Вопросы к экзамену

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
Предмет -"Линейная алгебра и аналитическая геометрия."
Специальность - "Прикладная математика". 1 курс, 1 семестр.

1. Матрицы, операции над матрицами.
Диагонали матрицы (главная, побочная).
Операции над матрицами (сложение м-ц, умножение м. на число, транспонирование м.)
Элементарные преобразования матриц (1-го, 2-го и 3-го рода).
1. Теорема (свойства операций над матрицами, в частности, коммутативность, дистрибутивность, ассоциативность).

2. Матрицы, операции над матрицами.
Различные типы матриц (диагональная м., скалярная м.,
транспонированная м., ступенчатая м.)
Матрица-строка, матрица-столбец.
Коммутирующие матрицы.
3. Теорема (ассоциативность произведения матриц).

3. Определители, свойства определителей.
Определители 2 и 3-го порядков..
6. Теорема (свойства определителей - 8 свойств).

4. Определители, свойства определителей.
Правило "треугольников".
Минор, дополнительный минор, алгебраическое дополнение.
8. Теорема (определитель произведения матриц).

5. Определители, свойства определителей.
Определитель n-го порядка.
Правило Саррюса.
Вычисления определителя разложением по строке (столбцу).
9. Теорема (определитель обратной матрицы).

6. Обратная матрица, свойства обратной матрицы.
Обратная матрица.
Матричные уравнения.
11. Теорема (свойства обратной матрицы (Е-1, (А-1)-1, (АТ)-1, (АВ) -1)).

7. Обратная матрица, свойства обратной матрицы.
Обратная матрица.
1-й способ нахождения обратной матрицы (с помощью присоединенной матрицы).
12. Теорема о единственности обратной матрицы.

8. Обратная матрица, свойства обратной матрицы.
Обратная матрица.
Присоединенная (взаимная) матрица.
14. Теорема о "чужих" алгебраических дополнениях.

9. Обратная матрица, свойства обратной матрицы.
Обратная матрица.
2-й способ нахождения обратной матрицы (метод Гаусса-Жордана).
15. Теорема (критерий обратимости матрицы).

10. Ранг матрицы.
Ранг матрицы.
Базисный минор.
16. Теорема о базисном миноре матрицы.

11. Ранг матрицы.
Ранг матрицы.
Метод окаймляющих миноров.
17. Теорема (критерий равенства нулю определителя).

12. Ранг матрицы.
Ранг матрицы.
18. Теорема об эквивалентных определениях ранга матрицы.

13. Ранг матрицы.
Ранг матрицы.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы.
19. Теорема (свойства ранга матрицы (АВ, АВ (|В|¹ 0; А @ В)).

14. Системы линейных алгебраических уравнений.
(не)совместная система, (не)определенная система,
матрица системы, расширенная матрица системы.
22. Теорема Кронекера-Капелли.

15. Системы линейных алгебраических уравнений.
(не)совместная система, (не)определенная система.
Эквивалентные системы.
Элементарные преобразования системы.
23. Теорема - критерий определенности системы линейных уравнений.

16. Системы линейных алгебраических уравнений.
(не)однородная система, (не)совместная система, (не)определенная система.
Эквивалентные системы.
Элементарные преобразования системы.
24. Теорема - критерий определенности однородной системы уравнений.

17. Системы линейных алгебраических уравнений.
Главные переменные.
Свободные переменные.
25. Теорема - формулы Крамера.

18. Системы линейных алгебраических уравнений.
Решение системы.
Эквивалентные системы.
Элементарные преобразования системы.
27. Теорема - метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

19. Линейное пространство.
Линейное пространство.
Линейная комбинация.
Линейная (не)зависимость.
Арифметическое пространство Rn.
28. Теорема о линейной зависимости системы векторов.

20. Линейное пространство.
Линейное пространство.
Линейная комбинация.
Линейная (не)зависимость.
30. Теорема (о двух системах векторов и линейной зависимости).

21. Линейное пространство.
Линейная (не)зависимость.
Базис.
Размерность линейного пространства.
Координаты вектора в линейном пространстве.
31. Теорема о количестве векторов в базисе конечномерного линейного пространства.

22. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Решение системы линейных алгебраических уравнений.
Линейное пространство решений однородной системы линейных уравнений, его размерность и базис.
Фундаментальная система решений.
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
33. Теорема о виде общего решения однородной системы линейных уравнений.

23. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.
Решение системы линейных алгебраических уравнений.
Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
34. Теорема о взаимосвязи общего решения неоднородной системы линейных уравнений
и общего решения соответствующей однородной системы линейных уравнений.

24. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов.
35. Теорема - свойства скалярного произведения векторов.
25. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов.
36. Теорема - выражение скалярного произведения векторов через их координаты.

26. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Векторное произведение векторов.
37. Теорема - свойства векторного произведения векторов.

27. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Векторное произведение векторов.
38. Теорема - выражение векторного произведения векторов через их координаты.

28. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Смешанное произведение векторов.
39. Теорема - свойства смешанного произведения векторов.

29. Векторы, операции над векторами.
Декартова система координат.
Координаты вектора.
Смешанное произведение векторов.
40. Теорема - выражение смешанного произведения векторов через их координаты.

30. Прямая на плоскости и в пространстве.
Уравнение произвольной линии на плоскости.
41. Теорема - вывод различных видов уравнений прямой на плоскости (общее,
через точку перпендикулярно вектору, каноническое, через две точки).

31. Прямая на плоскости и в пространстве.
Уравнение произвольной линии на плоскости.
41. Теорема - вывод различных видов уравнений прямой на плоскости (в отрезках,
с угловым коэффициентом, через точку с угловым коэффициентом, нормальное).

32. Прямая на плоскости и в пространстве.
Уравнение произвольной линии в пространстве.
42. Теорема - вывод различных видов уравнений прямой в пространстве (каноническое,
параметрическое, через две точки).

33. Прямая на плоскости и в пространстве.
Уравнение произвольной линии на плоскости.
43. Теорема - вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости.

34. Плоскость в пространстве.
Уравнение произвольной поверхности в пространстве.
Частные случаи уравнений плоскости.
44. Теорема - вывод различных видов уравнений плоскости (общее,
через точку перпендикулярно вектору, через точку параллельно двум векторам).

35. Плоскость в пространстве.
Уравнение произвольной поверхности в пространстве.
Частные случаи уравнений плоскости.
44. Теорема - вывод различных видов уравнений плоскости (в отрезках,
через три точки, параметрические).

36. Плоскость в пространстве.
Частные случаи уравнений плоскости.
45. Теорема - вывод формулы расстояния от точки до плоскости.

37. Кривые второго порядка.
Общий вид уравнения кривой 2-го порядка.
Эллипс.
Основные параметры эллипса (центр, вершины, полуоси, фокусы,
директрисы, эксцентриситет).
Геометрические способы задания эллипса.
Другие виды кривых 2-го порядка.
46. Теорема - вывод канонического уравнения эллипса.

38. Кривые второго порядка.
Общий вид уравнения кривой 2-го порядка.
Гипербола.
Основные параметры гиперболы (центр, вершины, полуоси, фокусы,
директрисы, эксцентриситет, асимптоты).
Геометрические способы задания гиперболы.
Другие виды кривых 2-го порядка.
47. Теорема - вывод канонического уравнения гиперболы.

39. Кривые второго порядка.
Общий вид уравнения кривой 2-го порядка.
Парабола.
Основные параметры параболы (центр, вершина, фокус,
директриса, эксцентриситет).
Геометрические способы задания параболы.
Другие виды кривых 2-го порядка.
48. Теорема - вывод канонического уравнения параболы.

40. Кривые второго порядка.
Общий вид уравнения кривой 2-го порядка.
Другие виды кривых 2-го порядка.
49. Теорема - метод выделения полных квадратов.

41. Поверхности второго порядка.
Основные шесть поверхностей 2-го порядка.
Поверхности вращения.
50. Теорема - метод сечений построения изображения поверхностей 2-го порядка.

42. Поверхности второго порядка.
Цилиндры.
Другие виды поверхностей 2-го порядка.
51. Теорема - метод выделения полных квадратов.

43. Группа.
Группа.
Групповая операция.
Нейтральный элемент.
Симметричный элемент.
Абелева группа.
1. Теорема (о единственности нейтрального элемента).
2. Теорема (о единственности обратного элемента).

44. Кольцо.
Кольцо
Коммутативное кольцо. Кольцо с единицей.
Делители нуля.
4. Теорема (свойства колец - 7).

45. Кольцо.
Кольцо.
Коммутативное кольцо. Кольцо с единицей.
Делители нуля.
Кольцо вычетов.
5. Теорема (о кольце вычетов).

46. Комплексные числа
Комплексное число.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Действительная часть.
Мнимая часть.
Сопряженное число.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Модуль комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Показательная форма записи комплексного числа. 7. Теорема (о поле комплексных чисел).

47. Комплексные числа
Комплексное число.
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Действительная часть.
Мнимая часть.
Сопряженное число.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Модуль комплексного числа.
Аргумент комплексного числа.
Показательная форма записи комплексного числа. 9. Теорема (извлечение корня из комплексного числа).

48. Многочлены, операции над многочленами.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Произведение многочленов.
2. Теорема (формулы для коэффициентов при xn+m для произведения двух многочленов).

49. Многочлены, операции над многочленами.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Сумма многочленов.
4. Теорема (свойства операции сложения многочленов: степень, комм-ть, асс-ть, 0, - P).

50. Многочлены, операции над многочленами.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Произведение многочленов.
5. Теорема (свойства операции умножения многочленов: степень, комм-ть, асс-ть, дистр, 1).

51. Многочлены, операции над многочленами.
Многочлен (полином) n-й степени.
Частное от деления многочленов.
Остаток от деления многочленов.
8. Теорема (деление многочленов с остатком).

52. Делители многочлена.
Делитель многочлена.
11. Теорема (свойства делимости многочленов (I - IX)).

53. Делители многочлена.
Общий делитель двух многочленов.
Взаимно простые многочлены.
Наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов.
12. Теорема (об алгоритме Евклида нахождения НОД двух многочленов).

54. Делители многочлена.
Делитель многочлена.
Общий делитель двух многочленов.
Взаимно простые многочлены.
17. Теоремы о взаимно простых многочленах (а - в).

55. Корни многочлена.
Схема Горнера.
Кратность корня.
19. Теорема о корне многочлена.

56. Производная многочлена.
Производная многочлена,
2-я производная многочлена, n-я производная многочлена.
Кратность корня.
22. Теорема о корне кратности k.

57. Разложение многочлена на множители.
Многочлен (полином) n-й степени.
Разложение многочлена n-й степени в произведение линейных множителей.
Неприводимые многочлены.
25. Теорема (о разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами).

58. Значения многочлена и его коэффициенты.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Значение многочлена f(x) при x=c.
27. Теорема (достаточное условие равенства многочленов - по значениям).

59. Значения многочлена и его коэффициенты.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Значение многочлена f(x) при x=c.
28. Теорема (интерполяционная формула Лагранжа).

60. Значения многочлена и его коэффициенты.
Многочлен (полином) n-й степени.
Равные многочлены.
Кратность корня.
29. Теорема (формулы Виета).