ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Лабораторная работа №2

по дисциплине

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

На тему

«Моделирование алгебраического «хаоса-порядка»,

построение зон устойчивости»

5 СЕМЕСТР 3 КУРС

Руководитель:

Проверил:

Выполнил студент ГИП-105

__________________

_______________________

Общая оценка __________

Методический руководитель _______________________

2007 год

Теория:

Одной из самых простых систем, демонстрирующих хаоти­ческое поведение, является система с дискретным временем, пере­ходящая из состояния xi в состояние xi+1 по закону

(1)

например, при а=2, x1 = 0,1. При указанных числовых значениях последовательность чисел имеет вид, показанный на рисунке 2, т. е. хаотична.

Это похоже на датчик случайных чисел, хотя и плоховатый, смотри диаграмму распределения на рисунке 3.

У рассматриваемой системы состояние в момент времени i+1 непосредствен­но связано лишь с предыдущим состоянием (марковский процесс). Если же учитывать хотя бы короткую предысторию, то получим уравнение , которое удобно записать в виде системы

, . (2)

Рисунок 2 - Хаос из порядка – решения уравнения .

Рисунок 3 - Гистограмма значений решения уравнения .

У рассматриваемой системы состояние в момент времени i+1 непосредствен­но связано лишь с предыдущим состоянием (марковский процесс). Если же учитывать хотя бы короткую предысторию, то получим уравнение , которое удобно записать в виде системы

, . (2)

Эти уравнения определяют двумерное взаимно-однозначное отображение плоскости (х, у) в себя. Численный анализ при b=0.3, a=1 показал существование в этой системе притягиваю­щей области, имеющей сложную структуру канторовского типа. Вообще системы рассмотренного типа довольно часто встречаются, например, в биологических и экологических зада­чах. Дискретность времени в таких задачах связана с сезонностью или сменой поколений.

Математическая модель:

В качестве математической модели мною была взята система уравнений:

Для моделирования этой системы была использована программа Microsoft(с) Excel(с).

Так как результаты исследования системы 4 переменных (x, y,a, b) сложно представить в графическом виде, то возьмем начальные значения как константы: x0=1 и y0=1.

Проведя исследования, мною были выверены следующие зоны хауса и порядка.

Приведены рисунки:

Рисунок 1 – порядок

Рисунок 2 – порядок

Рисунок 3 – порядок

Рисунок 4 – порядок

Рисунок 5 – порядок

Рисунок 6 - хаос

Рисунок 1: а=-0,1 b=0,3 (порядок)

Рисунок 2: а=0 b=-0,6 (порядок)

Рисунок 3: а=0,8 b=-0,6 (порядок)

Рисунок 4: а=0,8 b=0,6 (порядок)

Рисунок 5: а=-0,2 b=-1 (порядок)

Рисунок 6: а=0,2 b=0,9 (хаос)

Вывод:

Состояние системы зависит как от коэффициентов, так и от начальных значений. При исследовании системы мы получили график границы хаоса и порядка при начальных значениях x0=1; y0=1; Заштрихованная зона – зона хаоса.

Литература:

1.  Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Системный анализ» / ; Самарск. гос. арх.-строит. ун-т./ Самара, 20с. ISBN 1-2