Стоимость решения этого задания 200 рублей.

Условие. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график (схема исследования функции должна содержать ответы на вопросы о четности функции, точках пересечения графика с осями координат, интервалах знакопостоянства, исследование функции на возрастание, убывание, экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба, асимптоты графика функции).

.

Решение.

Функция y не определена только когда . Таким образом область определения функции равна. Функция является нечетной, т. к. y(-x)=-y(x). Она не является периодической. Точку пересечения с осью Oу находим, подставляя в уравнение x=0: (0;0)

Для того, чтобы найти точку пересечения с осью Ox найдем корни уравнения . Единственным корнем этого уравнения является x=0, и соответственно единственной точкой пересечения графика с осью Ox будет также точка (0;0).

Точками, в которых функция изменяет свой знак являются: , и .

Таким образом, функция положительна при и отрицательна при .

Найдем производную функции.

Используя производную, найдем интервалы возрастания и убывания и экстремумы

Решим уравнение y’=0,

Его корни: x=0; x=-3 и x=3.

Производная меняет свой знак только в точках x=3 и x=-3. У всех остальных множителей степень четная, значит знак остается прежним.

Таким образом, функция возрастает при и убывает при .

b.  y’=0 в точках x=-3, x=0 и x=3. Однако, производная меняет знак только в точках x=-3 и x=3. Следовательно, только x=-3 и x=3 являются экстремумами.

В точке x=–3 производная меняет свой знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума. Ее координаты (-3; 4.5).

В точке x=3 - наоборот - производная меняет свой знак с плюса на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума. Ее координаты (3; -4.5).

Найдем вторую производную.

Вторая производная меняет знак в точках , и .

Таким образом функция выпукла книзу на интервале и выпукла кверху на интервале .

8. Чтобы найти точки перегиба решим уравнение y’’=0.

Единственный его корень равен x=0. Вторая производная меняет в этой точке свой знак. Итак, единственной точкой перегиба будет точка x=0.

В точках и есть вертикальные асимптоты, т. к.

Для определения наклонных асимптот вычислим пределы:

Таким образом, наклонная асимптота существует и ее уравнение выглядит следующим образом: .

График