на выполнение домашнего задания, о размере обуви, о росте, о полученных отметках в четверти, нас могут интересовать не только среднее арифметическое и размах полученного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какое число, встречается в ряду данных чаще всего. Говорят, что это число – мода рассматриваемого ряда.

Определение. Модой ряда чисел называют – число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Допустим, в вашем классе провели опрос – каждому учащемуся задали вопрос: «какой ваш любимый предмет?» или «кто ваш любимый учитель?». Полученные ответы будут составлять ряд, модой которого будет наиболее часто встречающийся ответ на данный вопрос. Мода – это показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Предварительно изучается спрос и выявляется мода – наиболее часто встречающийся заказ. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, цены на товар данного вида, распространённой на рынке, и т. п.

Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показывающий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

При анализе результатов, показанных участниками забега на 100 метров наиболее приемлемой характеристикой является медиана. Знание медианы позволит выделить для участия в соревнованиях группу спортсменов, показавших результат выше серединного.

Определение. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианной упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Если, например, анализируются сведения о годовых доходах нескольких туристических фирм города, то удобно использовать все три показатели. Среднее арифметическое покажет средний годовой доход фирм, мода будет характеризовать типичный показатель годового дохода, медиана позволит определить туристические фирмы, годовой доход которых ниже серединного показателя.

Рассмотрим задачу, которая позволяет увидеть практическую значимость данных статистических характеристик.

Пример 4.5. В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44, 41, 42. Представьте эти результаты в виде таблицы:

Размер	Количество купленной обуви	Итого
39
40
41
…

Какой размер обуви наиболее распространен?