Идеальный вырожденный бозе-газ. Бозе – конденсация

§7 Идеальный вырожденный бозе-газ. Бозе – конденсация.

В случае бозе - газа общие формулы §5 для параметрического построения зависимости химического потенциала от температуры

.

не всегда применимы. Параметр у идеального бозе - газа отрицательный () и может изменяться в пределах интервале. Как видно из рисунка 6.1, отражающего поведение , минимальная температура по формуле может быть не ниже

,

где и в данном случае оказывается сходящимся при . Для плотностей жидкого гелия . Ниже этой температуры, следовательно, невозможно удовлетворить уравнению (5.12), из которого получались формулы. Чтобы понять причину полученного противоречия, запишем основные этапы вывода, проведённого в параграфе 5, для Т<Tc.

Абсурдность полученного результата возникла на этапе перехода от суммирования по квантовым состояниям к интегрированию по фазовому пространству. При суммировании по квантовым состояниям вклад в сумму одного основного состояния с может сколь угодно велик.

Вклад же в интеграл от состояний близких к основному в интеграле исчезающе мал. Эта некорректность и привела к абсурдному результату. Бозоны могут дать числа заполнения квантового состояния макроскопические порядка полного числа частиц, что и называется бозе - конденсацией. Последняя из формул даёт оценку малости химического потенциала для конечной системы при температурах ниже - температуры бозе – конденсации. Естественно, в термодинамическом пределе . Заметим, что формально для конечных систем с конечным числом частиц введение химического потенциала в строгом смысле не корректно. Однако в модели, когда надконденсатные частицы рассматриваются, как термостат для подсистемы, представляющей собой основное состояние или, иными словами, бозе – конденсат, оценка для может оказаться полезной и проясняет физическую ситуацию. В частности, становиться ясным различие между двумерным и трёхмерным случаем. Для двумерного бозе - газа интеграл по энергии в цепочке соотношений оказывается расходящимся при и химический потенциал зависит от поверхностной плотности [1] , а не от полного числа частиц, как в трёхмерном случае, что можно считать признаком бозе – конденсации, которая соответствует макроскопическому проявлению чисто квантового эффекта. Заметим, что в ловушках переход к термодинамическому пределу принципиально невозможен, поэтому в этом случае под бозе – конденсацией понимается…другое. Простейший пример такой ситуации: теплоёмкость частицы в осцилляторном поле и потенциальном ящике.

В случае бозе – конденсации в однородном газе формулы связывает число надконденсатных и температуру, поэтому для Т<Tc общее число в конденсате:

,

пропорционален полному числу частиц и это соотношение вполне согласуется с термодинамическим пределом при этом и определяется плотностью, а не числом частиц.

Появление бозе – конденсата ниже приводит к особенностям в поведении термодинамических функций около точки перехода. На Рис.7.2 и Рис.7.3 показано зависимость химического потенциала и его производной от температуры.

Формулы, по которым построены эти кривые для Т > Tc и последняя из соотношений

из цепочки. Ниже температуры Tc, как уже было показано . Излом кривой на Рис.7.3 обусловит появление скачка производной в теплоёмкости. Формула для внутренней энергии не отличается от общих соотношений параграфа §5, поскольку частицы конденсата не вносят вклад во внутреннюю энергию, поэтому ниже температуры бозе – конденсации:

.

Выше Тс:

.

Подставив в выражение для производной из соотношений и выражение для полного числа частиц из тех же формул, получаем для теплоёмкости на одну частицу:

Графики зависимостей и представлены на Рис. 7.4. Кривая на рисунке напоминает греческую букву l, поэтому координаты излома производной называют l-точкой, которая, как мы узнаем несколько позже, называется точкой фазового перехода третьего рода.

[1]