Метод координат

4. Метод координат

4.1 Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой где точка – начало координат.

4.2 Найдите уравнение плоскости: а) проходящей через точку параллельно плоскости б) проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку, где в) проходящей через точки

4.3 Докажите, что точки лежат в одной плоскости.

4.4 Запишите уравнение прямой, проходящей через точки

4.5 Найдите координаты точки, в которой прямая, проходящая через точки пересекает плоскость

4.8 Найдите угол между плоскостями

4.9 – куб с ребром Найдите расстояние от центра куба до плоскости

4.10 Дана точка ). Найдите на координатных осях точки так, что прямые перпендикулярны.

4.11 – прямоугольный параллелепипед, в котором Найдите угол между диагональю и плоскостью, проходящей через точки

4.12 Дан куб Через проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми и Найдите эти углы.

4.14 Найдите координаты точки пересечения плоскости и отрезка и угол между ними.

4.16 Найдите точку пересечения прямой и плоскости и угол между ними.

4.17 Найдите расстояние между параллельными плоскостями

4.18 Через точку провести плоскость, перпендикулярную плоскостям

4.19 Через точку провести прямую параллельную плоскостям

4.20 Найдите координаты точки, в которой прямая, проходящая через точки пересекает плоскость

4.23 Точка середина ребра правильной треугольной призмы Постройте сечение призмы, проходящее через точку перпендикулярно

4.25 куб, середина лежит на так, что Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой

4.29 Точки – середины ребер правильной призмы Найдите расстояния от точек до точки пересечения прямой с плоскостью

4.30 Точки середины ребер призмы все боковые грани которой – квадраты. Найдите расстояние между точками пересечения прямых с плоскостями и , если

4.31 На ребрах прямоугольного параллелепипеда выбраны точки (). Постройте сечение параллелепипеда плоскостью и Найдите точку пересечения этой плоскости и отрезка если

4.33 Точка – центр грани куба с ребром Напишите уравнение прямой , проходящей через вершину параллельно прямой , и Найдите расстояние до прямой от точек

4.34 Все плоские углы при вершине пирамиды – прямые, Точки середины ребер Напишите уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой и Найдите расстояние до прямой от точек

4.36 Точка середина ребра прямой призмы в основании которой лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине Найдите расстояние от вершины до плоскостей если

4.38 Точка – середина ребра куба Найдите угол между прямой и прямыми ( середина ребра ).

4.39 Точки – середины ребер правильной пирамиды у которой все углы при вершине прямые. Найдите угол между прямыми

4.40 Точки – середины ребер правильной призмы Найдите углы между прямой и прямыми .

4.41 Высота пирамиды в два раза больше стороны ее основания. Точка – середина ребра середина высоты. Найдите углы между прямой и прямыми

4.43 В основании пирамиды лежит квадрат, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и в два раза больше стороны основания. Найдите углы между плоскостью и плоскостями

4.44 Точка середина ребра куба Найдите угол между плоскостью и плоскостями

4.47 Точка – середина ребра куба Найдите угол между прямой и плоскостями

4.48 В основании пирамиды лежит прямоугольник боковое ребро перпендикулярно основанию, точка середина ребра Найдите угол между прямой и плоскостями

4.52 Точка середина ребра куба с ребром Плоскость проходит через вершину перпендикулярно прямой Найдите площадь сечения.

4.54 Боковое ребро правильной призмы равно стороне основания. Найдите площади сечений призмы плоскостями, проходящими через точку перпендикулярно прямым если

4.60 В прямоугольном параллелепипеде Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину перпендикулярно прямой

4.61 В правильной призме Найдите объем части призмы, находящийся ниже плоскости проведенной через вершину перпендикулярно

4.62 В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной ребро перпендикулярно плоскости основания, Плоскость β параллельна прямым и , плоскость параллельна прямым и . Найдите угол между плоскостями и

4.63 Точки и – соответственно середины ребер и правильного тетраэдра с ребром На прямых выбраны точки и так, что прямая параллельна прямой Найдите длину отрезка

4.64 Ребро куба равно точка – середина Через середину отрезка перпендикулярно ребру проведена плоскость. Найдите расстояние от центра куба до этой плоскости.

4.65 Дан куб Через прямую проведена плоскость, пересекающая ребро и составляющая угол с прямой В каком отношении делит эта плоскость ребро ?

4.66 В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной Точки – середины ребер соответственно. Найдите объем пирамиды, если известно, что прямые и перпендикулярны.

4.68 Основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами Точка – середина ребра Найдите объем параллелепипеда, если известно, что отрезки и образуют равные углы с плоскостью

4.69 Дан куб . Через вершину и середины ребер и проведена плоскость. Найдите величину двугранного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью основания.

4.70 Дан куб с ребром Точки и лежат на ребрах и соответственно, причем Через точку проходит прямая , параллельная прямой Найдите длину части прямой , заключенной внутри куба.

4.71 В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной плоскости граней и перпендикулярны, высота пирамиды равна На ребре выбрана точка так, что Точка середина Плоскость проходит через точки и Найдите расстояние от точки до плоскости

4.73 В прямоугольном параллелепипеде Найдите длину перпендикулярной проекции отрезка на плоскость где середина ребра

4.74 В пирамиде ребра и перпендикулярны, Через прямые и проведены параллельные плоскости. Найдите расстояние между этими плоскостями.

4.75 Дан куб с ребром Точка – середина ребра Найдите площадь ортогональной проекции грани на плоскость

4.76 Дан куб с ребром Точка – середина ребра а точка – центр грани Плоскость, проходящая через точки пересекает прямые в точках соответственно. Найдите длину

4.77 куб с ребром Точка лежит на ребре так, что Из точки проведен перпендикуляр к плоскости Найдите

4.81 Найдите угол между плоскостями

4.82 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям

4.83 Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и точку

4.84 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярной плоскости

4.85 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки Найдите точки пересечения данной плоскости и координатных осей.

4.86 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку , если вектор нормали равен

4.87 Найдите расстояние от точки до плоскости лоскости Напишите уравнение прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку

4.88 Дан прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямой и плоскостью

4.89 В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник Высота пирамиды равна середина точка лежит на ребре так, что Через точки проведены плоскость. Найдите двугранный угол между этой плоскостью и основанием.

4.93 Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с прямым углом Напишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости и найдите координаты точки их пересечения.

4.95 Все плоские углы при вершине тетраэдра прямые. Точки – середины ребер и Найдите длину отрезка и угол между этой прямой и плоскостью если

4.101 В основании четырехугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами точка – середина ребра Боковые ребра пирамиды равны, а высота равна Через параллельно прямой проведена плоскость Найдите расстояние от вершины до плоскости

4.105 В единичном кубе точки расположены соответственно на продолжении ребер и так, что Найдите длину отрезка, по которому прямая пересекается с кубом.

4.106 В единичном кубе точки расположены соответственно на продолжении ребер и так, что Найдите длину отрезка, по которому прямая пересекается с кубом.

4.107 Вершина единичного куба выбрана за начало координат Постройте сечения куба плоскостями:

4.108 Вершина единичного куба выбрана за начало координат Постройте сечения куба плоскостями:

плоскостью, параллельной плоскости и проходящей через точку: гдесередины

4.112 Точки середины ребер единичного куба Постройте сечения куба плоскостью, параллельной прямым и проходящей через точки

4.113 В прямоугольном параллелепипеде со сторонами на прямой взята точка такая, что Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной прямым и и проходящей через точку : а) ; в) ; с) точку пересечения прямой с плоскрстью

4.114 (МФТИ, 2007) В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно а боковое ребро равно На ребре выбрана точка так, что Сфера с центром на прямой проходит через точки и Найдите радиус сферы и длину отрезка, который отсекает данная сфера от прямой

4.116 (ЕГЭ 2010) Дан прямоугольный параллепипед Найдите угол между плоскостями и

4.117 (ЕГЭ 2010) В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной боковые ребра равны Найдите угол между плоскостью основания и прямой, проходящей через середины и

4.118 (ЕГЭ 2010) В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной боковые ребра равны Найдите угол между плоскостью основания и прямой где точка пересечения медиан грани

4.119 В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите :

- угол между прямой и плоскостью

- угол между плоскостями и

- расстояние от точки до плоскости

4.120 В правильной четырехугольной пирамиде все ребра которой равны найдите:

- синус угла между прямой и плоскостью где середина ребра

- расстояние между прямыми и

4.121 В правильной треугольной призме все ребра равны Найдите косинус угла между плоскостями и

4.122 В единичном кубе найдите:

- расстояние между прямыми и

- расстояние от точки до плоскости где середины и

4.123 В правильной четырехугольной пирамиде Найдите угол между плоскостями и где

4.124 Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна высота точки середины ребер и Найдите расстояние между прямыми и