,

г. Киров, Вятский государственный гуманитарный университет

К ИЗУЧЕНИЮ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Метрическая структура является предшественницей топологической структуры и важнейшим ее случаем. Раздел «Метрические пространства» входит в программу обучения студентов всех специальностей, направлений подготовки и профилей, так или иначе связанных с профессией математика.

Понятие метрического пространства было введено Морисом Фреше в 1906 г. Метрическое пространство (термин Феликса Хаусдорфа, 1914 г.) – это непустое множество X с заданной на нем метрикой r: X´X®R+, обладающей свойствами ("x, y, zΠX): 1) r(x, y)=0 Û x=y; 2) r(x, y)=r(y, x); 3) r(x, z)£ r(x, y)+r(y, z). Метрика обобщает и аксиоматизирует понятие расстояния между точками обычного трехмерного пространства. Аксиома 3) есть неравенство треугольника. Элементы xΠX называют точками этого пространства, а число r(x, y) – расстоянием между его точками x и y. В теории метрических пространств широко используется геометрическая терминология, хорошо согласующаяся с нашими наглядными представлениями и ассоциациями. См. [1]–[4].

Методика изучения метрической структуры включает в себя следующие этапы: (1) пропедевтика на элементарном геометрическом материале; (2) историко-методологические аспекты; (3) исходные определения и терминология; (4) разнообразные примеры (скажем, метрика Хемминга на множестве слов в данном алфавите); (5) доказательство простейших свойств (в том числе топологического характера); (6) логико-математический анализ понятия метрического пространства (независимость аксиом, понятия псевдометрики и ультраметрики, конечные пространства); (7) элементы общей теории (изометрия, сходимость, непрерывность, ограниченность, полнота и др.); (8) система учебных и развивающих упражнений; (9) НИРС по теории метрических пространств; (10) применения (в математическом анализе, многомерной геометрии, функциональном анализе, дискретной математике, в приложениях математики).

Напомним основные понятия. Пусть áX, rñ – произвольное метрическое пространство. Множество Ur(x0)={xΠX: r(x, x0)< r}, r> 0, называется открытым шаром в X с центром в точке x0 и радиусом r. Подмножество метрического пространства называется открытым, если оно является объединением некоторого семейства открытых шаров. Дополнения до открытых множеств называются замкнутыми множествами.

Отображение f: áX, rñ®áY, sñ метрических пространств называется непрерывным в точке x0ΠX, если для любого e> 0 существует такое d> 0, что r(x, x0)< d влечет s(f(x), f(x0))< e для любых xΠX. Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то его называют просто непрерывным отображением. Отображение f: áX, rñ®áY, sñ называется равномерно непрерывным, если для любого e> 0 найдется такое d> 0, что r(x, y)< d влечет s(f(x), f(y))< e для всех x, yΠX. Последовательность (xn) точек xn метрического пространства áX, rñ называется сходящейся к точке x0ΠX, если r(xn, x0)®0 при n®¥. При этом точка x0 называется пределом последовательности (xn).

В некоторых разделах современной математики (теория чисел,
p-адический анализ) существенную роль играют ультраметрические пространства. Они обладают рядом необычных геометрических свойств. Метрическое пространство áX, rñ называется ультраметрическим, если аксиома 3) заменена более сильным условием r(x, z) £ max(r(x, y), r(y, z)). При этом метрика r называется ультраметрикой.

Приведем ряд вопросов и упражнений для обсуждения со студентами.

1. Если аксиому 1) заменить более слабым тождеством r(x, x)=0, то получим понятие псевдометрического пространства. Докажите, что на псевдометрическом пространстве áX, rñ отношение «близости» ~ между его точками x и y, означающее r(x, y)=0, является эквивалентностью на X, причем фактор-множество X/~ естественным образом наделяется структурой метрического пространства.

2. Покажите, что аксиомы метрического пространства 1)–3) независимы друг от друга. Для этого постройте три модели áX, rñ, в каждой из которых выполняются ровно две аксиомы из трех.

3. Пусть для пары áX, rñ, r: X´X®R, наряду со свойством 1) выполняется свойство r(y, z)£ r(x, y)+r(x, z). Убедитесь, что получаем эквивалентное определение метрического пространства.

4. Докажите, что для произвольного метрического пространства áX, rñ эквивалентны утверждения: r – ультраметрика; любой треугольник в X является равнобедренным по большей стороне; если два шара в X пересекаются, то один из них содержится в другом. Под треугольником понимается любое трехточечное подмножество метрического пространства с имеющимися расстояниями между его точками.

5. Убедитесь, что объединение любого семейства открытых множеств и пересечение всякого конечного семейства открытых множеств метрического пространства открыты. Верны ли аналогичные утверждения для замкнутых множеств?

6. Если для метрического пространства áX, rñ положить s(x, y)=min(r(x, y), 1) при любых x, yΠX, то получим ограниченное метрическое пространство áX, sñ, открытые множества которого будут совпадать с открытыми множествами пространства áX, rñ. Проверьте это.

7. Может ли последовательность точек метрического пространства иметь более одного предела?

8. Докажите, что для замкнутости подмножества A метрического пространства X необходимо и достаточно, чтобы предел всякой сходящейся последовательности точек xnΠA также принадлежал A.

9. Докажите, что отображение f: X®Y метрических пространств непрерывно в точке x0ΠX тогда и только тогда, когда для любой сходящейся к x0 последовательности (xn) в X последовательность (f(xn)) сходится к точке f(x0) в Y.

10. Проверьте, что отображение f: X®Y метрических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз f–1(U) любого открытого множества U в Y есть открытое множество в X.

11. Докажите, что равномерно непрерывные отображения метрических пространств непрерывны. Покажите на примере, что обратное неверно.

12. Докажите, что любое замкнутое множество произвольного метрического пространства X является множеством нулей некоторой непрерывной действительнозначной функции на X. Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?

13. Когда набор из n(n–1)/2 (nÎN) действительных чисел (натуральных чисел) является семейством расстояний между различными точками некоторого n-элементного метрического пространства?

14. Решите предыдущую задачу для ультраметрических пространств.

15. Докажите, что число k значений ультраметрики на n-элементном множестве удовлетворяет неравенствам 2£ k£ n. Может ли k равняться любому натуральному числу от 2 до n?

Последние три упражнения можно отнести к учебно-исследовательским задачам.

Библиографический список

1.  Алимов сжатых отображений. – М.: Знание, 1983.

2.  Вечтомов структуры классической математики. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007.

3.  , Фомин теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989.

4.  Первые понятия топологии. – М.: Мир, 1967.