Программа дисциплины Стохастический анализ в финансах

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионально образования

“Национальный исследовательский университет

Высшая школа экономики”

Факультет экономики

Программа дисциплины

Стохастический анализ в финансах

для направления 080300.68 Финансы и кредит

магистратура

Автор:

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

«Математические и статистические методы «Математическая экономика и

в экономике» эконометрика»

Председатель Зав. кафедрой

Шведов Г. Г.

«_____» __________________ 20 г. «____»_____________________ 20 г.

Утверждена УС факультета

Государственное и муниципальное

управление______________________

Ученый секретарь

______________

« ____» ___________________20 г.

Москва, 2013

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Аудиторные часы	Самостоятельная работа	Всего часов по дисциплине
		Лекции	Семинары
Тема 1	Математические основания теории вероятностей
Тема 1.1	Алгебры и сигма-алгебры подмножеств	2	2	8	12
Тема 1.2	Случайные величины как измеримые функции	2	2	8	12
Тема 1.3	Борелевская сигма-алгебра, борелевские множества и функции	1	1	4	6
Тема 1.4	Мера и вероятность	1	1	4	6
Тема 1.5	Математическое ожидание как интеграл Лебега	2	2	8	12
Тема 1.6	Независимость событий, сигма-алгебр, случайных величин	1	1	4	6
Тема 1.7	Условное математическое ожидание случайной величины относительно события, относительно сигма-алгебры, относительно другой случайной величины	2	2	8	12
Тема 2	Введение в стохастический анализ: дискретное время
Тема 2.1	Примеры мартингалов	1	1	4	6
Тема 2.2	Момент остановки и соответствующий мартингал	1	1	4	6
Тема 2.3	Применение мартингалов к случайным блужданиям	1	1	4	6
Тема 3	Приложения стохастического анализа к задачам финансовой математики
Тема 3.1	Биномиальная модель для расчета справедливой цены европейского опциона. Вывод формулы Кокса-Росса-Рубинштейна	1	1	4	6
Тема 3.2	Вывод формулы Блэка-Шоулза из формулы Кокса-Росса-Рубинштейна предельным переходом	1	1	4	6
	Итого:	16	16	64	96

Базовые учебники

Ширяев . Т. 1. 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2007 Ширяев стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. — М.: Фазис, 2004 Мельников рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. — М.: ТВП, 1997 Жуленев финансовая математика. Финансовые рынки в дискретном случае. — М.: МГУ, мех-мат. ф-т, 2004

Дополнительная литература

Теория арбитража в непрерывном времени. — М.: МЦНМО, 2010 Жуленев математика. Введение в классическую теорию. Ч. 2. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2012

Формы контроля

Промежуточный контроль отсутствует.

Итоговый контроль — письменный зачет.

Итоговая оценка = Оценка за зачет.

Примерный вариант итоговой зачетной работы

Зачет по курсу “Стохастический анализ в финансах”

[2]

Ф. И.О.______________________________________________________________________

Группа______________________________

Задание 1.1. Система подмножеств непустого множества называется алгеброй, если

Задание 1.2. Наименьшей алгеброй, содержащей заданную систему подмножеств называется такая алгебра , что

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Задание 1.3. Множество называется открытым, если ______________________

_____________________________________________________________________________

Задание 1.4. Борелевской алгеброй называется _______________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 1.5. Борелевским множеством называется ______________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 1.6. Измеримым пространством называется ______________________

_____________________________________________________________________________

Задание 1.7. Пусть задано измеримое пространство . Множество называется измеримым, если ____________________________________________________

Задание 1.8. Пусть задано измеримое пространство . Функция называется измеримой, если __________________________________________________

Задание 1.9. Наименьшей алгеброй, относительно которой функция измерима, называется такая алгебра , что

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Задание 1.10. Наименьшей алгеброй, относительно которой функции и измеримы, называется такая алгебра , что

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Задание 1.11. Пусть задано измеримое пространство . Множество называется событием, если ______________________________________________________

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задание 1.12. Пусть задано измеримое пространство . Функция называется случайной величиной, если ____________________________________________

Задание 1.13. Пусть задано измеримое пространство . Отображение называется вероятностной мерой, если

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Задание 1.14. Функция называется борелевской, если ___________________ _____________________________________________________________________________

Задание 1.15. Пусть задано измеримое пространство . Отображение называется мерой, если

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Задание 1.16. Измеримое пространство называется конечным, если

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 1.17. Пусть –конечное измеримое пространство и – измеримая функция. Тогда называется простой на , если

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 1.18. Дайте определение интеграла Лебега от простой функции.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 1.19. Дайте определение интеграла Лебега от неотрицательной измеримой функции.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 1.20. Дайте определение интеграла Лебега от измеримой функции.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 1.21. Дайте определение интегрируемой по Лебегу измеримой функции.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2. Пусть и . Найдите .

Ответ: ________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 3. Пусть . Функции и заданы при помощи следующей таблицы.

Найдите

________________________________________________________________

_________________________________________________________________

______________________________________________________________

Задание 4. Пусть , и . Докажите, что функция является измеримой.

Доказательство. ___________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5. Пусть , , – классическая мера Лебега (длина) и . Найдите

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

функцию распределения

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Ответ:

график функции распределения

. плотность распределения

Ответ:

график плотности распределения

Задание 6. Пусть – вероятностное пространство, , , – классическая мера Лебега, а , – случайные величины. Найдите

1. Найдите .

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. Найдите .

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 7. Пусть – независимые случайные величины, причем , , . Положим и . Докажите, что следующие последовательности образуют мартингалы относительно фильтрации :

1. .

Доказательство. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. .

Доказательство. ___________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 8. Цена акции в текущий момент времени равна рублей, а её волатильность годовых. В рамках однопериодной биномиальной модели вычислите текущую цену трёхмесячного опциона колл с ценой исполнения
рубля. Процентная ставка постоянна, начисляется непрерывно и равна годовых.

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 9. Текущая цена акции равна рублей. В рамках однопериодной модели ценообразования опционов вычислите текущую стоимость месячного опциона пут на эту акцию. Цена исполнения опциона равна рублей. Волатильность акции – годовых. Процентная ставка постоянна, начисляется непрерывно и равна годовых.

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 10. Текущая цена акции , по которой не выплачиваются дивиденды, равна рублей. Опцион колл на эту акцию, оставшийся срок обращения которого составляет 6 месяцев, имеет цену исполнения рублей. В рамках модели Блэка-Шоулза вычислите цену этого опциона. Волатильность акции и процентная ставка равны и годовых соответственно.

Решение. _________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание 11. В рамках однопериодной биномиальной модели выведите формулу для опциона пут.

Решение.

Программа дисциплины Стохастический анализ в финансах

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы