10.2. Классический метод

10.2. Классический метод

10.2.1. Принужденная и свободная составляющие

Если свести систему уравнений, описывающих состояние цепи к одному уравнению с одним неизвестным (скажем, током в одной из ветвей, исключив остальные), то оно будет иметь вид:

. (10.3)

Здесь f(t) – свободный член, содержащий как параметры источников, так и пассивных элементов схемы, а коэффициенты ak зависят только от параметров приемников. Очевидно, порядок этого уравнения n не может превышать числа накопителей энергии (L и C) в схеме.

Полное решение i(t) уравнения (10.3) можно представить в виде суммы общего решения и частного. Общее – это решение уравнения без правой части, а, значит, не зависящее от параметров внешних источников. Поэтому его можно назвать свободной составляющей . Физически ее существование можно объяснить изменением запасов энергии в индуктивностях и емкостях. Со временем свободный процесс затухает, поскольку его энергия рассеивается на сопротивлениях. Теоретически, при этот процесс прекращается, так что . Тогда наступает установившийся режим, где остается лишь частное решение. Его форма определяется характером источников, поэтому его называют принужденной составляющей .

Таким образом, решение записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

(10.4)

В этом и заключается сущность классического метода расчета переходных процессов. Фактически это метод наложения, причем обе составляющие действуют с самого начала переходного процесса.

Что касается принужденной составляющей, то для ее определения нужно рассчитать установившийся режим послекоммутационной цепи.

Форма записи свободной составляющей, как решения однородного уравнения (без правой части)

, (10.5)

зависит от вида корней характеристического уравнения

(10.6)

Последнее можно получить из (10.5) заменой в том числе заменяется на . В частности, при различных корнях решение уравнения (10.5) можно представить в виде суммы экспонент

. (10.7)

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий (для их нахождения нужно иметь значения тока i и его n–1 производных в первый момент после коммутации).