Учебно-методический комплекс по дисциплине численные методы в инженерных расчетах

Автор-составитель:

, ст. преподаватель

Учебно-методический комплекс по дисциплине Численные методы в инженерных расчетах составлен в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и на основании примерной учебной программы данной дисциплины в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки инженера по специальности 270100.65 Водоснабжение и водоотведение. Дисциплина входит в региональный компонент цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин специальности и является дисциплиной по выбору студента. Данный учебно-методический комплекс рассмотрен и одобрен на заседании Учебно-методической комиссии РОАТ. Протокол №4 от 01.01.2001.

Содержание

Рабочая учебная программа по дисциплине ……………………………………	4
Конспект лекций по дисциплине ………………………………………………..	14
Задание на контрольную работу и общие указания к выполнению контрольной работы …………………………………………………...................	29
Методические указания студентам …………………………………………….	33
Методические указания преподавателям ………………………………………	34
Вопросы к зачету по дисциплине ………………………………………………	35

1. Цель и задачи дисциплины

1.1. Цель преподавания дисциплины «Численные методы в инженерных расчетах» состоит в формировании у студентов твердых теоретических знаний важнейших численных методов и практических навыков в работе с интегрированными пакетами прикладных программ автоматизации инженерно-технических расчетов, применяемых для решения инженерно-технических задач.

1.2. Задачи изучения дисциплины.

Изучив дисциплину, студент должен:

1.2.1. Знать источники и правила определения погрешностей вычислений, уметь правильно оценить погрешность полученного результата; принципы численного решения алгебраических уравнений и систем; основы интерполирования и приближения функций; методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных уравнений, уравнений с частными производными; методы обработки экспериментальных данных.

1.2.2. Уметь разрабатывать вычислительные алгоритмы решения широкого круга задач в общеинженерных и специальных дисциплинах.

1.2.3. Ознакомиться с основными приемами программирования и использования современных программных продуктов по вычислительной математике, используемых для решения инженерных задач на ПЭВМ.

1.2.4. Иметь представление о структуре и функциональных возможностях интегрированных систем MathCAD 6.0+ и Maple R4.

Следует отметить, что овладение принципами работы с интегрированными системами не освобождает студентов от глубокого понимания сути реализованных в них численных методов.

2. Содержание дисциплины.

2.1. Введение.

Материал дисциплины «Численные методы в инженерных расчетах» содержит девять разделов. По каждому разделу в квадратных скобках приводится литература с указанием изучаемых глав и параграфов. Нумерация совпадает с нумерацией перечня литературы из п. 8.1 данной рабочей программы.

В разделе 1-9 рабочей программы содержат изучаемые в данной дисциплине важнейшие численные методы.

В разделе 10 рассмотрены основы программирования с помощью интегрированных систем Mathcad 6.0+ и Maple V R4 и дается обзор и анализ вычислительных методов, реализованных в этих системах.

Раздел 1. Теория погрешностей. Вычислительные

алгоритмы.

Литература: [1, Введение: 2, ч.1, §1,2; 3, гл.1, §1; 6, Введение, гл.1, §1]

2.1.1. Основные источники погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.

2.1.2. Определение количества верных значащих цифр результата вычислений.

2.1.3. Погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Общая формула для погрешности.

2.1.4. Правила округления.

2.1.5. Понятие о вероятностной оценке погрешности.

2.1.6. Понятие вычислительного алгоритма. Требования к вычислительному алгоритму.

2.1.7. Устойчивость и сложность алгоритма.

Раздел 2. Численное решение нелинейных уравнений.

Литература: [2, гл.5, §1,2; 3, гл.5, §2,3; 6, гл.4 §24-27; 8, гл.4, §1-8]

2.2.1. Графический метод решения. Отделение корней уравнения.

2.2.2. Метод хорд.

2.2.3. Метод касательных (Ньютона).

2.2.4. Комбинированный метод хорд и касательных. Оценка погрешности.

2.2.5. Метод итераций. Условия сходимости методов и оценка погрешностей.

2.2.6. Условия сходимости методов и оценка погрешностей.

Раздел 3. Численное решение систем уравнений.

Литература: [2, ч.2, гл.1,§1; 3, гл.5, §1,6, гл.3, §19-21; 6, гл.3, §19-21; гл.4, §24-27; 8, гл.8, §3,5-7,10, гл.9, §1,2; 9, §1-8]

2.3.1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

2.3.2. Вычисление определителей и обращение матрицы методом Гаусса.

2.3.3. Метод итераций, условия сходимости и оценка погрешностей. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций.

2.3.4. Метод Зейделя. Оценка числа итераций.

2.3.5. Системы нелинейных уравнений. Метод Ньютона.

2.3.6. Метод итераций.

2.3.7. Метод градиента.

2.3.8. Условия сходимости методов и оценка погрешностей.

Раздел 4. Интерполирование и приближение функций.

Литература [1, гл.2, §1; 2, ч.2, гл.3, §1,2; 3, гл.2, §1; 6, гл.1, §4-9,11; 8, гл.1, §1,2, 16, лекция 5]

2.4.1. Аппроксимация функций. Постановка задачи. Теорема существования и единственности обобщенного интерполяционного многочлена.

2.4.2. Приближение таблично заданных функций. Линейная интерполяция.

2.4.3. Интерполяция кубическими сплайнами.

2.4.4. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.

2.4.5. Интерполяция многочленами n - степени.

2.4.6. Оценка погрешности интерполирования.

2.4.7. Среднеквадратическое приближение функций при помощи тригонометрических многочленов.

2.4.8. Равномерное и наилучшее равномерное приближение функций.

Раздел 5. Решение разностных уравнений.

Литература: [1, гл.1, §1-3, гл.5, §3; 2, ч.1, §3,4, 6, гл.5, §29; 8, гл.1,
§1-5, гл.3, §1].

2.5.1. Конечные разности различных порядков и их свойства.

2.5.2. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений.

2.5.3. Разностные уравнения первого порядка.

2.5.4. Однородные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.5.5. Неоднородные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 6. Численное дифференцирование интегрирование

функций.

Литература: [1, гл.2, §2; 2, ч.2, гл.4, §4; 6, гл.2, §15,16; 8, гл.16,§1;9, гл.6,§8; 11, разд.2, п.4, пр.10,11; 18, гл. II, §2.3]

2.6.1. Численное дифференцирование. Регуляризация дифференцирования.

2.6.2. Вычисление определенных интегралов по формуле прямоугольников. Оценка погрешности вычислений.

2.6.3. Формула трапеций. Оценка погрешности.

2.6.4. Формула Симпсона (парабол.). Оценка погрешности.

Раздел 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Литература: [1, гл.5, §1; 3, гл.8, §1; 5, гл.3, §1,2,5,7,8,14; 6, гл.2, §18; 8, гл.10, §5; 10, гл.9, §5; 11, разд. 2, п.4, пр.12; 18, гл. III, §3.4].

2.7.1. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов.

2.7.2. Метод Эйлера.

2.7.3. Метод Эйлера с уравниванием.

2.7.4. Метод Рунге-Кутта.

2.7.5. Оценка погрешностей и выбор шага.

2.7.6. Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

2.7.7. Решение системы дифференциальных уравнений операционным методом.

Раздел 8. Численные методы решения уравнений с частными производными.

Литература: [1, гл.6, §1, гл.7, §1; 2, ч.3, гл.1, §1-3; 5, гл.5, §1,2,6,13].

2.8.1. Постановка задачи. Задача Коши и краевая задача.

2.8.2. Точные методы решения. Сетка и шаблон.

2.8.4. Методы составления разностных схем.

2.8.5. Понятие об устойчивости и неустойчивости разностной схемы.

Раздел 9. Статистическое моделирование и обработка

экспериментальных данных.

Литература: [3, гл.15, §1-4; 5, гл.17, §1-4; 6, гл.1, §13, гл.2, §17; 7, гл.2, §1-12; 8, гл.15, §1-4].

2.9.1. Случайные числа и их получение.

2.9.2. Метод Монте-Карло. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

2.9.3. Доверительный интервал.

2.9.4. Моделирование нормальной случайной величины.

2.9.5. Сравнение величин. Нахождение стохастической зависимости.

2.9.6. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул.

Раздел 10. Пакеты прикладных программ

по вычислительной математике.

Литература: [21, 22, 23, 24, 26]

2.10.1. Математическое обеспечение ЭВМ, типы пакетов прикладных программ, структура пакетов, программирование на ЭВМ.

2.10.2. Интегрированные пакеты Mathcad 6.0+ и Maple V R4. Состав и функциональные возможности пакетов.

2.10.3. Основы работы с пакетами.

2.10.4. Вывод графической информации.

2.10.5. Редактирование текстовой информации.

2.10.6. Задание переменных величин и функций. Вычисление значений элементарных функций.

2.10.7. Векторные и матричные операции.

2.10.8. Операторы математического анализа.

2.10.9. Функции интерполирования и регрессии.

2.10.10. Решение алгебраических уравнений и систем.

2.10.11. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.10.12. Преобразования Лапласа, Фурье и др.

2.10.13. Подбор эмпирических формул.

2.10.14. Функции математической статистики.

3. Виды работ с распределением времени.

Всего часов – 120

Лекционные занятия - 4 (час)

Практические занятия - 4 (час)

Лабораторные занятия - 8 (час)

Контрольная работа - 1

Самостоятельная работа – 104 (час)

Дифференцированный зачет (количество) - 1

4. Перечень тем лекционных и практических занятий.

ТЕМА	ЧАСЫ
Разделы 1 и 2 Погрешности вычислений. Определение количества верных значащих цифр. Погрешности алгебраических операций. Правила округления. Методы решения нелинейных уравнений: графический, хорд, касательных, итераций. Оценка погрешностей. Требования к вычислительному алгоритму. Устойчивость и сложность алгоритма.	2
Разделы 4 и 6 Линейная и сплайн-интерполяция. Интерполяция многочленами n-ой степени. Оценка погрешности интерполирования. Численное интегрирование функций по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. Погрешности численного интегрирования.	2
Разделы 7 и 9 Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методами степенных рядов Эйлера, Эйлера с уравниванием и Рунге-Кутта. Оценка погрешностей. Моделирование нормальной случайной величины. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул.	2
Раздел 10 Программирование на ПЭВМ. Интегрированные пакеты MathCAD 6.0+ и Maple V R4. Состав и функциональные возможности пакетов. Важнейшие операторы.	2

5. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ, КОТОРЫЕ СТУДЕНТЫ ДОЛЖНЫ ПРОРАБОТАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

ТЕМА

Разделы 1, 2, 3 Понятие о вероятностной оценке погрешности. Комбинированный метод хорд и касательных. Методы численного решения систем линейных и нелинейных уравнений. Условия сходимости методов и оценка погрешностей.

Разделы 4, 5, 6 Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Среднеквадратическое и равномерное приближение функций. Решение разностных уравнений первого и второго порядка с постоянными коэффициентами. Численное дифференцирование. Регуляризация дифференцирования.

Раздел 8, 9, 10 Понятие о методе Монте-Карло. Доверительный интервал. Сравнение величин. Нахождение стохастической зависимости. Преобразование Лапласа, Фурье и др. Функции математической статистики.

6. ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ.

НАЗВАНИЕ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ	ЧАСЫ
1. Приближенные вычисления. Системы Mathcad 6.0+ и Maple V R4. Выполняется ряд примеров, иллюстрирующих работу систем Mathcad 6.0+ и Maple V R4. Затем в системе Mathcad 6.0+ решаются физические задачи на определение абсолютной и относительной погрешностей вычислений и числа верных знаков результата.	2
2. Интерполирование функций. Используя корни приведенного многочлена Чебышева, строится интерполяционный многочлен пятой степени с оптимальным расположением узлов интерполяции для заданной функции на отрезке . Находятся абсолютная и относительная погрешности в точках 0,4 и 1,0. Выполняется графическая иллюстрация заданной функции , полученного интерполяционного многочлена, а также соответствующей линейной и сплайн-интерполяции.	2
3. Решение задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем методом Рунге-Кутта. Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точность находятся в пяти точках отрезка приближенное решение: а) дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием ; б) системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями , . Производится оценка погрешности полученных решений.	2
4. Моделирование нормальной случайной величины. Подбор эмпирических формул. С помощью генератора случайных чисел создается массив из двенадцати реализаций равномерно распределенной на интервале случайной величины и затем строится статистическая модель нормальной случайной величины, являющейся иллюстрацией предельной теоремы .	1
5. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом. Система дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями решается определенным методом. Выполняется проверка найденного решения.	1

7. ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

По данной дисциплине выполняется одна контрольная работа, содержащая пять задач.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ	ЧАСЫ
1. По заданному числу, имеющему только верные цифры, находятся абсолютная и относительная погрешности. Задача решается аналитически и в системе Mathcad 6.0+.	1
2. Находится общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка. Задача решается аналитически и в системе Mathcad 6.0+ или Maple V R4.	2
3. По формуле Симпсона вычисляется с точностью 10-3 определенный интеграл от заданной функции для двух значений шага и . Производится оценка абсолютной погрешности по правилу Рунге. Задача решается аналитически и в системе Mathcad 6.0+ , с помощью которой определяется число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10-5.	2
4. Методами разложения в степенной ряд и Рунге-Кутта решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями . Полученные результаты сравниваются. Задача решается аналитически и в системе Maple V R4.	2
5. Методом наименьших квадратов находится эмпирическая формула заданного вида для зависимости и , заданной таблицей. Задача решается аналитически и в системе Mathcad 6.0+ или Maple V R4.	1

8. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Основная

1.  Бахвалов, методы : Учебное пособие/ , , . -5-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 20с.

2.  Волков, методы: Учебное пособие/ . - 2-е изд. - М.: Наука, 2с.

3.  Макаров, расчеты в Mathcad : учебный курс / . - СПб. : Питер, 20с.

4.  Кирьянов, Д. В. Mathcad 13 / . - СПб. : БХВ-Петербург, 20с.

5.  Васильев, А. Н. Mathcad 13 на примерах/ . - СПб. : БХВ-Петербург, 20с.

Дополнительная

1.  Калиткин, методы: Учебное пособие/ . - М.: Наука, 1978.

2.  Самарский, методы: Учебное пособие/ , . - М.: Наука, 1989.

3.  Шестаков, высшей математики: Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Векторный анализ: Учебник/ , , . - М.: Высшая школа, 1987

4.  Демидович, методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. : Учебное пособие/ , , . -3-е изд. - М.: Наука, 1987

5.  Киреев, методы в примерах и задачах : Учебное пособие/ , . -3-е изд. - М.: Высшая школа, 2008

6.  Сдвижков, О. А. MATHCAD-2000. Введение в компьютерную математику/ . - М.: "Дашков и К", 2002.

ОБЕСПЕЧЕИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

8.3. Перечень компьютерных программ.

1.  Интегрированная система Mathcad 6.0+.

2.  Интегрированная система Maple V R4.

Конспект лекций по дисциплине

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СНУ

Пусть дана система вида:

(

f'(x)= - производная

Частная производная - вектор (все значения).

МЕТОД НЬЮТОНА

Дана система вида, где fi один раз непрерывно дифиринцируемые функции, т. е. существуют все частные первые производные этих функций.

Строим последовательность приближений сходящуюся к точному решению системы .

Пусть - некоторое начальное приближение к решению, а - катое приближение к решению. Построим зависимость, позволяющую на основании построить .

Точное приближение

ξ-корень обращает уравнение в верное равенство(тождество).

Разложим функции fi из системы (5.2) в ряд Тейлора в окрестности точки хк до линейных составляющих.

Система представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для поиска компонента вектора поправки hk.

Перепишем систему (5.3) в виде:

Сокращаем запись системы :

Решим систему методом обратной матрицы. Определитель Якобиана в точке хк не равен 0.

Получили связь последующего приближения с предыдущим.

условие окончания вычислений.

- расстояние между векторами (метрика).

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

Пусть дана система вида. Преобразуем ее к виду

Система в векторном виде

Необходимо найти неподвижную точку систему

Очевидно, что эта точка ξ – решение системы

Пусть дано -некоторое начальное приближение к ξ и на k-том шаге получено приближение . Тогда последующее приближение :

Условие окончания совпадает с

Всегда ли метод сходится?

Пусть М- матрица, составлена из элементов mij

M=[mij], где mij=

Определение нормы матрицы А: -число удовлетворяющее свойствам.

1) ≥0, =0≡0

2) число

3)

4)

Способы задания нормы матрицы:

1) =

2) =

3) =

Достаточное условие сходимости метода итераций:

Если , i=1,n, на Сч и Сч, то процесс итераций сходится независимо от выбора начального приближения.

МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ

Пусть дана система вида, преобразуем ее к виду. Как и в методе итераций строим последовательность приближений к неподвижной точке.

ускорение сходимости за счет подстановки предыдущего приближения.

Достаточное условие совпадает с достаточными условиями сходимости метода итераций.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

Общая постановка задачи.

Пусть ¦(c) – некоторая функция, которая может быть известно, частично известной и неизвестной. Эту функцию необходимо заменить некоторой «хорошей» функцией j(c), которая будет достаточно близкой ¦(c).

Постановка задачи интерполяции.

Для того чтобы конкретизировать постановку задачи приближения функции необходимо ответить на следующие вопросы:

1.  что известно о ¦(c) (способ задания, степень гладкости);

2.  к какому классу, семейству функций должна принадлежать j(c);

3.  что понимаем под близостью j(c) и ¦(c) каков критерий согласия;

Часто приближение функции называют аппроксимацией

Постановка задачи интерполяции.

Пусть ¦(c) задана на некотором разбиении отрезка [a;b] точками хi,

i=0,n, где a = х0<х1<…<xn= b

интерполяция – вычисление ¦(c) в точке Î[a;b], x ¹ xi, i = 0,n

экстраполяция – вычисление функции ¦(c) в точке ХÎ[a;b];

Определение интерполяции ввел в 1656 году Джон Уолесс, а в 1655 году ввел символ ¥.

Для полиномиальной интерполяции j(c) имеет вид j(c)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn.

Для того, чтобы считать j(c) к ¦(c) вводится ограничение j(ci)= ¦(ci), i=0,n ;

Т. е значения этих функций в точке хi должны совпадать. Точки хi будем называть узлами интерполяции

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Необходимо определить коэффициенты полинома степени n(их будет n+1), построения аппроксимации функции, заданной в n+1 узле. Используя ограничения на j(c): j(ci)= ¦(ci)=y, i=0,n, составим систему:

Выпишем определитель этой системы

Определитель

Вандермонда

При условии: x0¹xj при i¹j определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.

Вывод:

если задано разбиение в виде n+1различной точки, то всегда существует функция в виде полинома n-ой степени, которая проходит через все точки графика ¦(c),определенной на этом разбиении.

Посторонние приближения функции при помощи полиномов указанным способом весьма трудоемко и обладает большой вычислительной погрешностью, поэтому его использование для большого числа узлов интерполяции нецелесообразно.

Лагранж предложил строить интерполяционные полиномы в виде:

Pn(x)=∑ Ci li(x)

Ci=yi=¦(ci), li(x)=полиномы n-ой степени, которые удовлетворяют условию:

Для полинома узлы интерполяции xj, j=0,n, j≠I являются корнями, причем действительными и попарно различными (все имеют кратность 1)

Тогда полином li может быть записан в виде:

Общий вид полинома Лагранжа:

Встает вопрос о точности, о приближения функции. Вводится понятие остаточного члена многочлена Лагранжа ; для того, чтобы оценить аппроксимации ¦(c) в некоторой точке x Î[a;b]

Функцию ¦(c) представим в виде ¦(c)= Pn(x)+Rn(x), где Rn(x)- остаточный член многочлена Лагранжа в процессе длительного и трудоемкого вывода для Rn(x) получена следующая формула:

Строится система вложенных отрезков

¦(n+1) - производная (n+1)-го порядка

Пусть

Если ¦(c)-полином n-ой степени, то производная (n+1)-го порядка равна 0, тогда Rn(x)≡0 и мы получаем точную аппроксимацию.

Теорема:

Многочлен Лагранжа вида для таблично заданной функции единственен.

Доказательство:

Пусть Qn(x)- многочлен Лагранжа, построенный для этой же функции ¦(c) по тем же узлам интерполяции. Qn(x) ¹Pn(x) Qn(xi)=yi=Pn(xi),

Рассмотрим многочлен Ln(x)= Qn(x)-Rn(x)-это многочлен n-ой степени, для которого точки xi, i=0,n являются корнями. Это противоречит основной теореме алгебры, которая говорит о том, что полином n-ой степени имеет ровно n корней. А Ln(x) имеет n+1 корней. Противоречие доказывает теорему.

Интерполяционная схема Эйткина

Поскольку при большом числе узлов интерполяции вычисление значения полинома Лагранжа по формуле громоздко, необходимо получить рекуррентную формулу.

Пусть ¦(c)- непрерывна, узлы выбраны на отрезке [a;b] таким образом, что:

Введем функцию

xi-узлы интерполяции;

yi=¦(c)

Полином Лагранжа: Pn (x) см. (6.4)

Таким образом, функция Q0,1 (x) представляет собой полином Лагранжа l-ой степени, построенной по узлам x0 ,x1 введем функцию вида

Функция Q1,2 (x)- интерполяционный полином Лагранжа, построенный по узлам x1 ,x2.

Введем теперь функцию

Аналогично:

Q0,1,2 (x2)= у2

В силу единственности полинома Лагранжа, построенного по узлам x0, x1 ,x2

функция Q0,1,2 (x) представляет собой интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени, построенный по узлам x0, x1 ,x2 .

Введем функцию:

Функция представляющая собой полином Лагранжа 2-ой степени, построенного по узлам x0, x1,…xi.

Формула позволяет рекуррентно вычислять полином Лагранжа любой степени.

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Пусть функция ¦(c) задана на системе равноотстоящих узлов xi=x0+ih,

где h-шаг сетки, yi=¦(ci).

Конечной разностью первого порядка в точке x0 называется ∆y0=y1-y0

Конечной разностью первого порядка в точке xi: ∆yi=yi+1-y0-yi

Конечной разностью второго порядка в точке x0 : ∆2y0=∆y1-∆y0

Конечной разностью второго порядка в точке xi: ∆2yi=∆yi+1-∆yi

Общая формула для конечной разности k-того порядка в точке xi:

∆kyi=∆k-1yi+1-∆ky

Заметим: ∆0yi= yi

Формула позволяет вычислять рекуррентно конечные разности

Связь конечных разностей и производных

чем меньше h, тем точность выше

Аналогично можем получить связь

;

Свойства конечных разностей

В связи с производными вида конечные разности обладают свойствами:

1.  постоянные, равны нулю;

2.  постоянный множитель у функции выносится за знак

3.  суммы 2-х функций равны сумме каждой функции

4.  полинома n-ой степени, n-го порядка постоянны и равны

∆ny=hnann!

an-коэффициент при xn полинома Rn(x)

Верно и обратное утверждение: все конечные разности n-го порядка некоторой функции постоянны и одинаковы, конечные разности n +1-го порядка равны 0, а конечные разности n-1-го порядка различны, то функция представляет собой полином n-ой степени.

Распространение ошибки в исходных данных при вычислении конечные разности

Любые измерения несут в себе погрешность (ошибка округления, точность измерения приборов)

Пусть значения функции определены в узлах x0, и в некоторой точке xk значение некоторой точке xk значение функции найдено с ошибкой ε, т. е ỹk+ ε

Составим таблицу конечных разностей

xk-2 yk-2 ∆yk-2 ∆2yk-2 ∆3yk-3 + ε

xk-1 yk-1 ∆yk-1 + ε ∆2yk-2 + ε ∆3yk-2 -3 ε

xk yk+ε ∆yk-1 - ε ∆2yk-1 - 2 ε ∆3yk-1 + 3 ε

xk+1 yk+1 ∆yk+1 ∆2yk+ ε ∆3yk - ε

xk+2 yk+2 ∆2yk+1

Как видно из таблицы конечных разностей при увеличении порядка конечных разностей ошибка в исходных данных распространяется и растет.

Такое взаимодействие ошибок называют шумом, если это ошибки округлений - то шумом округлений.

Если ошибки округлений достаточно большие, то может происходить следующее явление: при увеличении порядка конечных разностей они могут уменьшаться и→0, но, дойдя до некоторого малого значения, опять могут начать расти из-за шума округлений.

Столбец в таблице конечных разностей, в которой все конечные разности ≈0, называют «практическим постоянным»; при этом конечные разности высших порядков не используют.

Для интерполяции целесообразно использовать многочлен такой степени, которая совпадает с порядком «практической постоянной» конечных разностей.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯРАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ

Дана функция y=¦(c),заданная на сетке равноотстоящих узлов:

yi=¦(ci), xi=x0+ihi,

Строим интерполяционный полином с целью упрощения записи полинома (интерполяционного) и представления его в виде, позволяющем оценивать влияние каждого из компонентов на значение аппроксимации, запишем его так:

Nn(x)=-a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)…(x-xn-1)

Необходимо посчитать его коэффициенты ai. Будем находить из условия

Nn(xi)=yi

i=0: Nn(x0)=y0=a0+a10+…+an0 a0= y0

i=1: Nn(x1)=y1= y0+a1(x1-x0) + a20+…+an0

x1=x0+1h=x1-x0=h

i=2: Nn(x2)=y2= y0+∆y0/h(x2-x0) (x2-x1) + a30+…+an0

x2-x0=2h

x2-x1=h

y2= y0+∆y02+a22h2

i=k:

Nn(x)= y0+∆y0/h(x-x0)+…+ ∆n y0 /n! hn(x-x0)(x-x1)… (x-xn

Полином 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона. Он наиболее приспособлен для вычисления значения функции в точках, близких к x0

С целью упрощения записи полинома введем переменную

x=x0+gh

Если g-целое, то будет совпадать с номером узла

x0 – базовый узел полинома

xi=x0+gh - x0-ih=h(g-i);

Nn(g)= y0+∆y0g+…+ ∆n y0 /n! g(g-1)(g-2)(g-n+1)

Полином Ньютона в силу единственности существования интерполяционного полинома Лагранжа является одной из форм записи полинома Лагранжа, поэтому для полинома (8.3) справедливо, что формула остаточного члена полинома Лагранжа

Для вычисления функции в точках находящихся в середине сетки узлов интерполяции либо в ее конце, т. е близкие к xn, применяют два подхода

1.  строят формулы для вычисления функции в точках х, близких к середине сетки интерполяции

2.  формулы для точек х, близких к хn (упорядочивание узлов интерполяции).

Соответственно получаются формулы Стирлинга, Бесселя, Гаусса, и 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.

Второй путь: в качестве узла х0 для заданной точки х берут тот узел, который наиболее близок к х, узел х1 выбирают как самый близкий из оставшихся узлов к х.

Т. е последовательность упорядочившаяся по возрастанию.

Для вычисления значения функции в точке х используется 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

 

х0 х1 х2 х3 х4 х5 х6

Преобразуем узлы:

х0′=x3;

x1′=x4 ;

x2′=x2 ;

x3′=x5 ;

Разделенные разности

Пусть функция ¦(c),задана на системе неравно отстоящих узлов.

Разделенной разностью 1-го порядка назовем выражение:

Разделенной разностью 2-го порядка:

Разделенной разностью k-го порядка:

|x-x0|,

Свойства разделенной разности:

-  на сетке равноотстоящих узлов разделенной разности совпадают конечными разностями

-  разделенные разности понижают степень многочлена

-  разделенные разности n-го порядка постоянны и равны

Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов

Пусть функция ¦(c), задана на сетке не равноотстоящих узлов xi, .Запишем следующие разделенные разности:

Выполним такие действия n-1 раз, получим:

Полином Ньютона:

Nn(x)= ¦0(c)

Rn(x)= ¦(c, c0,…cn)(x-x0)… (x-xn)

То ¦(c)= Nn(x)+ Rn(x)

Nn(x) ≈ ¦(c)

Rn(x) = ¦(c) - Nn(x)

Если ¦(c) имеет (n+1)-ую производную, то остаточный член может быть преобразован к виду остаточного члена полинома Лагранжа.

При вычислении полинома в точке х узлы интерполяции лучше переименовать так, чтобы х0 был самым близким к х, а все остальные узлы тем более удаленные по увеличению расстояния к х.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Студенту необходимо выполнить одну контрольную работу, состоящую из пяти задач. В работу должны быть включены те из приведенных ниже задач, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. Например, в контрольную работу студента, имеющего шифр 02-ЭНС-31645, включены задачи 5, 15, 25, 35, 45.

1-10. Найти абсолютную и относительную погрешности числа а, имеющего только верные цифры.

1. а = 0,2387;	6. а = 0,374;
2. а = 3,751;	7. а = 20,43;
3. а = 11,445;	8. а = 0,0384;
4. а = 2,3445;	9. а = 12,688;
5. а = 8,345;	10. а = 43,813.

Для решения использовать систему MathCAD 6.0+.

1Найти общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка:

Решить задачи 11 – 20 аналитически и с помощью системы MathCAD 6.0+ или Maple V R4.

2 Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом и с шагом . Расчеты производить с точностью 10-3:

Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге. Ответ дать с учетом поправки Рунге.

С помощью системы MathCAD 6.0+ определить число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10-5.

3 Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида

с начальными условиями

и

Для данного дифференциального уравнения найти решение , удовлетворяющее заданному начальному условию, в виде:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной ряд;

б) по методу Рунге-Кутта составить таблицу приближенных значений решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей заданному уравнению, на отрезке с шагом .

Все вычисления производить с округлением до пятого десятичного знака. Результаты, полученные в пунктах а) и б), сравнить.

Задачи 31 – 40 решить аналитически и с помощью системы Maple V R4.

41 – 50. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу указанного вида для зависимых и , заданной таблицей.

41.

	0	1	1,5	2,5	3	4,5	5	6	общий вид зависимости
	0	67	101	168	202	310	334	404

42.

	46	48	50	52	54	56	58	60	общий вид зависимости
	500	685	925	1100	1325	1520	1750	950

43.

	1	0,5	0,3	0,25	0,2	0,17	0,14	0,12	общий вид зависимости
	3	2	1,6	1,5	1,4	1,3	1,3	1,2

44.

	1	2	3	4	5	6	7	8	общий вид зависимости
	521	308	240	204	183	175	159	152

45.

	1	2	3	4	5	6	7	8	общий вид зависимости
	0,33	0,49	0,59	0,65	0,71	0,75	0,77	0,81

46.

	1	2	3	4	5	6	7	8	общий вид зависимости
	56,9	67,3	81,6	201	240	474	490	518

47.

	0	0,2	0,5	1	1,5	2	2,5	3	общий вид зависимости
	1	1,2	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0

48.

	0	4	10	15	21	29	36	51	общий вид зависимости
	0	41	106	145	205	285	350	3510

49.

	57	60	65	70	75	84	90	105	общий вид зависимости
	67	71	76	80	86	93	99	114

50.

	1	3	6	14	20	30	51	60	общий вид зависимости
	16	26	40	82	115	164	270	313

Задачи 41 – 50 решить аналитически и с помощью системы MathCAD 6.0+ или Maple V R4.

Методические указания студентам

Зачеты, установленные утвержденным учебным планом, служат формой проверки усвоения студентом знаний по изучаемым дисциплинам (теоретические зачеты), контроля выполнения лабораторных и расчетно-графических работ, курсовых проектов (работ), а также учебной, производственной и преддипломной практик. Теоретические зачеты оцениваются отметкой "зачет", "незачет". По некоторым дисциплинам, а также курсовым проектам (работам), и всем видам практик предусмотрены зачеты с оценками "отлично", "хорошо", "удовлетворительно", "неудовлетворительно" (так называемые дифференцированные зачеты). Теоретический зачет проводится по окончании чтения семестрового курса лекций до начала экзаменационной сессии путем опроса или в иной форме, устанавливаемой филиалом; принимается преподавателем, читающим лекционный курс, и при положительных результатах оценивается отметкой "зачет", проставляемой в зачетную книжку студента и зачетную ведомость, а при отрицательных результатах - отметкой "незачет", проставляемой только в зачетную ведомость. Преподавателю предоставляется право поставить зачет без опроса тем студентам, которые в процессе занятий и по результатам промежуточного контроля и текущей аттестации показали успешное овладение учебным материалом. Неявка студента на зачет проставляется преподавателем в зачетной ведомости отметкой "неявка". Студент имеет право до окончания экзаменационной сессии на пересдачу каждого зачета (курсового проекта, работы и т. д.) не более двух раз. Дата, время и аудитория проведения теоретического зачета и проведения двух его пересдач назначаются преподавателем и согласовываются с учебным отделом филиала. Студенты, не выполнившие без уважительных причин до начала экзаменационной сессии всех установленных учебным планом лабораторных, расчетно-графических работ, домашних заданий, курсовых проектов (работ) не допускаются к экзамену по данной дисциплине. К экзаменам по другим дисциплинам они могут быть допущены по разрешению заместителя директора филиала. При наличии уважительных причин (болезнь, семейные обстоятельства и др.) невыполнения в полном объеме учебного плана семестра студенту по его заявлению на имя директора филиала может быть предоставлена возможность сдачи зачетно - экзаменационной сессии по индивидуальному графику.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельное изучение дисциплины. Данная дисциплина является дисциплиной по выбору студента. Для самостоятельного изучения указанной дисциплины имеется список литературы в рабочей программе. Помимо литературы из рабочей программы, преподаватель может рекомендовать литературу по своему усмотрению, наиболее соответствующую разработанному им курсу лекций и практических занятий.

В университете проводятся лекции, но они не могут охватить все вопросы программы и имеют установочный характер. Преподавателю рекомендуется ориентироваться на уровень того потока студентов, с которыми он проводит занятия. В помощь студенту преподаватель должен проводить консультации, предложить раздаточный материал.

Преподаватель должен дать соответствующие указания по выполнению контрольной и лабораторных работ. Контрольную работу следует выполнить сначала аналитически, затем с помощью рекомендованного пакета прикладных программ. Лабораторные работы выполняются только с помощью ПЭВМ. Полезно ознакомить студента с образцами выполнения контрольной и лабораторных работ.

Преподаватель рецензирует контрольную работу и отмечает ошибки. Выносится заключение: «Работа к зачету допущена» или «Работа к зачету не допущена». Зачет по контрольной работе студент получает после собеседования с преподавателем.

Учебным планом по данной дисциплине предусмотрен дифференцированный зачет.

Вопросы к дифференцированному зачету по дисциплине

«Численные методы в инженерных расчетах».

1.  Абсолютная и относительная погрешности. Определение количества верных значащих цифр результата вычислений. Погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Понятие о вероятностной оценке погрешности.

2.  Понятие вычислительного алгоритма. Требования к вычислительному алгоритму. Устойчивость и сложность алгоритма.

3.  Линейные рекуррентные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Нестационарное однородное линейное рекуррентное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

4.  Линейное неоднородное рекуррентное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

5.  Стационарное неоднородное линейное рекуррентное уравнение первого порядка.

6.  Линейные однородные рекуррентные уравнения высших порядков. Системы рекуррентных уравнений.

7.  Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления.

8.  Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней. Метод хорд, касательных.

9.  Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение корней. Метод итераций.

10.  Условия сходимости методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений и оценка погрешностей.

11.  Системы линейных уравнений. Метод исключения Гаусса.

12.  Метод итераций для систем линейных уравнений. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации.

13.  Аппроксимация функций. Постановка задачи. Теорема существования и единственности обобщенного интерполяционного многочлена.

14.  Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешности интерполяции. Линейная интерполяция. Интерполяция сплайнами и многочленами n-ой степени.

15.  Экстраполирование функций. Среднеквадратическое приближение функций. Среднеквадратическое приближение функций при помощи тригонометрических многочленов. Равномерное и наилучшее равномерное приближение функций.

16.  Численное дифференцирование. Регуляризация дифференцирования.

17.  Вычисление определенных интегралов с помощью формул прямоугольников. Погрешности численного интегрирования.

18.  Вычисление определенных интегралов с помощью формул трапеций. Погрешности численного интегрирования.

19.  Вычисление определенных интегралов с помощью формул Симпсона. Погрешности численного интегрирования.

20.  Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

21.  Метод Эйлера.

22.  Метод Рунге-Кутта. Оценка погрешностей и выбор шага

23.  Метод Рунге-Кутта для системы дифференциальных уравнений первого порядка.

24.  Случайные числа. Метод Монте-Карло.

25.  Моделирование нормальной случайной величины.

26.  Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

27.  Сравнение величин. Нахождение стохастической зависимости. Подбор эмпирический формул. Метод наименьших квадратов.

28.  Решение задач линейного программирования симплекс методом.

29.  Функциональные возможности интегрированного пакета MathCAD.

30.  Функциональные возможности интегрированного пакета Maple.